2010-2019高考数学真题分类汇编第11讲三角函数的综合应用

1、专题四三角函数与解三角形第一讲三角函数的综合应用2019年1. （2019 江苏 18）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路I，湖上有桥 AB（ AB 是圆 O 的直径）.规划在公路 I 上选两个点 P、Q,并修建两段直线型道路 PB、QA.规划要求：线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆.O 的半径.已知 点 A、B 到直线 I 的距离分别为 AC 和 BD （ C、D 为垂足），测得 AB=10, AC=6, BD=12 （单 位：百米）.（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在

2、D 处？并说明理由；（3） 在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米）求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离.2010-2018年一、选择题1. （2018 北京）在平面直角坐标系中， 记d为点P（cosdsin二）到直线x - my - 2 = 0的距离,当二，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3 D. 42.（2016 年浙江）设函数f（x）二sin2x bsin x c,贝 Uf （x）的最小正周期A .与 b 有关，且与 c 有关B.与 b 有关，但与 c 无关C.与 b 无关，且与 c 无关D.与 b 无关，但与 c 有关3. （ 2015 陕西）

3、如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数Jiy = 3sin(64 (2015 浙江)存在函数f(x)满足，对任意XABCD 的边 AB=2, BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边BC, CD 与 DA 运动，/ BOP=x.将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数f(x),则y = f (X)的图像大致为ABCDA.f (sin 2x)二sin xf (sin 2x) = x2xC.f(x2+1) = x+1f(x2+2x)=|x + 15. ( 2015 新课标 H)如图，长方形R都有)的最大值为6. ( 2014 新课标 I)如图，圆O 的

4、半径为 1, A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M至煩线OP的距离表示为x的函数f (x)，则y=f (x)在0,二上的图像大致为&(2016 年浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin(cox)+b( A 0),则A=_，b=_.9. (2016 江苏省)定义在区间 1.0,3 J 上的函数 y=sin2x 的图象与y =cosx的图象的交点个数是10. （2014 陕西）设0 c二，向量a =（s in2日，cosT ）, b）=（co曲，1），若 a / b,211.(2012 湖南)函数f(x)二

5、sin(x，)的导函数y = f(x)的部分图像如图 4 所示，其中,P 为图像与 y 轴的交点，A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.3 3(1)若中=二，点 P 的坐标为(0,)，则=；ITI7. ( 2015 湖南)已知函数f(x)=sin(x-),且f(x)dx=O,则函数f (x)的图象的一条对称轴是5兀A . x=6二、填空题7兀B . x =12JIC. x =3JID . x =6A .2二6 2(2)若在曲线段ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC 内的概率为_ .三、解答题12. (2018 江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆

6、0的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆0的半径为 40 米，点P到MN的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 I 内的地块形状为矩形ABCD，大棚H内的地块形状为ACDP，要求 A, B 均在线段MN上，C,D 均在圆弧上.设0C与MN所成的角为 v(1)用二分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定si nr的取值范围；若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚 n 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4：3求当二为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.13. (2017 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱台形玻璃容器

7、n 的高均为 32cm,容器 I 的底面对角线AC的长为 1.7cm,容器 n 的两底面对角线EG,E1G1的长分别为 14cm 和 62cm.分别在容器 I 和容器 n 中注入水，水深均为 12cm .现有 一根玻璃棒I，其长度为 40cm .(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将I放在容器 I 中，I的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；(2)将|放在容器 n 中，|的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.容器n2兀(2015 山东)设f(x) =sin xcosx cos (x ).4(I)求f(X)的单调区间;求厶ABC面积的最

8、大值.15. (2014 湖北)某实验室一天的温度(单位：C)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：nn二100还心临 t,t 024).(I)求实验室这一天的最大温差；(n)若要求实验室温度不高于二住，则在哪段时间实验室需要降温?16. (2014 陕西)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, b, c.(I)若a,b, c成等差数列，证明：sin A sinC=2sin A C；(ll)若a, b,c成等比数列，求cosB的最小值.17. (2013 福建)已知函数f (x) =sin(，x0,0：；：二)的周期为二，图像的一个对称中心为(一,0)，将函数f (x)图像上的所有点的

9、横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标4不变),在将所得图像向右平移 一个单位长度后得到函数g(x)的图像.2(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；JI JT容器I14.(n)在锐角ABC中，角A, B,C，的对边分别为a,b,c，若Gi是否存在x0.(,)，使得f(X0), g(x0), f (X0)g(X0)按照某种顺序成等差数列?6 4若存在，请确定X。的个数；若不存在，说明理由.求实数a与正整数n，使得F(x)二f (x) ag(x)在(0, n.)内恰有 2013 个零点.当/ OBP 90时，对线段 PB 上任意一点 F , OF OB，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均答案部分

