2010-2019高考数学真题分类汇编第13讲平面向量的概念与运算

1、专题五平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算2019年A. -3C. 2 2. （ 2019 全国川理 13）已知 a , b 为单位向量，且 a b=0 ,cos：a c =2010-2018年、选择题13AB AC442.（2018 北京）设a,b均为单位向量，则 “a 3b=|3a+b”是a丄b”的3. （2018 全国卷n）已知向量a,b满足| a | =1,a b二-1，则a （2a-b）二A. 4B . 3C . 2D . 04.（ 2017 北京）设m,n为非零向量，贝 y 存在负数，使得mV.n是mn0的A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也

2、不必要条件5.（2016 年山东）已知非零向量1m,n满足4 | m | = 3| n |,cos m, n.若n _ （tm n）,3则实数 t 的值为B . -41. （2019 全国n理 3）已知AB=（2,3） ,AC=（3，t），BC=1，则AB BC=B . -2D . 31. （2018 全国卷I）在厶ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则EBA.C.31AB AC44A .充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6.（2016 年天津）已知AABC是边长为 1 的等边三角形，点D,E分别是边AB, BC的中点,连接DE并延长到点F

3、，使得DE =2EF，则AF BC的值为11（2014山东）已知向量“（1雨，b=（3,m）.若向量a,b的夹角为i，则实数吩B. -37.（2016 年全国II)已知向量a =(1, m) ,b=(3,-2)，且(a b) _b，则B.-6C. 6D. 89.（2016 年全国III ）已知向量uiv 1BA =(2,Bc -F,1),贝ABC=2 2A.30tl45C .60D.120（2015 重庆）若非零向量ab满足a2.2b，且（a b）丄（3a+ 2b），则a与b角为JIA .-4JIB .-210.（2015 陕西）对任意向量a, b,F列关系式中不恒成立的是A.|a b|w|a

4、 |b |B.| a-b |W| a |-| b |2 2C .(a - b) =| a b |2 2D.(ab)(a -b) = a - b11.(2015 安徽)AAB是边长为2的等边三角形，已知向量a,b满足AB2a,AC -2a b,则下列结论正确的是A.b-1D .4a - b _ BC12.（2014 新课标1)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA, AB的中点，贝UEB FC =13.A .ADB . AD2C .BC2D .BC（2014 新课标2)设向量a,b满足|a+b|=. 10,14.15.(2014 安徽)设a, b为非零向量,b =2 a，两组向量X1,X2,X

5、3,X4和y1,y2,y3, y4均由22224 TT TT TT2 个a和 2 个b排列而成，若x1y1x2y2- x3y3- x4y4所有可能取值中的最小值2为4a，贝U a与b的夹角为C. 6(2014 福建)在下列向量组中，可以把向量a二3,2表示出来的是C.G =(3,56,10)D.e = (2,-3),(-2,3)A .若 n 确定，则| a |唯一确定B .若二确定，则|b|唯一确定C.若|a |确定，则二唯一确定D .若|b |确定，则二唯一确定15D .217.(2014 浙江)设二为两个非零向量a ,b的夹角，已知对任意实数t,|b ta |是最小值18.(2014 重庆

6、)已知向量a= (k,3),b= (1,4),c= (2,1),且(2 a- 3b) _ c，则实数k-19.(2013 福建)在四边形ABCD中,AC =(1,2),BD =(-4,2)，则该四边形的面积为20.21.22.A.5C. 5D. 10(2013 浙江)设ABC,P。是边AB上一定点，满足PB1AB，且对于边AB上任4一点P，恒有PB PCRB PC.则A .ABC =900B .BAC =900C .AB = ACD .AC = BC(2013 辽宁)已知点A(1,3),B(4, -1)，则与向量AB同方向的单位向量为C. -1冷(2013 湖北) 已知点 A( -1,1)、*

