复变函数钟玉泉三PPT学习教案

1、会计学1复变函数钟玉泉三复变函数钟玉泉三2()nnzzz zz n 个个为为正正整整数数为幂函数 性质 (1). z=xR时,zn=xn (2). 令z=rei=r(cos +isin ), zn= rnein=rn(cos(n) +isin(n) ) 1(3) ( ) nnnzA Cznz 第1页/共28页3这里的ex是实指数函数(cossin )zx iyxeeeyiy exp(cossin )xzeyiy也也可可表表示示为为 1.指数函数的定义:z将将此此函函数数称称为为复复变变数数 的的指指数数函函数数. .定义2.4 对于任何复数z=x+iy,规定 , . (cossin )zxee

2、yiy 注注意意没没有有幂幂的的意意义义 只只是是一一个个符符号号代代表表实的正余弦函数第2页/共28页4z(2)|0, arg() e0 Arg()2,Zzxzzeeeyeykk z(3) e) =;zzee 在在复复平平面面内内处处处处解解析析, ,且且( (1) Im( )0, ( )xzzxRf ze 当当即即时时复指数函数与实指数函数保持一致.(4). 加法定理1212()zzzzeee (5) ez是以2 i为基本周期的周期函数6lim,zzee ( )( )极极限限不不存存在在 即即无无意意义义第3页/共28页5(1) 证明加法定理1212()zzzzeee 证 , , 2221

3、11iyxziyxz 设设12zzee左左端端121122(cossin) (cossin)xxeyiyeyiy)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx 12(). zze 右右端端几点说明： 加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明第4页/共28页6因为：当z沿实轴趋于+时ez; 当z沿实轴趋于-时, ez0.6limzze ( () )极极 限限不不 存存 在在 的的 说说 明明22 .zk izk izeeee 首首先先5ze( () )的的 周周 期期 性性 的的 说

4、说 明明 ,: zz wzwezee 其其次次是是 的的一一个个周周期期, ,则则对对0,0: 11w a ibwa ibzeee 特特别别取取1,rg122awebaikki 2 i是ez的周期2 i是ez的基本周期第5页/共28页7例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yix

5、e 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 第6页/共28页8例2 解求出下列复数的辐角主值:).20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322 iiiiiieeeeee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz )(2Arg为整数为整数kkyez .,(- arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie第7页/共28页9 ,24Arg43 kei;24arg43 ie ,24Arg43 kei;24

6、arg43 ie iiee )5(;)3(43ie ;)4(43ie )sin(cossincos ii )sin(sin)cos(cos i2sin2cos22sin2sin2 i 2cos2sin2sin2 i第8页/共28页10 2sin2cos2sin2 i ,20 因为因为, 02sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是复数上式就是复数 iiee )( Arg iiee 所以所以,22k ,时时当当 )(arg iiee ,2 ,时时当当 )(arg iiee .22 第9页/共28页11例3 的周期的周期求函数求函数. )( 5zezf 解,2ikez 的周期是的周期是5)(z

7、ezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 第10页/共28页121. 三角正弦与余弦函数,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减, 得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.第11页/共28页13 cos,2izizeez 余余弦弦函函数数为为: : s2in.izizeeiz 正正弦弦函函数数为为定义2.5 对任意的复数z,规定z的 性质: (1) sinsin ,coscos.zxRzxzx 当当时时:

8、: 是是实实三三角角函函数数(2) 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz 第12页/共28页14(3) sin , cos.zz是是奇奇函函数数是是偶偶函函数数.cos)cos(,sin)sin(zzzz 遵循通常的三角恒等式，如 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz 12121212()()122n=.2sii zzi zzizizizizeee eeezizi112211222222.izizizizizizizizeeeeee

9、eeii1212sincoscossinzzzz第13页/共28页15 , 时时为纯虚数为纯虚数当当yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix第14页/共28页16例9 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解,sin)2sin( zz 因为因为,5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25sin( zz又因为

10、又因为,5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)( 的周期是的周期是故故zzf.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz (4)sincos2.zz 和和都都是是以以为为周周期期的的函函数数第15页/共28页17 , sin, cos. 2yyeeyyiyii 当当时时(注意：这是与实变函数完全不同的)sinz的零点(i.e. sinz=0的根)为z=ncosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(n+1/2)n=0,1, 2,n,2sin00izizizizeezeie 21 i zeznnZ (5)(6)sinz,cosz在复数域内均是无界函数第16页/共28页

11、182. 其他复变数三角函数的定义,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数 . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我们可以讨论它们的我们可以讨论它们的类似类似和和与与zz1.都是相应实函数的推广2.定义域：tanz,secz的定义域为z(k+1/2) cotz,cscz的定义域为zk3.它们都在自己的定义域内解析。 (tanz)=sec2z, (cotz)=-csc2z (secz)=tanzsecz (cscz)=-cotzcscz

12、4. tanz cotz的周期是 secz cscz的周期是25 secz是偶函数 tanz cotz, cscz是奇函数第17页/共28页19例10 . tan 的实部与虚部的实部与虚部确定确定z解zzzcossintan , iyxz 设设)cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx )Re(tan z )Im(tan z 第18页/共28页20例11解 ,

13、 iyxz 设设 . 1sinhsin iz 解方程解方程)sin(sinyixz yxiyxsinhcoscoshsin , 1sinhi 0,coshsin yx故有故有1sinsinhcos yx, 0cosh y因为因为, 0sin x所以所以, kx代入代入将将 kx1sinsinhcos yx, 1sinh)1(sinhky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz即即第19页/共28页21例12 . )3tan( )1(cos 的值的值和和求求ii 解2)1cos()1()1(iiiieei 211iiee )1sin1(co

14、s)1sin1(cos211ieie 1sin)(211cos)(2111ieeee . 1sinh1sin1cosh1cosi )3cos()3sin()3tan(iii iiiisin3sincos3cossin3coscos3sin 第20页/共28页221sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sinii 22)1sinh3(sin)1cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3)(cos1sinh3cos1cosh3(sin ii1sinh3sin1cosh3sin1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3cos3sin22222222

15、i.)3(sin2)1(cosh22sin6sin22 i第21页/共28页231. 双曲函数的定义 cosh,2zzeez 双双曲曲余余弦弦sinh,2zzeez 双双曲曲正正弦弦sh tanh.chzzzzzeezzee 双双曲曲正正切切2.2.4 双曲函数ch coth.shzzzzzeezzee 双双曲曲余余切切1sechchzz 双双曲曲余余割割 1 coth.chzz 双双曲曲正正割割2. 双曲函数的性质. , 的的定定义义完完全全一一致致函函数数它它与与高高等等数数学学中中的的双双曲曲时时为为实实数数当当xz第22页/共28页24.cosh , sinh ,是偶函数是偶函数是奇函

16、数是奇函数容易证明容易证明zz它们的导数分别为,cosh)(sinhzz 并有如下公式:coshcos ,ziz .sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它们都是以 为周期的周期函数,i 2.sin)(coshzz sinhsin .ziiz 参见课本P87-8816-19题第23页/共28页25例13解. 1tanh z解方程解方程zzzzeeeez tanh,1122 zzee,1122 zzee , ,2ivuez 并令并令两边平方两边平方, 0 )1()1(2222 uvuvu或或)Re( 2zeu 因为因为,)Im(2cos)Re(2zez 0)Im(2cos0 zu,24)Im( kz. 24)Im( 1tanh zkzz的所有复数的所有复数的解是的解是故故 ., 2, 1, 0 k其中其中第24页/共28页26 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1.