人教版七年级数学上册专题复习数轴上的动点问题讲义含部分答案

1、学习资料收集于网络，仅供参考数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。【题 1】甲乙两地相距 200 米，小明从甲地步行到乙地，用时 3 分钟，小明的平均速度为多少米每秒？【分析】 这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：小明甲地乙地【解法一】 直接利用：速度 = 路程÷时间解决。200 18010（米/秒）910【解法二】 用方程解。设速度为x米 / 秒 ，根据路程 = 时间×速度，得： 200180x ，解得 x。9如果在线段图上，用一个具体

2、的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。【题 2】如图，数轴上有两点A 、 B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为200 ，一只电子蚂蚁P从A出发，以 1个单位每秒的速度由A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为t。（1）用含t 的代数式表示电子蚂蚁P 运动的距离；（2）用含t 的代数式表示电子蚂蚁P 表示的数；（3）用含t 的代数式表示电子蚂蚁P 到数 B 的距离。（4）当电子蚂蚁运动多少时间后，点P 为线段 AB 的三等分点？【分析】 引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无

3、限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程 = 速度×时间。其余的点的距离，利用数 轴上两点间距离公式解决。（1）根据路程 = 速度×时间，有：APt ；（2） APt ，故点 P 表示的数为 t ；（3）点 B 表示的数为200，点 P 表示的数为 t ，且 P 在 B 左边，故PB200t 。（4）若 P 为 AB 的三等分点，有两种情况： AP=2PB ，即： 2AP=PB ，即：t2 200 t ，解得 t400 秒；32t200 t ，解得 t200 秒；3现在，我们将【题 2】一般化，线段AB 一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：【题

4、 3】如图，数轴上有两点A 、B，点 A 表示的数为a ，点 B 表示的数为 b ，且数 A 和数 B 的距离为 200个单位长度，一只电子蚂蚁P 从 A 出发，以 1个单位每秒的速度由A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t。（1）用含a 的代数式表示数B；（2）用含a 和 t 的代数式表示电子蚂蚁P 表示的数；学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（3）用含t 的代数式表示电子蚂蚁P 到数B 的距离。【分析】 一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难度也会有所下降。（1）由数轴上两点间距离公式可得：ba200，整理得：b200a ；（

5、2）由路程 =速度×时间得，APt ，即 A 、 P 两点间的距离为t ；同（ 1）可得，点P 表示的数为at 。（3）由于数 B数 P，故根据数轴上两点间距离公式有：BPbata200at200t 。我们发现，只要线段AB 的长度固定，点P 到 B 的距离跟 A 、B 表示的数无关。接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看【题 4】。【题 4】如图，数轴上有两点A 、 B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁P 从 A 出发，以 1个单位每秒的速度由A 往 B 运动，到B 点运动停止；另一电子蚂蚁Q 在同一时间从B 出发，以 2个单位每秒的速度由

6、B 往 A 运动，到 A 点运动停止。设运动时间为t。（1）当电子蚂蚁P、 Q 相距40 个单位长度时，求运动时间t；（2）用含t 的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。【分析】 本题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。（1）在运动的过程中，点P 和点 Q 的位置有三种情况：P 在 Q 的右边， P 和 Q 重合， P 在 Q 的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q到A后，Q停止，但 P继续往 B 运动，故也得考虑这种情况。 P、 Q 都在运动时，0秒t100秒 时，点 P 表示的数为 t ，点 Q 表示

7、的数为2002t ，故 P、 Q 两点间的距离为2002tt 。根据题意有：2002tt40 。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。 Q 停止运动， P 继续运动，此时PQ 距离 100，故不符合题意。（2） P 与 Q 相遇之前，即P 在 Q 的左边，此时有数Q数 P， 0秒t 200 秒，此时：3PQ2002tt2003t P 与 Q 相遇后， Q 停止运动前，即Q 在 P 的左边，此时有数P数 Q， 200 秒t100秒 ，此时：3PQt2002t3t200 Q 停止运动， P 继续向 B 运动直至停止，数Q 为 0，数 P数 Q ， 100秒 t200秒 ，此时：PQt0t学习资料学

