2021高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练5数学文化含解析

1、热点专练5数学文化一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .（2020辽宁五校模拟）欧拉公式e- + l = 0因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数 （自然对数的底数e ,圆周率Ti ,虚数单位i ,自然数单位1,以及0）而被人们称为世间最美数 学公式，由公式中数值组成的集合/二e , n , i , 1,0,则集合力中不含无理数的子集共有 （）A.8个B.7个C.4个D.3个解析 欧拉公式中数值组成的集合力中不是圮里数的元素一共有3个故共有23二8（个）子集. 故选A.答案A2 .（2020全国I卷）埃及胡夫金字塔是

2、古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱推的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）D.百十1 4解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为占，高为方，侧面三角形底边上的高（斜高）为H.又.2二加十HY 1 1 H a/5 + 1一 -y-T = 0 ,解得一二一（负值舍去）.故选c.答案C3 .（2020成都模拟）孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题："今有五等诸侯， 共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他 们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5

3、人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最 多的人所得的橘子个数是（）A.15B.16C.18D.215x4解析 设得到橘子最少的人的橘子个数为五.由题意，得5 & +x 3 = 60 ,解得出二6.所以得到橘子最多的人所得橘子的个数为出+ （5 -1） x 3=6 +12=18.故选C.答案C4 .（2020广州一模）中国古代十进制的算筹计数法，在史上是一个伟大的创造，算筹实际上是 一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数的一种方法.例如：3可表示为"三”，26可表 示为"二_L" .现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不娥!余，则可以用1 9这9数字表

4、 示两位数的个数为（）一=三三| _L 4=上123456789A.13B.14C.15D.16解析根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1,5;1,9;2,4;2,8;6,4; 6,8;3,3;3,7;7,7.数字组合 1,5;1,9;2,4;2,8;6,4;6,8;3,7中，每 组可以表示2个两位数，则可以表示2x7 = 14个两位数.数字组合3 , 3 ; 7,7中，每组可以 表示1个两位数.则可以表示2x1 = 2个两位数，则一共可以表示14 + 2 = 16个两位数，故选 D.答案D5 .（2020青岛调研）八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦 表

5、示事物自身变化的阴阳系统,用"一”代表阳，用"”代表阴，用这两种符号,按照大 自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式（如图所示）.从图中的八卦中随机选取一#，则 卦中恰有两个" 的概率为（兑;H I：震箫0 ZT %1 - 4 B.解析 由图可知，恰有两个" 的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可3 得所求概率为gO答案c6 .（2020新高考山东、海南卷）日暮是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的暮针 投射到唇面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点力处的水平面

6、是指过点A且与OA垂直的平面.在点力处放置 一个日唇，若唇面与赤道所在平面平行，点力处的纬度为北纬40° ,则唇针与点力处的水平 面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°解析 示意图如图所示，O。所在平面为地球赤道所在平面，。所在平面为点力处的日暮 的署面所在的平面，由点/处的纬度为1也韦40°可知/O4Q=40°,又点力处的水平面与OA 垂直，暑针力。与。Q所在的平面垂直，则NC48=nWQ=40° ,故暑针力。与点A处的水 平面所成角为40°.故选B.仁逆K平面答案B7 .（2019全国

7、I卷）古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是"|气"!二，0.618 ,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳Ik'便是如此.此外，#-1最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是（）A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cmAC #-1 解析依题意可知访二七一AB 小1BC= 2a头顶8-咽喉dl足底(1)腿长为 105 cm ,即。105 ,小-1=2。64.890 ,AD= AC+ CZ?64

8、.890 + 105 = 169.890 ,所以169.890.(2)头顶至脖子下端的长度为26 cm ,即/8<26 ,2AB BC=)<42.071 ,A/5-1AC=AB+ 8Uv68.071 ,2ACCD=不一<110.147 , 邓-1AD= AC+ 6Z?<68.071 + 110.147 = 178.218 ,综上 r 169.890</IZ)<178.218.答案B8 .古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线 的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均 为1，母

9、线长均为2，记过圆锥轴的平面力比。为平面成的两个圆锥侧面的交线为AC.BD), 用平行于M勺平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线颂一部分，且双曲线颂两条渐近线分别平行于力盘BD,则双曲线布勺离心率为(B./c.SD.2解析 设与平面。平行的平面为/?,以8。的交点在平面纳的射影为坐标原点，两圆锥 的轴在平面供的射影为x轴，在平面侬与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根x2 y2y3据题意可设双曲线/: - - -= l(a>0,6>0).由题意可得双曲线曲)渐近线方程为片土手x, 答案Ab y3c即/ 3，所以离心率二/b1+ -二、多项选择题：本题共4小题，每小

10、题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9 .（2020济宁模拟）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理， 它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连 续函数,存在一个点ao，使得加）二加，那么我们称该函数为"不动点"函数，下列为"不 动点"函数的是（）A.M = ln xB./W =/十2x-32a2 -1 , x<l ,C./（A）= 1 1|2-M ,1D. 4M 二 x十一 X解析 对于A ,由于x&g

