哈尔滨工业大学数值分析历年考题

1、哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题2000年研究生“数值分析”试题, 填空（20分）1, n + 1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为次，最高为次。3,2, SOR方法收敛的必要条件：松弛因子血满足条件。对于插值型求积公式f（x）dx« A f（xQ，其节点 （k= OJL,】）是高斯 一k=0点的充分必要条件是4, 设A= （ay）为nxn矩阵，则|州=，制5, 设解方程组Ax = b的迭代法为/事二氏 +心 则迭代收敛的充分必要条件是6, 判断下而的函数是否为三次样条函数（填是或否）0(1) f(x)彳 X3x3 + (x-l)2-1 < x < 00

2、<x<l1 <x<2(2)x3 + 2x+l2x3 + 2x + l-1 <x<00 <x<l1 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题# 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题二（10 分）i£-2<x<-2上给出f（x）=厂等距节点函数运用二次插值求厂的近似值,要使误差不超过10",问使用函数表的步长应取多大？三，（10分） 给出函数表0123411/21/51/101/17求有理插值四，（10分） 设f（x）在xqXs上有三阶连续导数，且Xq V音VX? VX3,（1）试作一个次数不高于四次的多项式P

3、（x）,满足条件p(Xj)= f(Xj)# 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题# 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题p'(Xj)= F(xJ# 哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题(2) 推导它的余项E(x) = f(x)- p(x)的表达式五,(10分)试用Romberg (龙贝格)方法，计算积分-dx,并精确到小数点后4位。六，(10分) 利用数值积分的Simpson (辛甫生)公式，导出公式Yn+i = yn-i + (yLi+4 人+y'z) 并指出次方法的阶七，(10分)设f(x) = 0的单根a, x = F (x)是f(x) = 0的等价方程

4、，则：F(x)可表为F(R= 4 m(x)f(x)证明：当m(a)Hf)T时，F(x)是一阶的。当m(Q)= F(a)】时，F(x)至少是二阶的。八，(10分) 试对方程组2X -3x2 +15x3 = 30 < 20X + 2x2 + 3X3 = 24 ,对收敛的 Gauss-Seidel 迭代格式，并取 x(0) = (0,0,0)T, + 8x2 + x3 = 12计算到X试证明高斯求积公式九，(10分)f(x)dx« Ac f (xQ的求积系数Ac恒为正。k=l2001/2002年研究生“数值分析”试题一，试解答下列问题1, 已知 f(x) = x5 +3x4 -4X3

5、 +1,求：f£,e2, J,/,"和 f£,e2, J,/,",誉2, 若yn = 2n求和旷儿3, 判断下列函数是否是三次样条函数(01 < x < 0if(x) = *x30 <x<lx3 + (x-1)21 <x<2.cj x3 + 2x+l -1 Wx vO11f(x)= <.2x3 + 2x+l 0 <x<l1 一 34, 己知 A=求制p，P = 1,2,s,F245, 试用Euler (尤拉)公式求解初值问题(h = O.l )yf= y -0 < X < 0.31 y(o

6、)= 】二， 设a 0为实数，试建立求丄的Newton （牛顿）迭代公式，要求在迭代a中不含除法运算，证明当初值观满足0现3时，此算法是收敛的，并用 a此算法计算丄的近似值（保留4位小数）。99三， 应用Doolittle （杜利特尔）方法解线性方程组比 + 2x2 + x3 = 02X + 2x2 +3x3 = 3_ X - 3x3 = 2四.设给出cosx的函数表(0°x90°Ji = r= ()°)60X0°-15.0000°15.0167°15.0333。15.05。90°cosx1-0.965930.965850.

7、965780.96570-0研究用此表进行线性插值求COSX近似值时的最大截断误差界，并用二次 Lagiange （拉格朗日）插値计算15.03°的近似值。五,七,已知LegedreC勒让徳）多项式P】（x）的零点为土寺，试用GaussLegedie求积公式计算Udx的近似值。（保留4位小数）1+X-应用Romberg （龙贝格）积分法计算定积分fgdx的近似值（精确到小 数点后4位，其真值为1.098612289 ）o试讨论求解常微分方程初值问题的Simpson （辛卜生）方法yn+l = Yn-l + |（y，n+l+4/n+y，n-l）的稳定性八， 分别用Jocobi (雅可比

8、)和GaussSeidel (高斯一塞徳尔)迭代求解下 而的方程组(初值取Xq = (0,0,0)T计算X和X4)x+4x=2-x(1)+4x(2)-x(3)=64x-x«)= 2九，试回答，在Lagrange (拉格朗)插值方法中，是否插值多项式的次数越髙，插值精度也越高？为什么？2003年研究生“数值分析”试题一，(8分)设a0为实数，试建立求丄的Newton迭代公式，要求在迭代函数a中不含除法运算，并证明：当初值Xo满足0时，此格式时收敛的。a卩2 3)衍、卩4)二，(6分)用Doolittle分解法解方程组2 5 2x2183 1 5 /10 a 0三，(8分)设人=b 10

