多元函数的极限与连续偏导数PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极限与连续偏导数多元函数的极限与连续偏导数第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,导数的应导数的应用用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第1页/共55页1赵树嫄赵树嫄. 微积分微积分. 中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学. 高等数学高等数学. 高等教育出版高等教育出版社社第2页/共55页第3页/共55页第4页/共55页1 1、多元函数的极限、

2、多元函数的极限用平面上用平面上( (x x0 0,y,y0 0),(),(x,yx,y) )的距离的距离2200()()xxyy220000( , )|()(),0(,):xx yxxyyy 定定义义的的 邻邻域域第5页/共55页.A),(,),(),(.|),(|)()(0, 0, 0:002020为极限为极限以以时时则称当则称当恒成立恒成立时时当当定义定义yxfyxyxAyxfyyxx )0(),(.),(lim.),(lim.),(lim:0),(),(0000 AyxfAyxfAyxfAyxfyyxxyxyx或或或或或或记记第6页/共55页（1 1）定义中）定义中 的方式可能是多种多样

3、的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的. .0PP （2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。说明：说明：第7页/共55页01sin)(lim222200 yxyxyx证证01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0

4、()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例2 2 求证求证 第8页/共55页例例3 3 求极求极限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx第9页/共55页例例4 4 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx 证证取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxk

5、xyx ,12kk 其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第10页/共55页确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：.,),(),()1(000则可断言极限不存在则可断言极限不存在有关有关与与若极限若极限趋于趋于沿沿kyxPkxyyxP .,),(lim,)2(00则可断言极限不存在则可断言极限不存在但两者不相等但两者不相等存在存在使使找两种不同趋于方式找两种不同趋于方式yxfyyxx第11页/共55页2 2、二元函数的连续性、二元函数的连续性满足：满足：定义：设定义：设),(yxf的某邻域内有定义的某邻域内有定义在点在点),()1(00yx存在存在),(l

6、im)2(),(),(00yxfyxyx),(),(lim)3(00),(),(00yxfyxfyxyx ,),(),(00处连续处连续在点在点则称则称yxyxf.),(00是函数的间断点是函数的间断点否则称否则称yx第12页/共55页例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 当当 时时 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故

7、函数在故函数在(0,0)处连续处连续.第13页/共55页例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)(0,0)处不连续处不连续第14页/共55页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少

8、取得它的最大值和最小值各一次第15页/共55页（2）介值定理）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这两值之间的任何值至少一次上取得介于这两值之间的任何值至少一次多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义

9、区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第16页/共55页:)()()()(lim000处连续，则处连续，则在点在点则则的定义域的内点，的定义域的内点，是是等函数，且等函数，且是初是初时，如果时，如果一般地，求一般地，求PPfPfPPfPfPP).()(lim00PfPfPP 第17页/共55页多元函数的定义多元函数的定义多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质3、小结、小结第18页/共55页思考题思考题第19页/共5

10、5页不能不能. .例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考题解答思考题解答.),(lim)0,0(),(不存在不存在但是但是yxfyx第20页/共55页练练 习习 题题第21页/共55页;42lim. 100 xyxyyx ;sinlim. 200 xxyyx.)()cos(1lim. 322222200yxyxyxyx 二二. 求下列各极限求下列各极限:第22页/共55页. 0lim.2200 yxxyyx证明证明三三.1

11、1lim.00不存在不存在证明极限证明极限四四yxxyyx 第23页/共55页练习题答案练习题答案一一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. . 二二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . . 第24页/共55页偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，

12、它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。 对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念偏导数概念，对此给出如下定义。，对此给出

13、如下定义。第25页/共55页一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法数有相应的增量：数有相应的增量：时，函时，函处有增量处有增量在在而而固定在固定在定义，当定义，当的某邻域内有的某邻域内有在点在点设设定义：定义：xxxyyyxyxfz 0000),(),( ),(),(0000yxfyxxf 存在存在如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000 :.),(),(00记为记为对的偏导数对的偏导数处处在点在点则称此极限为函数则称此极限为函数yxyxfz 第26页/共55页,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz ),(00yxfx的偏导数：的偏导数：对对在

14、点在点同理可定义同理可定义yyxyxfz),(),(00 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 ,00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz ),(00yxfy第27页/共55页 如果函数如果函数z=fz=f( (x,yx,y) ) 在区域在区域D D 内任一点内任一点( (x,yx,y) ) 处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x x、y y 的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数 对自变量的对自变量的偏导数。偏导数。记为：记为：，xz ，xf ,xz),(yxfxxyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0第28

15、页/共55页同理可以定义函数同理可以定义函数 z=fz=f( (x,yx,y) )对自变量对自变量y y的偏导数的偏导数记为：记为：，yz ，yf ,yz),(yxfyy),()y,(lim),(0yyxfyxfyxfy第29页/共55页偏导数的求法偏导数的求法求求 时把时把 y y 视为常数而对视为常数而对 x x 求导求导xf 求求 时把时把 x x 视为常数而对视为常数而对 y y 求导求导yf 这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题第30页/共55页,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),

16、(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数:),(),(处处在在点点如如zyxzyxfu 第31页/共55页一般地一般地 设设),(21nxxxfw ininiixixxxxfxxxxfxwi ),(),(lim110 ), 2 , 1(ni 第32页/共55页例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2, 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求证求证 zyzxxzyx2ln1 .证证

17、 xz,1 yyx yz,ln xxy第33页/共55页yzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx |)|(2yy .|22yxy 第34页/共55页 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.第35

18、页/共55页证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV pVRT . 1 第36页/共55页有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求计算计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将时可先将 y = y0 代入代入 f (x ,y ) 再对再对 x x 求导求导, ,然后代入然后代入 x x = = x x0 0 计算计算 f f y y ( (x x0 0 , ,y y0 0 ) ) 时同理时同理).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求

19、设例如解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 3 3、第37页/共55页4、 偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量。偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量。5 5、若若 f f( ( x x , , y y ) =) =f f( ( y y , , x x ) ) 则称则称 f f( ( x x , , y y ) ) 关于关于 x x , , y y 具有轮换对称性具有轮换对称性在求在求 时时22,yuyu 只需将所求的只需将所求的 22,xuxu 中的中的 x x ,

20、, y y 互换即可互换即可第38页/共55页6、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续，例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.第39页/共55页7、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如如图图几何意

21、义几何意义: :第40页/共55页 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对 x轴轴的斜率的斜率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对 y轴轴的斜率的斜率. 二、高阶偏导数二、高阶偏导数函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy 纯偏纯偏导导第41页/共55页),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 混合偏导混合偏导

22、定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数阶偏导数.例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .22xz ,62xy 33xz ,62y 22yz ;1823xyx yxz 2, 19622 yyxxyz 2. 19622 yyx第42页/共55页观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形第43页/共55页例例 6 6

23、 设设byeuaxcos ，求二阶偏导数，求二阶偏导数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？第44页/共55页定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等例例 7 7 验证函数

24、验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程 解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu 第45页/共55页.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 第46页/共55页三、小结三、小结偏导数的定义偏导数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）思考题思考题若函数若函数),(yxf在点在点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？第47页/共55页思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.第48页/共55页练练 习习 题题第49页/共55页 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、