中考数学 第一部分 基础知识过关 第一章 数与式 第4讲 二次根式课件 (15)

1、第第1111讲讲 反比例函数反比例函数泰安考情分析泰安考情分析基础知识过关基础知识过关泰安考点聚焦泰安考点聚焦总纲目录总纲目录随堂巩固练习随堂巩固练习泰安考情分析基础知识过关知识点一知识点一 反比例函数的定义反比例函数的定义知识点二知识点二 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质知识点四知识点四 求反比例函数的解析式求反比例函数的解析式知识点三知识点三 反比例函数中系数反比例函数中系数k k的几何意义的几何意义知识点五知识点五 反比例函数的应用反比例函数的应用知识点一知识点一 反比例函数的定义反比例函数的定义一般地,形如 y= (k0)的函数叫做反比例函数,其中k为反比例函数的系数.温馨

2、提示温馨提示 (1)y=(k0)可变形为k=xy(k0),用此式可直接求出k的值,得到反比例函数的解析式;(2)y=(k0)可变形为y=kx-1(k0),特别值得注意的是自变量x的指数为-1;(3)对于反比例函数y=,需要满足k0,x0,y0.kxkxkxkx知识点二知识点二 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质1.1.反比例函数的图象反比例函数的图象: :反比例函数y= (k0)的图象是 双曲线 ,因为x0,所以y0,所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴,但不会与x轴、y轴相交.kx2.反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质温馨提示温馨提示 反比例函数的图象是双曲线,它既是轴

3、对称图形,又是中心对称图形.其对称轴是直线y=x和直线y=-x,对称中心是原点.y=(k0)k0k0图象所在象限位于第一、三象限位于第二、四象限增减性在每个象限内,y随x的增大而 减小 在每个象限内,y随x的增大而 增大 kx知识点三知识点三 反比例函数中系数反比例函数中系数k k的几何意义的几何意义1.反比例函数y=(k0)中k的几何意义由双曲线y=(k0)上任意一点向两坐标轴作垂线,两垂线与坐标轴围成的矩形面积为 |k| .如图(1)和图(2),=PAPB=|y|x|=|xy|=|k|.同理可得,SOPA=SOPB=|xy|=|k|.kxkxPAOBS矩形1212 2.计算与双曲线上的点有

4、关的图形面积SAOP= |k|;SAPB= |k|;SAPP=2|k|.1212知识点四知识点四 求反比例函数的解析式求反比例函数的解析式1.由反比例函数y= (k0)的解析式中只有一个待定系数k可知,只需已知一组对应值或图象上一点的坐标即可求出k的值.2.待定系数法求反比例函数解析式的步骤(1)设所求反比例函数的解析式为y= (k0);(2)把已知的一对x、y的值(或图象上已知点的坐标)代入解析式,得到关于k的方程;(3)解出k的值,写出反比例函数解析式.kxkx3.反比例函数的解析式,除了常见的y= 外,还可以表示为y=kx-1或xy=k(k不为0).kx知识点五知识点五 反比例函数的应用

5、反比例函数的应用解决与反比例函数有关的实际问题时,一般要先确定函数解析式,再利用图象找出解决问题的方案,要特别注意自变量的取值范围.具体的过程大致可以总结为建立反比例函数模型求出反比例函数表达式结合函数表达式、图象性质作出解答,特别要注意自变量的取值范围.泰安考点聚焦考点一考点一 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质考点二考点二 反比例函数中反比例函数中k k的几何意义的几何意义考点三考点三 反比例函数的应用反比例函数的应用考点四考点四 反比例函数与一次函数的综合问题反比例函数与一次函数的综合问题考点一考点一 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质考向考向1 1反比例函数的图象反

6、比例函数的图象例例1 1反比例函数y= 在每个象限内的函数值y随x的增大而增大,则m的取值范围是( D )A.m0C.m-1 D.m-11mx解析解析对于反比例函数y=(k是常数,k0),若其在每个象限内的函数值y随x的增大而增大,则k0,即m+10,所以m-1.kx变式变式1-11-1 已知反比例函数y= (k0)的图象经过点(3,-1),则当1y3时,自变量x的取值范围是 -3-3x x-1-1 .kx解析解析反比例函数y=(k0)的图象经过点(3,-1),k=3(-1)=-3,反比例函数的解析式为y=-,反比例函数y=-中,k=-30,该反比例函数的图象在第二、四象限内,且在每个象限内y

