对两个重要极限重要性认识

1、对两个重要极限的重要性的认识摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识,总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。关键词： 重要极限；重要性；证明；应用1. 绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学

2、生来说，具有指导意义。数学分析课程在讲述关于两个重要极限和时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地lim sin x1lim (11 ) xex 0xxx位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化,应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础,其重要性就不难理解了。试想 ,若没有它们 , 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。2. 两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容 , 也是解决极限问题的一种有效方法 , 在学生的学习中 , 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要

3、的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。2. 1 第一个重要极限 ： lim sin x1x 0x1：证明：作单位圆，如图图 1设 x 为 圆 心 角AOB， 并 设0 x见图不难发现：2S AOB S扇形 AOB S AOD ，即： 1 sin x1 x1 tan x ，即sin xxtan x ，2221x1cos xsin xcos x1sin xx（因为 0x，所以上不等式不改变方向）x2当 x 改变符号时， cos x,及 1 的值均不变，故对满足0x的一切sin xsin x2x ，有 cos x1。x又因为 cos x1(1cos x)12sin

4、 2 ( x ) 1 2x21x2，242x21lim cos x 1所以 1cos x2x0而 lim cos xlim 11lim sin x1，证毕。x 0x 0x 0x2.2 第二个重要极限 ： lim (11 ) x ex x先考虑 x 取正整数时的情形： lim (11 ) nnn对于 ba0 ，有不等式： bn 1a n1(n 1)bn ，ba即：bn 1an 1(n1)bn (b) ，a即：n 1bn (n1)aanb（ i） 现 令 a1n1 ,b 11， 显 然 ba 0 ， 因 为1n(n 1)anbn11( n1) 1将其代入，所以(11) n 1(11) n，所以li

5、m sin x1n1n1n为单调数列，记作 xn 。x0x( 11xn)lim (1ex)（ii）又令a1，xb 11,(n 1)a nb n 1 (n1)12n221 ) n 11 ) n1 ) 2n ，所以1 (12 (14 (12n22n2n即对 ,x2 n4， 又对(11)2 n 1(11)2 n 24n2n2n1 ) n 是有界的。12所以 (1n1 ) n 存在，并使用 e 来表示，由单调有界定理知lim (1xn1 ) n即 lim (1e2.7182818284 59045xn3. 两个重要极限在微分学中的重要性在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：1幂函数yx (

6、R ),2指数函数yx(a0,a1)，a3对数函数ylog ax( a0, a1)，4 三角函数 y=sin x, y=cos x，y=tan x, y=cot x,5 反三角函数 y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点 x 处的导数'( x)，就f是计算极限f ( x x)f (x)limx0x（ 3.1）当这一极限存在时，其值就是' 。

7、但这仅仅是停留在导数定义上的，如果f ( x)求函数的导数都要计算极限3.1 的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限 3.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幂函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数。对于第一类函数的求导，要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导，lim sin x1需要利用到 x 0x这个重要极限。对于

8、第三类函数的求导，需要利用到lim (11 ) x exx这个极限。下面来看一看基本求导公式是如何得来的。3.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数 sin x 的求导公式的推导为例.由导数的定义sin(xx)sin( x)2cos(xx )sinx(sin x)' limlim22x 0xx 0xxlim cos(xx) sin 2cosx 1cosxx 02x2lim sin xsinxlim sin t其中应用了第一个重要极限1 ，即 lim21 （令x 0xx 0xt 0t2tx ）。2求得 (sin x)= cosx 后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利

9、用多个求导法则得到了。3.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用其次，再看看对数函数log a x 的求导公式的推导过程。由导数定义(log ax)'lim log a ( xx) log a xlim log a (1x )x0xx0x1x 1xlim log a(1x ) x xx0xlim 1 log a (1x )x 0 xxx11xxlog a ex ln a其中应用了第二个重要极限 lim(11 )xe ，即 lim log a (1x )xxx0xx1)uxlim(1euu（令 x /xu ）。求得了 (log a x)' 以后，指数函数和幂函数的求导公式

10、就容易得出了。可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在

11、微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要。4. 两个重要极限在计算中的应用4.1两个重要极限在一元极限中的应用00第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限。若分子分母分别求极限便 00得这一不定的结果，因此称这一类型的极限为型未定0式。类似地，第二个重要极限是属于 1 型未定式。0综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的型未定式和 1型未定式，我们都可不妨用两个重要极限来试试，看能否求出它的结果，以下举例来说明如何应用这两个重要极限于极限运算中的。例1 求 lim1cosxx2x01cos x2sin2xsin 2 xlim 1sin xsin x1 解

12、 := lim2lim222limx2x 2xx 0x 0x 0)2x 0 2xx22(222例 2求 limtan xsin x x 0x3tan xsinxsin xsin xsin x 1cosx= lim cosxlimcosx解: lim33x0xx0xx0x3= lim sin x lim1lim 1cosx1 x0xx 0 cosxx 0x 22例3求 lim (12 ) x xx解:2=t ，则 x= 2 令 xt当 x时 t0，21于是lim (12 ) x = lim (1 t ) t lim (1 t ) t 2 =e2xxt 0t 0例43x x求 lim ()x 2