11、t;x-l>ln x,所以In x二x无解，因而该函数不是"不动点"函数；对 于B,令京+ 2*-3=x,得足+ x-3 = 0,因为/ = 1-4、（-3）>0,所以方程有两个不等的1实数根，所以该函数为"不动点”函数；对于C,当XW1时，令2*2-1=X,得或X11=1 ,从而该函数为不动点”函数；对于D ,令x十-二x,得一=0 ,无解，因而该函数不是 XX"不动点"函数.故选BC.答案BC10.（2020济南模拟）德国著名数学家狄利克雷在数学领域有着显著成就，是解析数论的创始人1 ，协有理数，之一，以其名命名的函数=关于,下

12、列说法正确的是（）。，协无理数.A.v xeR z /（/（a） = 1B.函数是偶函数C.对于任意一个非零有理数T, 4*+。=对任意X£R恒成立D.存在三个点AX1, 4刖），队X2 . X2） , q为，心3）,使得占/8U为等边三角形解析 V XGR ,/（MHO , 1,.M） = 1, A正确；小M二1,0,-协有理数,-访无理数1,办有理数，c=，则函数是偶函数，B正确；0 ,成D无理数1 , X十为有理教，（0 , x+仍无S数二/W, C正确；,0，醺,1）-半,0三点所连线构成等边三角形，D正确.故选ABCD.答案ABCD11.（2020重庆质检）我国南北朝时期的

13、数学家祖瞄提出了计算体积的祖瞄原理：寨势既同, 则积不容异意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个 几何体的体积相等.已知曲线U 片，直线/为曲线。在点（1 , 1）处的切线.如图所示，阴影 部分为曲线C直线/以及X轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几 何体为二给出以下四个几何体：图1是底面直径和高均为1的圆锥；图2是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图3是底面边长和高均为1的正四棱推；图4是将上底面直径为2 ,下底面直径为1 ,高为1的圆台挖掉一个底面直径为2 ,高为1的 倒置圆锥得到的几何体.根据祖唯原理

14、，以上四个几何体中与例体积不相等的是（）A.图1B.图2C.图3D.图4解析 由题意可知,几何体曙由阳影部分旋转一周得到,其横截面为环形，设阻影部分等高 处，抛物线对应的点的横坐标为XI ,切线对应的点的横坐标为X2.由4M二*2 ,可得=2X , 所以/(I) = 2 ,所以曲线。在点Q , 1)处的切线方程为y - l = 2(x-1),即y=2x -1 ,所以 y+1。-邛 = yiX2 = -t所以几何体依等高处的横截面面积S:n必-TI后二n-|：.图1中的圆1锥高为1 ,底面半径为5 ,易知该圆锥可由直线y=2x+1绕y轴旋转得到，其横截面面积S,所以几何体年口图1中的圆锥在所有等

15、高处的水平截面的面积相等，所以它们的体积相等，同理可知几何体丽图2,3,4中的几何体的体积均不相等,故选BCD.答案BCD12.(2020枣庄模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面 内到两个定点/ , B的距离之比为定值的点的轨迹是圆".后来，人们将这个圆以他的 名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆,在平面直角坐标系X。/中，/(- 2,0),演4,0),I%I 1点户满足诲=7设点夕的轨迹为C,则下列结论正确的是() 回2AC的方程为(x+4)2十必二9闸1B.在x轴上存在异于4 , 8的两定点。，E,使得两二5C.当/ , 8,2三点不共线时，射

16、线夕。是N力力的平分线D.在。上存在点M.使得|例Q二2|3|%| J (X+2)2+y2 1解析设点能M则两力二/简、整理，得/十小爪。，即人闸1|力92 十 |图2_|/q22|/。|阁4)2 + = 16 , A 错误.当 & - 6 , 0) , & - 12 , 0)时，为二 5，B 正确.cos 乙 APO :I阴2+仍q2|sq23 N吟2幽闱要证射线"为"力的平分线,只需证明cos乙APO:cos乙BPO,即证|八勺2十|陶2_|/92 |勿2十|夕。|280|27APPC=2| 鲂|户。|又|陷二2|以I ,化简、整理，即证|阳2=2/砰-

17、8,因为|图2=乂十好，2|/砰-8二22十 8x+ 2y = （x2 + 8x+必）十（解十产）二/十产，所以cos乙APO= cos乙BPO, C正确.设 M加， 次），由|用q二2|侬|可得,弟十男二2 y （加十2）2十兄，整理，得3舶+ 3川+16项+16=0 , 而点例在。上，所以满足北十尺十8项二0.联立方程解得比二2 ,次无实数解，D错误.故选 BC.答案BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .我国古代数学名著九章算术在"勾股"一章中有如下数学问题："今有勾八步，股十五 步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角

18、边的长度分别是8步和15 步，则其内切圆的直径是 步.解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15 ,则得其斜边长为17 ,设其内切圆半径为r,1 1则有 5x（8 + 15 +17）/二x 8x15（等积法）.解得u 3 ,故其直径为6步.答案614 .现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座号分别为1、2、3、4的四个座位上,他们分别有以下要求：甲：我不坐座号为1和2的座位；乙：我不坐座号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁:如果乙不坐座号为2的座位，我就不坐座号为1的座位.那么坐的座号为3的座位上的是.解析 根据题意，甲、乙、丙三人都不坐座号为1的座位，那么只有丁坐座号为1的座位，这样乙就坐座号为2的座位，易知丙只能坐座号为3的座位,则甲坐座号为4的座位.答案丙15 .黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用,1qqJi当x二一（心力整数，一为既约真分数），其定义为4M二j夕pPo ,当x=0 "或0,1上的无理数+ 川g