7、随x的增大而增大,当y=1时,x=-3;当y=3时,x=-1,当1y3时,自变量x的取值范围是-3x0图象在第一、三象限在每个象限内y随x的增大而减小;k0图象在第二、四象限在每个象限内y随x的增大而增大.kx考向考向2 2函数值的大小比较函数值的大小比较例例2 2 (2017天津)若点A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=- 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( B )A.y1y2y3 B.y2y3y1C.y3y2y1 D.y2y1y3 3x解析解析-30,函数图象在第二、四象限,且在每个象限内,y随 x的增大而增大,易知点B,C同在第四象限,且13,y2y3

8、0,y2y30,函数图象在第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而减小,点A在第三象限,函数值为负数,点B和点C在第一象限,y2y30,y1y3y2.变式变式2-22-2已知A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y= (k0)图象上的两个点,当x1x2y2,那么一次函数y=kx-k的图象不经过( B )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限kx解析解析由当x1x2y2,可知当x0,所以-k0)的图象上任意一点,ABx轴交反比例函数y=- (x0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?当x=5时,y=45,

9、求k的值;(2)按照国家规定,车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7:kx(2)按照国家规定,车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7:00能否驾车去上班?请说明理由.解析解析(1)y=-200 x2+400 x=-200(x-1)2+200,图象的顶点坐标为(1,200).-20020,第二天早上7:00不能驾车去上班.225x22511变式变式

10、4-14-1某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物试验,首次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4x10时,y与x成反比例).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;(2)求血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时.解析解析(1)当0 x4时,设直线的解析式为y=kx(k0),将(4,8)代入得8=4k,解得k=2,故直线的解析式为y=2x(0 x4);当4x10时,设反比例函数的解析式为y= (a0),将(4,8)代入得8= ,解得a=32,故反比例函数的解析式为y= (4

11、x10).因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x(0 xy2时,x的取值范围是( D )A.x2 B.x-2或0 x2C.-2x0或0 x2 D.-2x22kx解析解析反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称,A、B两点关于原点对称,点A的横坐标为2,点B的横坐标为-2,结合函数图象可知,当-2x2时,正比例函数y1=k1x的图象在反比例函数y2= 的图象的上方,当y1y2时,x的取值范围是-2x2,故选D.2kx变式变式5-2 5-2 (2017烟台)如图,直线y =x +2与反比例函数y = 的图象在第一象限交于点P,若OP=,则k的值为 3 .kx10解析解析点P为两函数图象

12、的交点,设点P(x,x+2),过点P向x轴作垂线,与x轴相交于点M,在RtOMP中,OP=,根据勾股定理,得x=1,P(1,3),代入反比例函数关系式中,得k=3.10考向考向2 2反比例函数与一次函数的相关计算反比例函数与一次函数的相关计算例例6 6 (2017泰安)如图,在平面直角坐标系中,RtAOB的斜边OA在x轴的正半轴上,OBA=90,且tanAOB=,OB=2,反比例函数y= 的图象经过点B.(1)求反比例函数的表达式;(2)若AMB与AOB关于直线AB对称,一次函数y=mx+n的图象过点M、A,求一次函数的表达式.125kx解析解析(1)过点B作BDOA于点D,设BD=a,tan

13、AOB = =,OD =2BD.ODB=90,OB=2,a2+(2a)2=(2)2,解得a=2(舍去-2),OD=4,BDOD1255B(4,2),k=42=8,反比例函数的表达式为y= .(2)tanAOB= ,OB=2,AB= OB = ,OA=5,A(5,0).又AMB与AOB关于直线AB对称,B(4,2),ABO=90,ABM=ABO=90,O、B、M三点共线,OM=2OB,M(8,4).8x12512522OBAB22(2 5)( 5)把点M、A的坐标分别代入y=mx+n,得解得故一次函数的表达式为y=x-.50,84,mnmn4,320,3mn 43203变式变式6-16-1 (2

14、017菏泽)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象在第一象限交于A,B两点,B点的坐标为(3,2),连接OA,OB,过点B作BDy轴,垂足为D,交OA于点C,若OC=CA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)求AOB的面积.ax解析解析(1)如图,过点A作AFx轴交BD于点E,交OB于点G.点B(3,2)在反比例函数y=的图象上,a=32=6,反比例函数的表达式为y= .B(3,2),EF=2.BDy轴,OC=CA,AE=EF=AF,AF=4,点A的纵坐标为4.点A在反比例函数y= 的图象上,A.将(3,2),代入y=kx+b得 ax6x126x3,423,4232,34,

