多元函数微分法2010PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分法多元函数微分法2010.,),(),(),(),(yxyxffyzxzzyxyxfyxfDyxfz或或记记为为简简称称为为偏偏导导数数的的偏偏导导函函数数称称为为的的函函数数它它们们均均为为上上的的每每一一点点都都有有偏偏导导数数在在区区域域若若 处处可可偏偏导导。在在点点偏偏导导数数时时，简简称称的的与与对对处处同同时时存存在在对对在在点点当当函函数数00,00),()(),(MyxfyxyxMyxfz 第1页/共32页xyxzuxyzyeyxxzyzxz )3(;arctan)2( ;2)1( :,323求求偏偏导导数数例1xxeyxyzyexyxxz 22326 ,

2、43)1(:解解第2页/共32页11;ln ;lnln)3( xxxyxxyxyzyzuxyzzyuyyzzxu2222222 ;)(11)2(yxxyzyxyxyxyxz 第3页/共32页).0 ,0(),0 ,0()2(.)0 ,0(),()1( )0 ,0(),( 0)0 ,0(),( ),(422yxffyxfyxyxyxxyyxf求求的的连连续续性性在在讨讨论论设设 .)0,0(),(.lim),(lim)1(:422)0,0(),()0,0(),(点点不不连连续续在在不不存存在在由由第第二二节节例例知知解解yxfyxxyyxfyxyx 0)0,0(),0(lim)0,0(0)0,0

3、()0,(lim)0,0().2(00 yfyffxfxffyyxx例2函数中，可导必连续。函数中，可导必连续。在该点连续。而在一元在该点连续。而在一元不能保证不能保证在一点的偏导数存在在一点的偏导数存在二元函数二元函数),( ),(yxfyxf第4页/共32页:偏偏导导数数的的几几何何意意义义.)(,( ),(:),(0,00,00000轴轴的的斜斜率率处处的的切切线线对对在在点点表表示示曲曲线线yyxfyxMxxyxfzyxfy .)(,( )(:)(0,00,0000,0轴轴的的斜斜率率处处的的切切线线对对在在点点表表示示曲曲线线xyxfyxMyyx,yfzyxfx 第5页/共32页xy

4、z),(yxNyxMxT),(yxfz yT第6页/共32页3.2 高阶偏导数二二阶阶混混合合偏偏导导数数 )(),()(),(y 22yzxyxfxyzxzyyxfxzyxxy .,., 阶阶偏偏导导数数以以及及四四阶阶类类似似地地定定义义三三阶阶n)(),(y )(),( 2222yzyyxfzxzxyxfxzyyxx 二二阶阶偏偏导导数数第7页/共32页.,),0(),(222222yzxzxyzyxzxxyxfzy 求求设设xyzxyxxyxzxxyzxxyzxyyxzyxxzyyyyyy 21122222221ln )(ln,ln )1(,:解解例3第8页/共32页0 1222222

5、222 zuyuxuzyxu满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程证证明明25222222252222322222)(2 2)(23)(1 zyxzyxxzyxxzyxxu 例4 )( 2)(21:2322223222zyxxxzyxxu 证证明明第9页/共32页25222222222522222222)(2 , )(2 :zyxxyzzuzyxxzyyu 同同样样可可得得0222222 zuyuxu第10页/共32页0)0 , 0()0, 0(lim)0 , 0( 0)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(:00 yfyffxfxffyyxx解解 (0,0).(0,0),0 00 ),(2

6、222223yxxyffyxyxyxyxyxf求求 22223522232422)(2),( ,)(3),(,0yxyxxyxfyxyxyxyxfyxyx 时时当当例5第11页/共32页,5,32222xyyyxyxyyyxy 中中例例而而中中例例?么么条条件件混混合合偏偏导导数数相相等等需需要要什什00lim )0,0(),0(lim)0,0(00 yyfyffyxxyxy )0 , 0()0 , 0(1lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00yxxyxyyxyxffxxxfxff 第12页/共32页. ),(),(, ),(),(),(:1 . 3偏导数的次序无关偏导数的次序

7、无关即与求即与求则有则有连续连续内内的某邻域的某邻域在点在点若若定理定理yxfyxfyxyxfyxfxyyxyxxy 10 ),( ),(),( ),(),(),( ),(),( ),(),(:11 yyyxyxyyxFyxfyxxfyxyxfyxxfyyxfyyxxfFy则则设设证证明明 10 ),( ),(),( 21211 yxyyxxfyyyxfyyxxfyxyy第13页/共32页),(),( :0, 0, ),(),( 1,0 ),( : 43424343yxfyxfyxffyyxxfyyxxfyxyyxxfFyxxyyxxyxyyxxy 得得令令连连续续由由于于同同样样可可得得 第