10、2019年1.解析解法一:(1 )过 A 作AE _ BD，垂足为 E.因为 PB 丄 AB,8所以cos PBD =sin . ABE二10BD12所以PB二一BD12=15.cosZPBD45因此道路 PB 的长为 15 （百米）.(2)若 P 在 D 处，由(1)可得 E 在圆上，则线段 BE 上的点(除 B, E)到点 O 的距离均小于圆 O 的半径，所以 P 选在 D 处不满足规划要求.若 Q 在 D 处，联结 AD，由(1 )知AD=AE2ED2=10,AD2+ AB2_ BD27从而cos BAD25所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 因此，Q 选在 D 处也不满足规

11、划要求.综上，P 和 Q 均不能选在 D 处.(3 )先讨论点 P 的位置.当/ OBP90时，在PRB中，PBARB =15.由上可知，d 15.再讨论点 Q 的位置.由（2）知，要使得 QA 15,点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求 .当 QA=15 时,CQ =QA- AC2二152-62=321.此时，线段 QA 上所有点到点 0 的距离均不小于圆 0 的半径.综上，当 PB 丄 AB,点 Q 位于点 C 右侧，且 CQ=3 21时，d 最小，此时 P, Q 两点间的距离PQ=PD + CD+CQ=17+3 21.因此，d 最小时，P, Q 两点间的距离为 17+3.21

12、（百米）.解法二：（1）如图，过 O 作 OH 丄 I，垂足为 H.以 O 为坐标原点，直线 OH 为 y 轴，建立平面直角坐标系.因为 BD=12 , AC=6，所以 OH=9，直线 I 的方程为 y=9,点 A, B 的纵坐标分别为 3，- 3.因为 AB 为圆 O 的直径，AB=10，所以圆 O 的方程为 x2+y2=25.3从而 A （4, 3）, B （-4, - 3），直线 AB 的斜率为.44因为 PB 丄 AB，所以直线 PB 的斜率为-一，3直线 PB 的方程为丫=一4*-互.33所以 P (- 13, 9),PB二(-13 4)2(9 3)2=15. 因此道路 PB 的长为

13、 15 （百米）.（2）若 P 在 D 处，取线段 BD 上一点 E （- 4, 0），则 EO=45，所以 P 选在 D 处不满足规划 要求 若 Q 在 D 处，联结 AD，由（1 ）知 D（- 4，9），又 A（4，3），3所以线段 AD:y = x 6（ -4剟x 4）.4在线段 AD 上取点 M （3，15），因为OM f：32-i15： 一3242=5，4Y 14丿所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径.因此 Q 选在 D 处也不满足规划要求综上，P 和 Q 均不能选在 D 处.（3 ）先讨论点 P 的位置.当/ OBP 90时，对线段 PB 上任意一点 F ,

14、OF OB，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均 不小于圆 O 的半径，点 P 符合规划要求设R为 I 上一点，且RB _ AB，由（1）知，RB=15,此时Pi（- 13, 9）;当/ OBP90时，在PRB中，PB ARB =15.由上可知，d 15.再讨论点 Q 的位置.由（2）知，要使得 QA15,点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时，设Q （a, 9）,由AQ = （a -4）2（9-3）2=15（a 4）,得 a=4 3 2，所以 Q （4 3一2,9）,此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.综上，当 P （- 13,

15、 9）, Q （4 3 21, 9）时，d 最小，此时 P, Q 两点间的距离PQ =4 3 . 21 -（-13） =17 3.21.因此，d 最小时，P, Q 两点间的距离为17 3 21（百米）715.2010-2018年丄 2 、, |cosTmsi n日 一2| msi nTcosB+2|1. C【解析】由题意可得d二m1(其中cos = , _Jm2+1吐”如一十曲)2|廿1sin(一)2|m21m21.|2 - m21d,2丄,Jm2十1m21当m =0时，d取得最大值 3,故选 C.21 - cos2x2. B【解析】由于f (x) =sin x bsinx cbsin x c

16、.2当b = 0时，f(x)的最小正周期为 二；当b = 0时，f(x)的最小正周期2二；c的变化会引起f (x)的图象的上下平移，不会影响其最小正周期故选注：在函数f (x) = h(x) g(x)中，f (x)的最小正周期是h(x)和g(x)的最小正周期的公倍数.3.C【解析】由图象知：ymin=2，因为ymin=-3 k，所以-3，k = 2，解得：k = 5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3 k=3 *5=8，故选 C.4. D【解析】对于 A，当兀5兀2x =或 时，sin2x均为 1,而sinx与x +x此时均有两个44值，故 A、B 错误;对于 C,当x = 1或X - -

17、1时，x2+1 =2，而|x+1|由两个值,故 C 错误，选 D .B【解析】由于f (0) = 2, f (4)= 1+、5, f(?)=2.2 f()，故排除选项 c、D;当 tan)-2点P在BC上时，f (x) = BP +AP = tanx+、4 + tan2x(0 x2)时，才能作出满足条件的矩形ABCD,1所以sinr的取值范围是丄，1).4答：矩形ABCD的面积为800(4sin二cos= - cos平方米，CDP的面积为11600(cosv - si nr cos,si nJ的取值范围是-,1)4因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4： 3,设甲的单位面积的年产值为4k，