7、B(1,2)、C(-2, -1)、D(3, 4)，则向量 AB 在 CD 方向上16.A. G=(0,0心(1,2)B.G =(-1,2) =(5厂2)B.0C.315.(2014 安徽)设a, b为非零向量,b =2 a，两组向量X1,X2,X3,X4和y1,y2,y3, y4均由2222的投影为A .猪23. （2013 湖南）已知a,b是单位向量，a b= 0.若向量c满足c a b=1，贝Uc的最42大值为A.2-1OA的取值范围是给定向量b，总存在向量c，使a = b c；给定向量b和c,总存在实数和，使a给定正数和亠，总存在单位向量b和单位向量c，使a - b -c；上述命题中的向

8、量b,c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是C. 3A .若I a bFI a I -| b |，则a _bB.若a _ b，则|a bHa| -|b|C.若I a b | a I -| b |，则存在实数，使得b = - aD .若存在实数 二使得b二a，则| a b | a |-| b |24.（2013 重庆） 在平面上,AB + AB2.若OP28.(2011 广东)已知向量a= (1,2),b= (1,0),c= (3,4).若为实数，（a b）/ c,则，=C. 1C.2125. （2013 广东）设a是已知的平面向量且a - 0,D.关于向量a的分解，有如下四个命题:给

9、定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使a26. (2012 陕西)设向量a= ( 1,cos)与b=(1,2COSV)垂直，则cos2等于27. (2012 浙江)设a,b是两个非零向量A.0,C .俘,29. (2011 辽宁)已知向量 a 二(2,1) , b 二(1,k) ,a (2a b)=0，贝 U k =(m,nR)，贝y m+n =36 . （2017 江苏）如图，在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1, 1,OA与OC的夹角为，且tanOB与OC的夹角为45.若OC=mOA+n OBA.,|a |2| b|2-(a b)2C.1 xla |2| b|2-(a

10、b)2B.J a |2| b |2(a b)2D.1 |a |2|bt (a b)231. （2010 山东）定义平面向量之间的一种运算”如下：对任意的a -（m,n）,b =（p, q）,令a U b二mq - np,下面说法错误的是A.若a与b共线，则 aLIb= 0B.aLIb二b_ aC.对任意的R，有（ a）LI b = （a_ b）D .(aL b)2(a *b)2=|a |2| b|2二、填空题32 . (2018 全国卷川)已知向量a二(1,2),b二(2, -2),c二(1/ ).若c/(2a b),则，=_33 . (2017 新课标I)已知向量a,b的夹角为 60 | a

11、 | = 2,| b|=1，则|a+ 2 b |=34 . （2017 浙江）已知向量a,b满足| a戶1,| b戶2,则| a b|a -b|的最小值是最大值是35 . （2017 山东）已知& ,e2是互相垂直的单位向量，若.3e -e2与 e e2的夹角为 60 ,则实数的值是_30.A.-12B .-62010 辽宁）平面上O,A,等于C. 6B三点不共线，设OA= a,D . 12OB二b，则OAB的面积439. （2015 湖北）已知向量 OA_AB ,|OA3，则OA OB =._40. （2015 新课标i）设向量a, b不平行，向量a b与a2b平行，则实数=41.（

12、2015 浙江）已知0, e2是空间单位向量，0 e2，若空间向量b满足b=2,25b e2=-，且对于任意x, yR,b(x0 + ye2) b( e+ ye2)=1( ,yR),则X。二_ ,y二_,b42. (2014 新课标i)已知A,B,1 -C是圆0上的三点，若A2（AB AC），则43.44.AC的夹角为（2014 山东）在VABC中，已知uuuuuu-AB AC（2014 安徽）已知两个不相等的非零向量a,b，两组向量 为，X2,X3, X4, X5和% , y2, y3, y4, y5均由 2 个a和 3个b排列而成记S = x,yx2y2x3y3T T T T*x4y4+x

