中考数学压轴题汇编——函数与几何综合

1、学习资料收集于网络，仅供参考中考压轴题汇编（一）函数与几何综合的压轴题1. （ 2004 安徽芜湖） 如图， 在平面直角坐标系中， AB、CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为 B、 D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A(-2,-6), C(1,-3)(1) 求证： E 点在 y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过 A， E， C 三点，求此抛物线方程 .(3) 如果 AB 位置不变， 再将 DC 水平向右移动k(k>0) 个单位，此时 AD 与 BC 相交于 E点，如图，求 AE C 的面积 S 关于 k 的函数解析式.yyBDBDOxOxEEC（ 1， -3）C（ 1+ k，-

2、3）AA（ 2， -6）（ 2， -6）图图 解 （ 1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过 E 作 EO x 轴，垂足 O ABEODC EODO ,EOBOABDB CDDB又 DO+BO=DB EOEO1 AB DCAB =6， DC =3， EO=2又 DOEO ， DOEODB23 1DBABAB6DO =DO ，即 O与 O 重合， E 在 y 轴上方法二：由D （ 1， 0）， A（ -2， -6），得 DA 直线方程： y=2 x-2再由 B（ -2，0）， C（ 1， -3），得 BC 直线方程： y=-x-2x0联立得y2E 点坐标（ 0， -2），即 E 点在 y

3、轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a 0)过 A（ -2， -6）， C（ 1，-3）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考E（ 0， -2）三点，得方程组解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程 y=-x2-24a2bc6abc3c2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移k 后，过 AD 与 BC 的交点 E作 EF x 轴垂足为 F。同（ 1）可得： E FE F1得： EF=2ABDCE FDF， DF1方法一：又 EF ABDBDBAB3S AEC= SADC - S EDC=11DCDF12DCDBDCDB1 DC2223=DB =DB=3

4、+ k3S=3+k 为所求函数解析式BCA=S BDA方法二： BA DC， SS AEC= S BDE 1BD EF1 3k2 3k22S=3+ k 为所求函数解析式 .证法三： S DE C SAEC=DE AE =DCAB =1 22 AB2同理： SDE C S SDEB=12,又 S DECABE =DC=1 4SAEC2 S梯形ABCD21 ABCDBD3 k992S=3+ k 为所求函数解析式 .2. （ 2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （ 1， 0）为圆心、直径 AC为 2 2 的圆与 y 轴交于 A 、 D 两点 .（ 1）求点 A 的坐标；（ 2）设

5、过点 A 的直线 yx b 与 x 轴交于点 B. 探究：直线 AB 是否 M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接 BC，记 ABC 的外接圆面积为S、M 面积为 S，若 S1h12，抛物线S24y ax2 bx c 经过 B、 M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为 h .求这条抛物线的解析式 .解（ 1）解：由已知 AM 2 ，OM 1，在 Rt AOM 中， AO AM 2OM 21，点 A 的坐标为 A（0， 1）（2）证：直线 y x b 过点 A （0， 1） 1 0b 即 b 1 yx 1令 y 0 则 x 1B（1，0），学习资料y ax2 bx c（ a0）学习资料收集于

6、网络，仅供参考AB BO2AO212122在 ABM 中， AB 2，AM 2 ，BM 2AB2AM 2( 2)2( 2)24 BM2 ABM 是直角三角形，BAM 90°直线 AB 是 M 的切线（3）解法一：由得BAC 90°， AB 2 ，AC22 ，BC AB2AC 2( 2)2(22) 210 BAC 90° ABC 的外接圆的直径为BC ， S1(BC)2( 10)25y222A而 S2( AC)2(2 2)22M22B·xS1h5hDC即2h 5S24 ，2,4设经过点 B （ 1，0）、 M （1， 0）的抛物线的解析式为：ya（ 1）（

7、 x1），（ a0）即 y ax2 a， a±5， a ±5 抛物线的解析式为 y 5x2 5 或 y 5x2 5解法二：（接上）求得 h5由已知所求抛物线经过点B （ 1， 0）、 M （1、 0），则抛物线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， ±5）抛物线的解析式为y a（ x 0） 2±5又 B （ 1,0）、 M（ 1,0）在抛物线上，a±50， a ±5抛物线的解析式为y 5x2 5 或 y 5x2 5解法三：（接上）求得h 5因为抛物线的方程为abc0a 5a5由已知得 abc0解得 b0或b04acb2c

8、5c54a5抛物线的解析式为y 5x2 5 或 y 5x2 5.学习资料学习资料收集于网络，仅供参考3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1， 1）为圆心，2 为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线 yax2bxc(a0) 过点 A、B，且顶点 C 在 P 上.(1)求 P 上劣弧 AB 的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 .y 解（ 1）如图，连结PB ，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M.AB在 Rt PMB 中， PB=2,PM=1,O·x MP