18、乙的单位面积的年产值为3k(k . 0)，则年总产值为4k 800(4sin vcosv cosv) 3k 1600(cosv -sin vcosr)=8000k(sin：cos：cos ，设f G)二sinVCOS J COST，二,?),贝V f (T) = cos v -sin v -sin r - -(2sinsin v -1) - -(2sin v - 1)(sin v 1).n令f (R =0,得 V -n,6兀，当二-(%二)时，f(0，所以f为增函数；当】三.-n因此，当时，f (d)取到最大值.6n答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.613.【解析】(1)由正棱柱的定

19、义，CG平面ABCD，所以平面A1ACC1_ 平面ABCD，CC1_ AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC =10、.7，AM =40.所以MN = J402-(10.7)2=30，从而sin MAC.4记AM与水平的交点为R，过R作RQ1 AC，Q1为垂足,(,)时，f(v0，所以f(R为减函数,6 2则RQ1_ 平面ABCD，故PQi=12,从而ARpQisinMAC答：玻璃棒I没入水中部分的长度为 16cm.（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm）V / /（2）如图，O, Q 是正棱台的两底面中心由正棱台的定义，0。1丄平面EFGH,所以平面E

20、1EGG1丄平面EFGH,0。1丄EG.同理，平面E1EGG1丄平面E1F1G1H1,OO1丄E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK丄E1G1,K为垂足，则GK=0。1=32.因为EG= 14 , EG = 62 ,所以KG1=e1424，从而GG-、KG：GK2-. 242322- 40.设/EGG41= : ,ZENG =-,则sin：= sin(ZKGGJ = cosZKGG1=25兀3因为，所以cos-25（第於题）6 K由余弦定理：a2二b2 c22bccosA,可得1- 3bc二b2c2- 2bc在ENG中，由正弦定理可得4-丄，解得sin -丄.sinasin戸

21、25因为o2，所以八箸于是sin/NEG二sin（二-：-）=sin（、：.r-）=sin：cos：cos：sin :24（_3）3255255记EN与水面的交点为P2，过F2作P2Q2_ EGQ2为垂足，贝U P2Q2丄平面EFGH,P?Q2故陀七，从而丘咲爲気倾.答：玻璃棒I没入水中部分的长度为 20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)14【解析】(I)由题意f(x)=sin2x-n1 cos（2x ）2Jsi n2x-si n2x2 2 2=sin2x - -2jrit由2k二乞2x2k二（k Z），可得22jrJT蔦kpZ）；兀3兀兀由2*仏迁2k

22、(k Z)，得-VkrkZ）；所以f (x)的单调递增区间是 kk二(k Z)；44兀3兀单调递减区间是 k二，k二(k：三Z)44（号）=si nA-* =0,.sinA：由题意A是锐角，所以cos A.31=2 3，且当b = c时成立.于是f (t)在0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为12 C，最低温度为8 C，最大温差为4 C(H)依题意，当f(t)11时实验室需要降温由得小-细(存)，十,、，.、一1所以10 -2sin( t )11，即sin( t ):：12312327兀 兀兀11兀又0 _t : 24，因此t，即10：t : 18,61236

23、故在 10 时至 18 时实验室需要降温【解析】(1) a,b, c成等差数列，.a，c=2b由正弦定理得sin A sin C = 2sin B；sin B二sin二一(A C)二sin(A C)sin A sinC二2sin A C(2)a, b, c成等比数列，.b2= 2acbcsin A -2、.3.ABC面积最大值为15.【解析】(I)因为-/ 31二二二f(t)102( cos t sint)10 2sin(t ),2122121237：:又”24，所以萨從3丐,-1気t扑1,当t =2时,亍1;当t =14时,陀訐-1；16.1由余弦定理得cosB二a2c2b22aca2c2空

24、 _2acac 12ac2ac 22 27 a c _2ac(当且仅当a二c时等号成立)a2c22ac1(当且仅当a =c时等号成立)2 2a c 1111 -2ac即cosB _1，所以cosB的最小值为-2 217.【解析】(I)由函数f (x) = sin(-:)的周期为二， 0，得，=2TT又曲线y二f(x)的一个对称中心为(,0),(0,二)4故f()二Sin(2)=0，得，所以f(x)=cos2x442将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y = cosx的图象，再将y =cosx的图象向右平移 二个单位长度后得到函数g(x)=sinx2所以sin

25、x cos2x sin xcos2x.问题转化为方程2cos2x二sin x sin xcos2x在(一，一)内是否有解6 4n n设G(x)二sin x sin xcos2x -2cos 2x,x：=(，一)6 4贝U G (x) = cosx cos xcos2x 2sin 2x(2 - sin x)_TE 31*JT JI t、人、E乂r*因为(一，一)，所以G (x) 0,G(x)在(-)内单调递增6 46 4兀1nJ2又G() = -一：0,G()0642IT IT且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在(一，一)内存在唯一零点X。,6 4即存在唯一的x0 ,)满足题意.(川)依题意，F (x) = asin x cos2x，令F (x) = asin x