13、5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 _（出所有正确命题的编号）S有 5 个不同的值.若a -b则Smin与| a |无关.若a/b则Smin与| b |无关.4若| b| 4| a |，则Smin0.2 2 237. (2016 全国 I)设向量a = (m,1),b= (1,2)，且|a b | =| a |- | b |，则m=38. (2015 江苏)已知向量a = (2,1),b = (1,-2)，若manb二(9,-8)(m, nR),则m一n的值为BC（2014 北京）已知向量a、b满足a =1,b= （2,1）,且丸a + b = 0（九乏R）,贝

14、U 丸=_（2014 陕西）设0，向量a =sinR,cos,bCOST,1，若a/b，则2tanT =（2014 四川）平面向量a = （1,2）,b = （4,2）,c二ma b（mR），且c与a的夹角等于c与b的夹角，贝 U m = _ .（2013 新课标I）已知两个单位向量a,b的夹角为60,c = ta （1 -1）b，若b c二0,（2013 浙江）设e1,e2为单位向量，非零向量b = X0 ye2,x, y R，若e1,e2的夹角为，则凶的最大值等于 _ .6| b |*TT（2013 天津）在平行四边形 ABCD 中，AD=1,ZBAD =60 ,E 为 CD 的中点.若

15、AC BE =1 ,则 AB 的长为R），则匚=（2013 北京）已知向量a,b夹角为45，且| a | = 1,|2a -b|= 10,则| b|=（2012 湖北）已知向量a= （1, 0）,b= （1, 1）,贝U（I）与2a +b同向的单位向量的坐标表示为 _45.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.则 t =_.（2013 新课标n）已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则AE BD =AB与AC的夹角120，且忌=3, |忌=2，若AP二兔AB AC，且AP _ BC，则实数的值为（2013 北京）向量a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示，若

16、Illi卜+_临- -0 0IFIF I I一I IIFIF （2013 山东）已知向量（2014 北京）已知向量a、b满足a =1,b= （2,1）,且丸a + b = 0（九乏R）,贝 U 丸=_（n）向量b -3a与向量a夹角的余弦值为 _。56._（2012安徽）若平面向量a,b满足：2a-b3；则a b的最小值是 _ .57.（2011 浙江）若平面向量:-,满足 1=1,1，且以向量：，1 为邻边的1平行四边形的面积为 ，则：与：的夹角 r 的取值范围是22、58.（ 2011 江苏）已知&，e2是夹角为 的两个单位向量，a = & -2e2，b = ke1e2，3

17、若a b = 0,贝U k的值为_.59.（2011 新课标）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_ .60.（2011 安徽）已知向量a, b满足（a + 2b），（a b） = -6，且a =1,b =2，则a与b的夹角为_ .61._（2010 陕西）已知向量a= （2, 1）,b= （ 1, m）,c= （ 1,2）,若（a+b）/c, 贝 U m =.三、解答题62.（2017 江苏）已知向量a = （cosx,sin x）,b = （3,-、3）,x 0,二.（1）若a/b,求x的值；（2） 记f（x）二a b,求f （x）的最大值和最

18、小值以及对应的x的值.专题五平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案部分20192019 年AB BCBC二AC AB =(1,t -3),贝U 1 (t 3)= (2,3) (1,0) =2.故选 C.=1,得t = 3,即BC =(1,0),所以1.解析:2.解析a c = a (2a -：5b) = 2a2- 5a b = 2, 因为c2=(2a - 5b)2=4a2-4、5a b 5b2=9,、小、小/ v a c 2所以|c|=3,所以cosa,c=丽药1 1 11 1 -EB=ED DBAD 2CB9 2(ABAC)ABAC)=3AB -丄AC.故选 A .4431AB AC.故