9、B 60°， APB 120 °P（1， 1）12024AB 的长3C180（2）在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, 则 MB MA 3 .y又 OM=1 ， A（13 ，0）， B（ 13 ，0），由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上，AOMB则 C(1， 3).·x点 A 、B、 C 在抛物线上，则P（1， 1）0a(13) 2b(13)ca1C0a(13)2b(13)c解之得 b23ab cc2抛物线解析式为yx22x2（3）假设存在点D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC OD.又 PCy 轴，点 D 在

10、 y 轴上， OD 2，即 D（ 0， 2） .又点 D （0， 2）在抛物线 yx 22x2 上，故存在点D（ 0， 2），使线段 OC 与 PD 互相平分 .42004湖北襄樊） 如图，在平面直角坐标系内，RtABC的直角顶点C0）在y 轴. （ ， 3的正半轴上， A、B 是 x 轴上是两点，且OA OB 31，以 OA、OB 为直径的圆分别交AC于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q.（1）求过 A、 B、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在 AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过 M 作

11、MN AB 交 OC 于点 N.试问：在 x 轴上是否存在点 P，使得 PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 .yEC学习资料QxAFO1O O2B学习资料收集于网络，仅供参考 解 (1) 在 Rt ABC 中， OC AB， AOC COB .2OC OA·OB .OA OB 3 1,C(0,3 ), ( 3) 2 3OB OB.OB 1. OA 3. A(-3,0), B(1,0).设抛物线的解析式为y ax2bxc.E3Na,M9a3bc 0,33122则 ab c0,b3,4解之，得AO1 POc3.3c3.经过

12、A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y3 x223x3.(2)EF 与 O1、 O2 都相切 .33证明：连结 O1E、OE、 OF . ECF AEO BFO 90°,四边形 EOFC 为矩形 .QE QO. 12. 34, 2+ 4 90°， EF 与O1相切.同理： EF 理 O2 相切 .(3) 作 MP OA 于 P，设 MN a,由题意可得 MP MN a. MN OA, CMN CAO. MN CN.AO CO a3 a .33yCQFO2Bx解之，得 a33 3 .2此时，四边形OPMN 是正方形 . MNOP3 33 .2P( 333 ,0).2PMNO

13、此时为正方形，考虑到四边形点 P 在原点时仍可满足 PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形 .故 x 轴 上 存 在 点 P使 得 PMN是一个以 MN为一直角边的等腰直角三角形且P(333或 P(0,0).2,0)学习资料学习资料收集于网络，仅供参考5.（ 2004 湖北宜昌）如图，已知点A(0 ， 1)、C(4，3)、E( 15 ， 23 )， P 是以 AC 为对角线的48矩形 ABCD 内部 (不在各边上 )的 个动点，点D 在 y 轴，抛物线y ax2+bx+1 以 P 为顶点(1) 说明点 A 、C、E 在一条条直线上；(2) 能否判断抛物线 y ax2+bx+1 的开口方

14、向 ?请说明理由；(3) 设抛物线 yax2 +bx+1 与 x 轴有交点 F、G(F 在 G 的左侧 )， GAO 与 FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点 这时能确定a、b 的值吗 ?若能，请求出 a、b 的值；若不能，请确定a、 b 的取值范围Y(本题图形仅供分析参考用)DCP 解（ 1）由题意， A(0 ，1)、C(4，3)确定的解析式为： y= 1AB2 x+1.将点 E 的坐标 E( 15， 23)代入 y=1x+1 中，左边 =23 ，右OX4828边= 1 ×15 +1= 23 ，248左边 =右边，点 E 在直线 y= 1x+1上，即点 A

15、 、C、 E 在一条直线上 .2（2）解法一： 由于动点 P 在矩形 ABCD 内部， 点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标， 而点 A与点 P 都在抛物线上，且P 为顶点，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下2P 的纵坐标为 4ab2解法二：抛物线 y=ax +b x+c 的顶点4a，且 P 在矩形 ABCD 内部，1 4ab22得 b20， a 0，抛物线的开口向下 .4a 3，由 1 1 b4a4a（3）连接GA 、FA， SGAO S FAO=3 1GO·AO 1FO· AO=3 OA=1 ，22GO FO=6. 设 F（ x1,0）、 G（ x2,0），则 x1、

16、x2 为方程 ax2 +bx+c=0 的两个根，且x1x2，又 a 0， x1·x2= 1 0， x1 0 x2，aYGO= x2， FO= x1， x2（ x1） =6 ，DC即 x2 +x1=6， x2+x1= b b =6 ，PAEaab= 6a,抛物线解析式为：y=ax2 6ax+1, 其顶点 P 的坐标为（ 3，1 9a） , 顶点 P 在矩形 ABCD 内部，1 1 9aBFOGX3, 2 a 0.9y=ax2 6ax+1得： ax2（ 6a+ 1 ） x=0由方程组1x+1y=226a121x=0 或 x=6+.a 2a当 x=0 时，即抛物线与线段 AE 交于点 A