15、2kbkb4,36,kb 一次函数的表达式为y=- x+6.(2)B(3,2),直线OB的表达式为y= x,G ,又A ,AG=4-1=3,SAOB=SAOG+SABG= .43233,123,4292一、选择题一、选择题1.已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:时)关于行驶速度v(单位:千米/时)的函数关系式是( B )A.t=20v B.t= C.t= D.t= 20v20v10v随堂巩固训练A.m-5 B.0m5C.-5m0 D.m-52.下图中的曲线是反比例函数y= 的图象的一支,则m的取值范围是( A )5mx3.(2017威海)如图,正方形A

16、BCD的边长为5,点A的坐标为(-4,0),点B在y轴上,若反比例函数y=(k0)的图象过点C,则该反比例函数kx的表达式为( A )A.y= B.y= C.y= D.y= 3x4x5x6x4.反比例函数y= 的图象与直线y=-x+2有两个交点,且两交点横坐标的积为负数,则t的取值范围是( B )A.t C.t D.t1 6tx16161616二、填空题二、填空题5.(2018威海)如图,直线AB与双曲线y=(kS2时,点P的横坐标x的取值范围为 -6xS2时,点P在线段AB上,点P的横坐标x的取值范围为-6x-2.kx6x6.(2018滨州)若点A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y

17、3)都在反比例函数y=(k为常数)的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为 y2y10,t0.点A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数y=(k为常数)的图象上,y1=- ,y2=-t,y3=t,-t- t,y2y1y3.223kkx2t2t7.(2018德州)如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x-2的图象在第三象限交于点A.点B的坐标为(-3,0),点P是y轴左侧的一点.若以A、O、B、P为顶点的四边形为平行四边形.则点P的坐标为 (-4,-3)或(-2,3) .3x解析解析由题意得 解得 或 反比例函数y= 的图象与一次函数y=x-2的图象在第三象限交于点A

18、,A(-1,-3). 当以AB为对角线时,AB的中点M的坐标为(-2,-1.5).平行四边形的对角线互相平分,M为OP中点,设P点坐标为(x,y),则 =-2,=-1.5,解得x=-4,y=-3,P(-4,-3);当OB为对角线时,由O、B坐标可求得OB的中点M的坐标为,设P点坐标为(x,y),由平行四边形的性质可知M为AP的中2,3,yxyx3,1xy1,3.xy 3x02x02y3,02点,结合中点坐标公式可得 =- , =0,解得x=-2,y=3,P(-2,3);当以OA为对角线时,由O、A坐标可求得OA的中点M的坐标为,设P点坐标为(x,y),由平行四边形的性质可知M为BP中点,结合中

19、点坐标公式可得 =- , =- ,解得x=2,y=-3,P(2,-3)(不合题意,舍去).综上所述,P点的坐标为(-4,-3)或(-2,3).12x3232y 13,2232x1202y328.如图,函数y=和y=-的图象分别是l1和l2.设点P在l1上,PCx轴,垂足为点C,交l2于点A,PDy轴,垂足为点D,交l2于点B,则PAB的面积为 8 .1x3x点P在y=的图象上,|xP|yP|=|k|=1,设P的坐标是 (a为正数),点A ,点B ,PA= ,PB=4a,SPAB= PAPB= 4a=8.1x1, aa3, aa13 , aa4a12124a9.如图,点A是反比例函数图象上一点,

20、过点A作ABy轴于点B,点C、D在x轴上,且BCAD,四边形ABCD的面积为3,则这个反比例函数的解析式为 y=- .3x解析解析根据反比例函数中k的几何意义及四边形ABCD的面积为3,可得|k|=3,该反比例函数的图象在第二、四象限,k=-3,即函数的解析式为y=- .3x三、解答题三、解答题10.(2018滨州)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(1,).(1)求图象过点B的反比例函数的解析式;(2)求图象过点A,B的一次函数的解析式;(3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时,请直接写出自变量x的取值范围.3解析解析(1)由C的坐标为(1,),得到OC=2,菱形OABC,BC=OC=OA=2,BCx轴,B(3,),设反比例函数解析式为y= ,把B的坐标代入得k=3,则反比例函数解析式为y=.(2)设直线AB的解析式为y=mx+n,把A(2,0),B(3,)代入得33kx33 3x320,33,mnm