8、习资料收集于网络，仅供参考【提炼】 第（1）问题，利用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看【题 5】和【题 6】。其处理的核心，依然是表示出相关的数 。【题 5】如图，数轴上有两点A 、 B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁P 从 A 出发，以 1个单位每秒的速度由A 往 B 运动，到B 点运动停止；另一电子蚂蚁Q 在同一时间从B 出发，以 2个单位每秒的速度由B 往 A 运动，到 A 点运动停止。设运动时间为t。（1）当P 为 AQ 中点时，求运动时间t；（2）当Q 为 BP 中点时，求运动时间t。【

9、分析】 搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t 的代数式表示出数Q、数 P，利用两点间距离公式解题。（1）点 P 表示的数为 t ，点 Q 表示的数为 2002t ，若 P 为 AQ 中点，有 AP=PQ ，即： t2002tt ，解得： t50秒；（2）点 P 表示的数为 t ，点 Q 表示的数为2002t ，若 Q 为 BP 中点，有 PQ=BQ ，即： 2002tt2t ，解得： t40秒 。【题 6】已知数轴上A 、 B 两点对应的数分别是-2 和 4， P 为原点。若A 、B 、 P 三点分别以1 个单位每秒、4 个单位每秒、2 个单位每秒的速度向右运动，当A、 B、P 三点有其中

10、一点为其余两点的中点时，求运动的时间。【分析】 按理说有三种情况，A 为 P、 B 中点， B 为 A、 P 中点， P 为 A、 B 中点，但结合条件，发现A 不可能为 P、B 中点，故此种情况可以舍去。设运动时间为t，则运动过程中，点A 表示的数为t-2，点 P 表示的数为4t，点 B 表示的数为4+2t 。 B 为 A 、 P 中点，有AB=BP ，即： 4+2t-t+2=4t-4-2t ，解得： t=10 秒； P 为 A、 B 中点，有AP=PB ，即： 4t-t+2=4+2t-4t ，解得： t=0.4 秒；学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【思考】 线段（直线、射线）上的运动问

11、题，可以转化为数轴上的运动问题来处理吗？最后，放几个题结束本文。【题 1】如图，数轴上A 、 B 两点对应的有理数分别为-8 和 12，点 P 从原点 O 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时点Q 从原点 O 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为 t 秒。（1）求经过两秒后，数轴点P、 Q 分别表示的数；（2）当 t3 时，求PQ 的值；（3）在运动过程中，是否存在时间t，使得AP=BQ ，若存在，求出t 值；若不存在，说明理由。【题 2】如图，点 A 、B 和线段 CD 都在数轴上，点 A 、 C、 D、 B 起始位置所表示的数分别为 -2,0,3,

12、12；线段 CD 沿数轴的正方向以每秒 1 个单位的速度移动，移动时间为 t 秒。（1）当 t0 秒时， AC 的长度为；当 t2秒时， AC 的长度为；（2）用含有 t 的代数式表示AC 的长为（3）当 t秒时， AC BD=5 ，当 t秒时 AC+BD=15 （4）若点 A 与线段 CD 同时出发沿数轴的正方向移动，点A 的速度为每秒2 个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC=2BD ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由学习资料学习资料收集于网络，仅供参考【题3】如图， E 为线段AC 上靠近点A 的三等分点， B 、D 为线段EC 上的两点，且满足CD=2BD 。（ 1） 若 DE=6cm ，求线段 AB 的长；（3）若 AC=15cm ， EB=4cm ，动点 P 从 A 点、动点 Q 从 D 点同时出发，分别以3cm/s、1cm/s 的速度沿直线 AC 向右运动，是否存在某个时刻，使得BP+CQ=AB成立？若存在，求此时PQ 的长度；若不存在，说明理由。【题 4】如