17、，而这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点，则学习资料学习资料收集于网络，仅供参考有： 06+ 1 15 ，解得： 2 a 12a4912综合得： 2a 1 b= 6a，1 b 4912236. （2004 湖南长沙） 已知两点O(0 ，0)、B(0 ，2)，A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点O、C， A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为 3 1，直线 l 与 A 切于点 O，抛物线的顶点在直线 l 上运动 .（ 1）求 A 的半径；（ 2）若抛物线经过 O、 C 两点，求抛物线的解析式；（ 3）过 l 上一点 P 的直线与 A 交于 C、 E 两点，且 PCCE，求点 E 的坐标；

18、（ 4）若抛物线与 x 轴分别相交于 C、 F 两点，其顶点P 的横坐标为m，求 PEC 的面积关于 m 的函数解析式 .y 解 (1) 由弧长之比为3 1，可得 BAO 90o再由 AB AO r ，且 OB 2，得 r 2(2) A 的切线 l 过原点，可设 l 为 y kx0x任取 l 上一点 (b， kb)，由 l 与 y 轴夹角为45o 可得：b kb 或 b kb，得 k 1 或 k1，直线 l 的解析式为 y x 或 y x又由 r 2 ，易得 C(2， 0)或 C( 2， 0)由此可设抛物线解析式为y ax(x2) 或 y ax(x 2)再把顶点坐标代入 l 的解析式中得 a

19、1抛物线为 y x2 2x 或 y x22x6分(3) 当 l 的解析式为 y x 时，由 P 在 l 上，可设 P(m， m)(m 0)过 P 作 PP x 轴于 P， OP |m|， PP | m|， OP 2m2，又由切割线定理可得： OP2 PC·PE,且 PC CE，得 PCPEm PP7分 C 与 P为同一点，即 PE x 轴于 C， m 2， E(2， 2) 8分同理，当 l 的解析式为 y x 时， m 2， E(2， 2)(4) 若 C(2， 0)，此时 l 为 y x， P 与点 O、点 C 不重合， m0且 m2，当 m 0 时， FC 2(2m)，高为 |yp

20、|即为 m，S 2(2 m)( m)m22m2同理当 0 m2 时， S m2 2m；当 m 2 时， S m2 2m；S m22m( m或m 2)又若 C( 2， 0)，0m22m(0m2)此时 l 为 y x，同理可得； S m22m(m或m 0)2m22m( 2m0)学习资料学习资料收集于网络，仅供参考ylyBlAAEPP（ 2,0）FC( 2,0)COC (2,0)xFCOxFPPP7.（2006 江苏连云港）如图，直线ykx4 与函数 ym ( x0, m0) 的图像交于 A、B 两点，且与 x、y 轴分别交于 C、 D 两点x（ 1）若COD 的面积是AOB 的面积的2倍，求 k

21、与 m 之间的函数关系式；（ 2）在（ 1）的条件下， 是否存在 k 和 m ，使得以 AB 为直径的圆经过点P(2,0) 若存在，求出 k 和 m 的值；若不存在，请说明理由y 解 （ 1）设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) (其中 x1x2 , y1y2 )，CA由SCOD2S AOB ，得 S COD2( S AODS BOD) 1 ·OC ·OD2 ( 1 ·OD ·y11 ·OD ·y2 )， OC2 ( y1y 2 ) ，222B又 OC4 ， ( y1y2 )28 ，即 ( y1y 2 ) 24y

22、1 y28 ，OPDx由 ym 可得 xm ，代入 ykx4 可得 y24 ykm 0xyy y1y24 ， y1 y 2km ， 164km8 ，即 k2CAm又方程的判别式164km80 ，所求的函数关系式为k2 (m0) BmOMPN Dx（2）假设存在 k , m ，使得以 AB 为直径的圆经过点P(2,0) 则 APBP，过 A、 B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为M 、NMAP 与BPN 都与APM 互余，MAPBPN RtMAP RtNPB ， AMMP y12x1PNNBmm， ( x12)( x22)y1 y22) y1 y20 ，x2 2y20， (2)(y1y 2即m2

23、2(y2)4y1 y 2(y1 y2) 20m y1由（ 1）知 y1y 24， y1y22 ，代入得 m28m 120 ， m 2或 6 ，又 k2m2或m6，k1k1 ，m3存在 k , m ，使得以 AB 为直径的圆经过点P(2,0)m2m6，且或k1 k13学习资料学习资料收集于网络，仅供参考8. （ 2004 江苏镇江）已知抛物线ymx2(m5) x5(m0) 与 x 轴交于两点A( x1 ,0) 、B(x2 ,0) ( x1x2 ) ，与 y 轴交于点 C，且 AB=6.（ 1）求抛物线和直线 BC 的解析式 .（ 2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.（ 3）若P 过 A

