二次函数-线段和差最值的存在性问题解题策略

1、-精选文档 -中考数学压轴题解题策略（8）线段和差最值的存在性问题解题策略专题攻略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1 ）三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图 2 ）两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时， 两条线段差的最大值就是第三边的长如图3 ，PA 与 PB 的差的最大值就是AB ，此时点 P 在AB 的延长线上，即P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图1图2图3例题解析例

2、?如图 1-1 ，抛物线 y x2 2 x 3 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于点C，点 P是抛物线对称轴上的一个动点，如果PAC 的周长最小，求点P 的坐标可编辑-精选文档 -图 1-1【解析】如图1-2 ，把抛物线的对称轴当作河流，点A 与点 B 对称，连结BC，那么在PBC 中， PB PC 总是大于 BC 的如图 1-3 ，当点 P 落在 BC 上时， PB PC 最小，因此PA PC 最小，PAC 的周长也最小由 y x2 2 x 3 ，可知 OB OC 3 ， OD 1 所以 DBDP 2 ，因此 P(1, 2) 图 1-2图 1-3例 ? 如图，抛物线 y1 x24

3、x 4 与 y 轴交于点 A，B 是 OA 的中点一个动点G 从2点 B 出发，先经过 x 轴上的点 M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点 A如果动点 G 走过的路程最短，请找出点M 、 N 的位置，并求最短路程图 2-1可编辑-精选文档 -【解析】如图2-2 ，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点 A，作点B 关于 x 轴对称的点B，连结AB与x 轴交于点 M ，与抛物线的对称轴交于点 N 在 Rt AA B中，AA 8，AB6，所以 AB10 ，即点 G 走过的最短路程为10 根据相似比可以计算得到OM8，MH 4，NH 1所以 M ( 8, 0) ，

4、N(4, 1) 333图 2-2例 ?如图 3-1 ，抛物线 y4x28x 2 与 y 轴交于点 A，顶点为 B点 P 是 x 轴上93的一个动点，求线段PA 与 PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标图 3-1【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA PB|的最小值与最大值由抛物线的解析式可以得到A(0, 2) ，B(3, 6) 设 P(x, 0) 可编辑-精选文档 -绝对值| | 的最小值当然是 0 了，此时，点P在AB的垂直平分线上（如PAPBPA PB图 3-2 ）解方程 x 22 2( x 3) 2 6 2，得 x41 此时 P(41,0)

5、 66在PAB 中，根据两边之差小于第三边，那么|PAPB|总是小于 AB 了如图3-3 ，当点 P 在 BA 的延长线上时， |PA PB|取得最大值，最大值AB5 此时 P ( 3,0) 2图 3-2图 3-3例 ?如图 4-1 ，菱形 ABCD 中， AB 2，A 120 °，点P、 Q、 K 分别为线段BC、CD、 BD 上的任意一点，求PK QK 的最小值图 4-1【解析】如图4-2 ，点 Q 关于直线BD 的对称点为Q，在KPQ中，PK QK 总是大于 PQ的如图 4-3 ，当点 K 落在 PQ 上时，PKQK 的最小值为 PQ 如图4-4 ， PQ的最小值为 QH ，Q

6、H 就是菱形 ABCD 的高， QH 3 这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短可编辑-精选文档 -图 4-2图 4-3图 4-4例 ?如图 5-1 ，菱形 ABCD 中，A 60 °，AB 3 ， A、 B 的半径分别为2 和 1 ，P、 E、F 分别是边 CD、 B 和 A 上的动点，求PE PF 的最小值图 5-1【解析】 E、F、P 三个点都不确定，怎么办？BE1 ，AF 2 是确定的，那么我们可以求 PB PA 3 的最小值，先求PBPA 的最小值（如图5-2 ）如图 5-3 ， PB PA 的最小值为AB ，AB 6所以 PE PF 的最小值等于

7、3 图 5-2图 5-3例 ? 如图 6-1 ，已知 A (0, 2) 、B(6, 4) 、E(a, 0) 、 F(a1, 0) ，求 a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由可编辑-精选文档 -图 6-1【解析】在四边形ABEF 中， AB 、 EF 为定值，求AE BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点如图 6-2 ，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME如图 6-3 ，作点 A 关于 x 轴的对称点A，MA 与x 轴的交点 E，满足 AEME 最小由A OEBHF，得 OEHF 解方程a6 ( a2) ，得 a4 OA 'HB243图 6-2

8、图 6-3例 ?如图 7-1 ，ABC 中，ACB 90 °，AC 2 ， BC 1点 A、 C 分别在 x 轴和 y轴的正半轴上，当点A 在 x 轴上运动时，点C 也随之在y 轴上运动在整个运动过程中，求点 B 到原点的最大距离可编辑-精选文档 -图 7-1【解析】如果把OB 放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边OB 的最大值就是另两边的和显然OBC 是不符合条件的，因为OC 边的大小不确定如图 7-2 ，如果选AC 的中点 D，那么 BD 、OD 都是定值， OD 1 ，BD 2 在OBD 中，总是有OB OD BD 如

9、图 7-3 ，当点 D 落在 OB 上时， OB 最大，最大值为21图 7-2图 7-3例 ?如图 8-1 ，已知 A( 2,0) 、B(4, 0) 、 D( 5,33) 设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连结 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到D 后停止当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？图 8-1可编辑-精选文档 -【解析】点B(4, 0) 、 D ( 5,3 3) 的坐标隐含了 DBA 30 °，不由得让我们联想到30 °角所对的直角边等于斜边的一

10、半如果把动点M 在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了如图 8-2 ，在 Rt DEF 中， FD 2 FE如果点M 沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到点 D 时，那么点 M 沿线段 FE 以每秒 1 个单位的速度正好运动到点E因此当 AF FE最小时，点M 用时最少如图 8-3 ，当 AE DE 时， AF FE最小，此时F ( 2, 2 3) 图 8-2图 8-3例 ? 如图 9-1 ，在 Rt ABC 中，C 90 °，AC6 ，BC 8 点 E 是 BC 边上的点，连结 AE，过点 E 作 AE 的垂线交 AB 边于点 F，求 AF 的最小值图 9-1【解析】如图

11、9-2 ，设 AF 的中点为D，那么 DA DE DF所以 AF 的最小值取决于DE 的最小值可编辑-精选文档 -如图 9-3 ，当 DE BC 时， DE 最小设 DA DE m ，此时 DB 5 m 3由 AB DA DB，得 m5m 10 解得 m15 此时 AF 2m15 342图 9-2图 9-3例 ?如图 10-1 ，已知点 P 是抛物线y1 x2 上的一个点，点 D、E 的坐标分别为 (0, 1) 、4(1, 2) ，连结 PD、 PE，求 PD PE 的最小值图 10-1【解析】点P 不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型设 P ( x,1x2 ) ，那么 PD2 x2(1x 2 1)2(1x2 1)2 所以 PD 1x2 1 4444如图 10-2， 1x 21 的几何意义可以理解为抛物线上的动点P 到直线 y 1