8、14页/共32页定义定义 3.23.23.3 全微分全微分),(),(yxfyyxxfz :),(),( 处的全增量处的全增量在在yxyxfz , )()(),(),( ),(),(22有有关关而而与与无无关关与与其其中中的的全全增增量量可可表表示示为为在在点点如如果果yxyxyxoyxyxfyyxxfzyxyxfz yxdzdzyxyxfzyxyxyxfz ,),(),(,),(),( 即即记为记为的全微分的全微分在点在点为为处可微处可微在点在点则称则称第15页/共32页如果函数f在区域D内处处可微，则称f为区域D内可微函数。yyzxxzdz 则则可可微微在在点点若若函函数数必必要要条条件件

9、定定理理,),(),()(2yxyxfz 且且处存在偏导数处存在偏导数在在,),(),()2(yzxzyxyxf ;),(),()1(处处连连续续在在yxyxf第16页/共32页),(),(lim)()(),(),(),(),()1()0,0(),(22yxfyyxxfyxoyxyxfyyxxfzyxyxfzyx 处处可可微微在在证证明明处处连连续续在在),(),(yxyxf第17页/共32页 )(lim),(),(lim 00 xxoxyxfyxxfxzxx于于是是处处可可微微在在),(),(),(),(),(),(),(),()2(yoyyxfyyxfxoxyxfyxxfyxyxfz )(

10、lim),(),(lim 00yyoyyxfyyxfyzyy第18页/共32页由于自变量的微分等于自变量的改变量由于自变量的微分等于自变量的改变量, ,即即,d ,dyyxx 从而全微分可写成从而全微分可写成可微可微连续和可偏导连续和可偏导可微可微可偏导可偏导? ?dyyzdxxzdz 第19页/共32页.)0 , 0(),(),0 , 0(),0 , 0(00 0sin),(222222处处的的可可微微性性在在并并讨讨论论求求设设yxfffyxyxyxyxyxfyx 0000lim)0 , 0(), 0(0lim)0 , 0( 0000lim)0 , 0()0 ,(0lim)0 , 0(:

11、yyyfyfyfxxxfxfxfyx解解例6第20页/共32页22)()()sin(yxyx ) 0 , 0()0 ,0(fyxff 而而22)()()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyx 22)()()sin(yxyx 而极限而极限220)()()sin(limyxyx 不存在。不存在。第21页/共32页,.,62:的条件的条件高阶无穷小高阶无穷小是比是比加上加上必须再必须再但它并不一定是全微分但它并不一定是全微分表达式表达式当偏导数存在时可得到当偏导数存在时可得到而非充分条件而非充分条件要条件要条件偏导数存在是可微的必偏导数存在是可微的必知知及例及例由定理由定理注注 yyzxxzz

12、dzyyzxxz 才能保证全微分存在，且yyzxxzdz 第22页/共32页定理3.3（充分条件） .,在在该该点点可可微微则则函函数数处处连连续续在在点点的的偏偏导导数数若若fyxMyzxzyxfz 0,1010,:2121 yyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyxyx证证明明 yxyyxfxyxfyx ,第23页/共32页 ;0;0lim,0lim;002222 oyxyxyyxxyx又又而而由定义知，f 在M点可微。第24页/共32页 处处在在求求全全微微分分2, 12)2( )1(:34xyxzezyx dydxdzyzxzyxyzy

13、xxzdyxedxyedzyxyx123412,34:2, 13,242 1:)2,1(2433 处处在在解解例例8处处的的全全微微分分。在在求求函函数数)1 , 1 , 1()ln(2zyxu 第25页/共32页例例 9 设二元设二元函函数数00 01sin),(22222222 yxyxyxyxyxf）（问在问在(0,0)处，处，f (x, y)的偏导数是否存在？偏的偏导数是否存在？偏导数是否连续？导数是否连续？f(x, y)是否可微？是否可微？解：解： 01sinlim0,00,0lim0,02200 xxxxfxffxxx第26页/共32页同样同样 00,0 yf022 yx时时 不不

14、存存在在yxfyxfyxyxyyxyyxfyxyxxyxxyxfyyxxyxyx,lim,lim1cos21sin2,1cos21sin2,0,0,0,0,222222222222 第27页/共32页所以在一点可微，在此点所以在一点可微，在此点 偏导数不一定连续。偏导数不一定连续。 .0,0 ,0,1sin 0 ,00 ,0222222 dfyxfyxoyxyxyfxffyx且且可可微微在在而而第28页/共32页f 的偏导数连续的偏导数连续 f 可微可微f 的偏导数的偏导数存在存在( (可导可导) )f 连续连续几个概念之间的关系见下图：几个概念之间的关系见下图：第29页/共32页与一元函数类似，多元函数的微分运算法则：设f(x,y),g(x,y)是可微函数，则：; 0),(,),(),(),(),(),()