24、、B、C 三点，求P的半径 .（ 4）抛物线上是否存在点M，过点 M 作 MNx 轴于点 N，使MBN 被直线 BC 分成面积比为1 3的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 （ 1）由题意得： x1x2m5 , x1 x25 , x2 x1 6.ymm36, m2( xx)24x x252036,121mm解得 m 1,m5 .Ox127经检验 m=1，抛物线的解析式为：yx24x5.或：由 mx2( m5) x 50 得， x1 或 x5mm > 0,151.6, mm抛物线的解析式为yx24x5.由 x24x 5 0 得 x15, x21.A（ 5， 0）

25、， B（ 1， 0）， C（0， 5）.设直线 BC 的解析式为ykxb,b5,b5,则kb0.k5.直线 BC 的解析式为y5x5.(2) 图象略 .（3）法一：在RtD AOC 中，OA OC 5,OAC 45 .BPC90.又 BCOB2OC 226, P的半径 PB26213.2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考法二：由题意， 圆心 P 在 AB 的中垂线上， 即在抛物线 yx24x 5 的对称轴直线 x2上，设P（ 2， h）（ h 0），连结 PB、 PC，则 PB 2(12)2h2 , PC 2(5h)222 ，由 PB2PC 2，即 (12) 2h2(5h)222，解得 h=

26、2.P( 2,2),P 的半径 PB(12)22213 .法三：延长 CP交P于点 F.CF 为P 的直径，CAFCOB90 .又 ABCAFC , D ACF D OCB.CFAC,CFAC BCBCOCOC.又 AC525252, CO5, BC521226,CF522652 13.P 的半径为13.（4）设 MN 交直线 BC 于点 E，点 M 的坐标为 (t, t 24t 5), 则点 E 的坐标为 (t,5 t 5).若 S: S1:3,则ME:EN1: 3.D MEBD ENBEN:MN3 : 4, t 24t54 (5t5).3解得 t11（不合题意舍去） ， t25,M5,40

27、 .339若 SD MEB : SD ENB3:1,则 ME : EN 3:1.EN :MN1: 4, t 24t54(5t5).解得 t31 （不合题意舍去） ， t415,M15,280 .存在点 M ，点 M 的坐标为5 , 40 或（ 15， 280） .39学习资料学习资料收集于网络，仅供参考9.如图， M 与 x 轴交于 A、B 两点，其坐标分别为A ( 3，0) 、 B (1，0) ，直径 CD x 轴于N，直线 CE 切 M 于点 C，直线 FG 切 M 于点 F ，交 CE 于 G，已知点G 的横坐标为3.(1) 若抛物线yx 22 xm 经过 A、B、 D 三点，求m 的值

28、及点D 的坐标 .(2) 求直线 DF 的解析式 .(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.解 (1) 抛物线过 A、 B 两点，m (3)1， m=3.yDF抛物线为 yx 22 x 3 .又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点 .D 点坐标为 (1，4) .A(2) 由题意知： AB=4. CDx 轴， NA=NB=2. ON=1.由相交弦定理得：NA· NB=ND · NC， NC×4=2× 2. NC=1. C点坐标为 ( 1， 1).

29、设直线 DF 交 CE 于 P，连结 CF ，则 CFP=90 ° . 2+ 3= 1+ 4=90°. GC、GF 是切线， GC=GF . 3= 4. 1= 2. GF=GP. GC=GP.可得 CP=8. P 点坐标为 ( 7， 1)设直线 DF 的解析式为 ykx b5Akbk84则b解得277 k1b8直线 DF 的解析式为： y5 x2788MNOBxECG（第 27 题图）yDFM32xNO4B1ECGP(3) 假设存在过点 G 的直线为 yk1 xb1 ，则 3k1 b11， b13k 11.yk1 x3k112( 2k1 ) x 4 3 k1 0由方程组x 22 x得 xy3学习资料学习资料收集于网络，仅供参考由题意得2 k14 ， k 16 .当 k16 时，40 0，方程无实数根，方程组无实数解.满足条件的直线不存在.10. （ 2004 山西）已知二次函数y1 x2 bx c 的图象经过点 A（ 3， 6），并与 x 轴交于2点 B （ 1， 0）和点 C，顶点为 P.（ 1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（ 2）设 D 为线段 OC 上的一点，满足 DPC BAC ，求点 D 的坐标；（ 3）在 x 轴上是否存在一点M ，使以 M 为圆心的圆与 AC 、 PC 所在的直线及y