13、x解: 令 3 x =1+u ，则 x=2 1 2xu当 x时 u0，3x11x= lim (122u) u lim (1u ) u于是 lim ()(1 u )x2xu0u 01lim (1 u ) 2 =e -1= lim(1u ) u 1u0u 0例5求 lim (1tan x) cot x x0解:设 t=tanx，则1 cotxt当 x0 时 t0，1于是 lim (1tan x ) cot x = lim (1t ) t =ex0t04.2 两个重要极限在二元函数极限中的应用4.2.1 重要极限 lim sin x1 的应用x0x极限 limsin u( x, y)是一元函数第一个

14、重要极限的推广，其中，u( x, y)1u( x, y )0（） （）0 ，把 u(x, y) 看作新变量 t ，考虑极限过程x, yx0 , y0时， u(x, y)t0 。limsin( x3x2例 1 求极限 ( x, y)(0,0 )sin( x3y3 )limx2y2解： ( x, y ) (0, 0)3y )limsin(x3y3 )x3y 3x3y3x2y2( x, y) (0 ,0)limsin(x3y3 )limx3y31 0 0( x3x3y3x2y2y3 ) 0( x, y) ( 0,0)极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形。我们设 f ( x, y)sin( x3y3

15、 )，定义域是 D (x, y) (x, y) (0,0) 。x2y2再设 f1( x, y)sin( x3y3 ) x3y3x3y3x 2y2定义域 D1,y(,) (0,0)且yx,显然有D 1 D。xx y可以看到，从函数f ( x, y) 到f1( x, y) 定义域变小了，但 f (x, y) ， f1 (x, y) 分别在各自的定义域 D 与D1内，当(0,0)时，可以证明极限都是存在的，证明（ x, y）如下：（ 1）以下是对 f ( x, y)sin( x3y3 ) 在定义域 D( x, y) ( x, y) (0,0) 内极限x2y2的证明。因为当（ x, y） (0,0)

16、时，有：sin( x3y3 )x3y 3xx2yy 2xy00y2x2y 2y2yx2x2x22limsin( x3y3 )所以由夹逼准则得x2y2=0( x, y)(0,0 )(2)对 f1( x, y)sin(x3y3 ) x3y3x, y (x, y)(0,0)且 yx , 内x3y3x2y2 在定义域 D1极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知道，并且其值易算得为0.既然 f ( x, y)sin( x3y3 )在定义域 D ( x, y) ( x, y)(0,0) 内极限存在，那么极x2y 2限必唯一。我们可以在D 内任找(0,0)的方式来计算出极限值。由D 与（ x, y）D1

17、的关系（ D1D ），知道在D1DD1 中两函数相等，所以在求极限找（ x, y）(0,0) 的方式时，我们可以在D1（ D1D ）中找，显然，两函数的极限是相等的。f ( x, y)sin( x3y3 )f1 (x, y)sin( x3y 3 ) x3y3x2y2x3y3x2y2 ，limsin( x3y3 )limsin( x3y3 ) x3y3但是，x2y2x3y3x2y2( x, y )(0,0)( x, y) (0, 0)limf1 (x, y)是成立的。= ( x, y)（）0, 0所以在（ x, y）(0,0) 时，两函数的极限是相等的。同理可以计算下面例子。sin xylim例

18、 2 求极限 ( x, y)(0, 0)ysin u (x, y ) u ( x, y );1cos u ( x, y) 1 u 2 ( x, y );2ln 1u ( x, y) u ( x, y ); tan u (x, y ) u ( x, y );eu ( x , y )1 u ( x, y)解： limsin xylimsin xy xlimsin xylim x 1 0 0 。( x, y ) (0, 0)y( x, y)(0,0)xyxy 0xy( x, y ) ( 0, 0)在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常用的等价无穷小，推广到二元函数中得到：u x, y0同一元函数

19、一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。例 3求极限limsin xytan(xy)( x, y )(0,0)解：limsin xyy)= lim）xxy=0( x, y ) (0 , 0) tan( x( x, y)（0 ，0y例4求极限1cos(x2y2 )limy 2 ) x2 y2( x, y)(0,0 ) (x21 cos(x2y2 )1(x2y2)21解：=lim2lim(x2y 2 ) x2y22y2) x2y22( x, y ) (0, 0)( x , y)( 0,0 ) ( x重要极限 lim (11 ) x ex x极限 lim(11)u (x , y)e 是一元函数中第二个重要极限的推广。下面举u( x, y)u( x, y)例说明它的应用。x2例5求极限lim(11 ) x y( x, y) (,1)x1x2(1 1 ) xx 21解：lim(1) x y =limxy x( x, y) (,1)x( x, y )(,1)xlimx,1) xy=( x, y)(lim(