19、选 A .44C【解析】3b = 3a+b ,(a3b)2=(3a+b)2, a26a b + 9b2=9a26a b b2，又| a |=|b|=1a b= 0,a _ b；反之也成立，故选 C.B【解析】a (2a -b) =2a2-a b = 2 -(-1)=3，故选 B .A【解析】因为m, n为非零向量，所以m n =| m |n|cos：m, n宀：0的充要条件是cos：m, n：0.因为 ：0，则由m =n可知m, n的方向相反，m, n = 180，所以cos：m, n 0，所以存在负数 ，使得m -，n”可推出m n 0”；而m n：0可推出cos：m, n 0，但不一定推出

20、m, n的方向相反，从而不一定推得“存 在负数，使得m二 n”，所以存在负数，使得m二 n”是m n 0”的充 分而不必要条件.25. B【解析】由n (tm n)可得n (tm n0，即tm n n =0,1.A【解析】通解 如图所示,2010-2010-20182018 年-AD1 - 2-E-A-B-Ac-22.3.4.C2n| m | | n | cos =_3凹=_34= _4.故选B.| m | 353七5 3 1-AF BC a b b，故选 B.448 4 8D【解析】由向量的坐标运算得 a、b= 4, m 2 ,/(a b) _b,(a b)b=12 2(m 2) =0,解得

21、m=8，故选 D.所以.ABC = 30：，故选 A .2 29. A 【解析】由题意(a- b) (3a 2b 3a -ab-2b =0,10. B【解析】对于 A 选项，设向量a、b的夹角为 r ,| a b |a | b |cos RB PC恒成立，相当于(| PB | -(a 1)| PB | -a恒成立,整理得| PB|2-(a 1)|PB| a 0恒成立，只需厶=(a - 1)2- 4a = (a-1)20(y b)2= 1 x?0.由 |OP|v，得(x a)? + (y b)2v241即 0W1x2+1亍亍v 4所以-vx2+ y2a，所以是假命题.综上，本题选 B.平面向量的

22、基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何26. C【解析】*a _ b,. a b = 0, - 1 2cos - 0, cos2)- 2cos2)-1=0.正确的是C.2 2 2 2,AB2所在直线27. C【解析】| a b|=| a | -| b戶|a | 2ab | b|=|a | -2 | a | b| -| b |，则ab - -1 a |b| = 0，所以a,b不垂直，A 不正确，同理 B 也不正确;ab= -| a |b|，则cos a, b = -1，所以a,b共线，故存在实数,使得b=a, C 正确；若b二a，则=1，此时|a b戶2|a|= 0=|a|-|b|,所以 D 不

23、正确.28. B【解析】a b = (1 - ,2)，由(ab)Hc，得6-4(1 )=0，解得=-229.D【解析】/2a-b= (5,2 -k)，由a (2a -b) =0，得(2,1) (5,2 - k) =0, 10 2 _k =0，解得k =12.130.C【解析】三角形的面积 S=|a|b|sin a,b，而1a|2|b|2(ab)2= *a |2|b|2_(ab)2cos2ca,b；1-1|a|b| . 1 cos2: a, b |a | b|sin：a,b -.31. B【解析】若a与b共线，则有aLI b=mq - np=0，故 A 正确;因为bU a = pn -qm,而a

24、LI b=mq-np，所以有aL b =叩a，故选项 B 错误，故选 B .32.1【解析】2a - b= (4,2)，因为c = (1/)，且c/(2a b),2所以1 2=4，,即，=1.233.2.3【解析】T|a 2b|2=|a |24| b |24ab二4 4 1 4 2 1 cos 60 =12,- |a 2b| = 2、334. 4,2. 5【解析】设向量a,b的夹角为二，由余弦定理有：；_补=J12+22_2疋1H2HcosT = J5_4cos日,a= J12+22_2H2Hcos(兀) = J5+4COS0,则:令丫 仝5 4cos x 5 - 4cos x，贝U y2=10 2 25-16cos216,20 1,a + lbb = 5 4cos4 4a+b +a ba +b + a b )min据此可得:【仝：20 =2.抵，max即a +b ra b