9、 b , detAHO,用a, b表示方程组Ax.= d的Jacobi 0 a 5迭代法及Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件。0-1'1/2、四，(8分)设方程组Ac = b,其中A=2 21,b =1/30已知它有解21丿x=(i,-i,0)T,如果右端有小扰动Hro = |xl0,试估计由此引起的解的相对 误差。五,(10分)求岀一个次数不高于4次的Hermite插值多项式P(x),使它满足P(0) = Pr(0) = 0, P(l) = p*(l) = l，p(2) = l,并写岀余项表达式。六，(6分)用Romberg方法计算积分e_xdx ,计算到Eo。七，(6

10、分)已知函数表01234心）!1L丄丄251017求有理插值函数R（x）。八，（6分）设(1)f(x) = “x3 + x32x3 + bx3 + cx-10 <x<ll<x<2是以0, 1, 2为节点的三次样条函-5-哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题-#-哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题数，求出b.c。aex + 2x+lx3 + bx + 1x<0x>0是以0节点的三次样条函数，求出a.b。-#-哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题九，（10 分）求出二点 Gauss 求积公式J： f（x）dx« Hof（xo） +

11、H1 f（）中系数H° , H及节点观，X。并用此公式计算积分I = fcosxdx （结果保留5位小数）。十，（6分）用逆Broyden秩1方法求方程组F（x） J灵+%气“°的解，取|<3xfx2-x2-4j初值x° =（坷=（1.2J.6）t ,来计算迭代二次的值。-4 14 0、十一，（6分）使用乘幕法求矩阵A= -5 13 0的最大特征值和对应的特征向、一 1 0 2,量（只需计算前两次迭代的值）十二，（20分）考虑线性多步方法畑-_&（%_%）+ yg + ；（3+a）h（几+yJZr（1）证明存在Q的一个值使方法是4阶的；（2）写岀局部

12、截断误差的首项；（3）当使用用4阶方法时，需要儿个初始启动值（表头），通常情况用什么方 法计算表头；举出一个实例并写出公式表达式；（4）讨论收敛性，如方法是收敛的，其阶数应不超过多少？（5）讨论绝对稳定性。1pP（其中在局部截断误差中Cq =_l £（i）q£ + q£（l）qTbq = 23q!i=otj +1-> +1 j = a三次方程t3 + at2 + bt + c = 0根t2, ts满足关系”心+以孑+ tst = b）.3 =-c2004年研究生“数值分析”试题（10分）设Q是f（x） = 0的m重根（in = 1）,证明Newton迭代仅为

13、线性收敛；-7-哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题并写出一个半方收敛的Newton迭代公式。2 1、X八二，（8分）用Doolittle分解法解方程组22 3X"=3-1-3 07K丿三，（10 分）用迭代公式= x（k） + a（Ax（k） -b）求解& = b,若 A=,问（1） a取何值的范围迭代收敛？ （2） Q取何值时迭代收敛最快？四，（10分）设fX>siix,求上的一次最佳平方逼近多项式2p；（x） = a； + a；x五，（6分）用共觇梯度法方法（CG方法）解方程组=11 5人xj六，（10分）求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计性。24

14、0一 179做=b 240-319.53'-179.5240xj4(A+ 旳(x+ J) = b#哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题#哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题七，（8分）设f（x）eCn+2a,b, y（x）是以观咅,为节点的1】次插值多项式, 试推导：在一节点Xk处有,w(a,b)F(xJ - y*(xQ = -絆 P*n+1 ()(n + 1)!其中 Pn+ONx-XoRYxxJ八，（8分）推导出复化梯形求积公式及误差公式。九，（10分）确定求积公式f（x）dx« -Aj f（-y-） + Af（¥）中系数A，Al使公式有尽可能高的代数

15、精度：代数稱度是多少？并用此公式计算积分I = fcosxdx（结果保留5位小数）。'1233 )十，(6分)使用乘幕法求矩阵A= 31-2的最大特征值和对应的特征、3-27?向量(只需计算前两次迭代的值)取初值v0 = (1JJ)TH, (14 分)对二步法= ayn_! + h(by,n41+cy,n+dy,n_1)(1) 确定a,b,c,d,使方法是4阶的；(2) 讨论4阶方法的收敛性和稳定性：(3) 其中：在线性多步法的局部截断误差中1pPCq = -1-S (-i)q + q工(-i)H bjq>2q!i=0i=-l2008年研究生“数值分析”试题一. (10分)设给实

16、数a >0,初值>0：试建立求丄的Newton迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；a证明给定初值,迭代收敛的充分必要条件为0 V屯V扌；该迭代的收敛速度是多少？(4) 取 = 0.1,计算扌的近似值，要求计算迭代三次的值(结果保留5位小 数)。二. (10分)试确定参数a,b,c使得下面分段多项式函数s(x)是三次样条函数。x3,O<X<1s(x) =1(x-1)3 + a(x-l)3 + b(x-l)+ c, 1 <x<32s(x)是否是门然样条函数？三. (10分)利用Dollite三角分解方法求解方程组12r 0_223X.=3-1-302四(10分)给定3阶线性方程组讨论其Jacobi迭代格式的收敛性9哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题五. （10分）推导出中矩形求积公式f（x）dx«（b-a）f（），并求出其截断误差。六. （10分）已知一组试验数据：1234y：60302015用最小二乘法确定拟合公式y= a沪中的参数a,b。七. （10分）根据已知函数表：0124f （兀）19233建立不超过三次的Newton插值项式。八. （10分）试确定常数4, A，使求积公式J：f（x）dxa4f（-*） + Af （吉）有尽可能高的代数精度，并