三角函数的最值

1、三角函数的最值(专题)知识要点1、配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数y sin2 x sin x 1的最值，可转化为求函数 y t2 t 1,t1,1上的最值问题。2、 化为一个角的三角函数(利用辅助角公式)，再利用有界性求最值：' 22basinx bcox a b sin(x )，其中 tan =.a3、y asin x b(或 y acosxb)型，解出 sinx (或 cosx)利用 |sinx|1 (或csi nx dccosxd| cos x | 1)去解；或用分离常数的方法去解决4、数形结合形如：y asin

2、x b (或y acosx b)型，可化归为Sin(x ) g(y)去处理； ccosx dcsi nx d或用万能公式换元后用判别式法去处理；当 a c时，还可以利用数形结合的方法去处理.sinxsin x常用到直线斜率的几何意义，例如求函数y的最大值和最小值。函数ycox 2cox 2的几何意义为两点 P( 2,0), Q(cosx,sin x)连线的斜率k，5、换元法求最值对于表达式中 同时含有sin x+cosx ，与sin xcosx 的函数，运用 关系式2si nx cosx 1 2sin xcosx, 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范

3、围。*特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。、题型剖析1化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例1求函数y sin2x3sinxcosx 1的最值，并求取得最值时的x值。练习：1、已知函数。(I)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；2已知函数.(I)求函数的最大值;3.已知函数 f (x) 4cos xsin(x )1。6(I)求f(x)的最小正周期；(n)求f (x)在区间孑4上的最大值和最小值。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例2已知函数。(I)求的值；(n)求的最大值和最小值。练

4、习:4上的最小值?1、求函数 f (x) =cos2x+sinx 在区间 n ,42、函数y sin2x 3cosx 3的最小值为().1A.2 B . 0 C . D 643、求函数y=5sinx+cos2x的最值2534、是否存在实数a,使得函数y sin2 x acosx a 在闭区间0, 上的最大8 2 2值是1?若存在，求出对应的 a值？若不存在，试说明理由。例题 3。y=sin x_ 的最大值是 ，最小值是 2 sin x练习：1函数y=1的最大值是，最小值是sin x 22、求函数y sinx (0 x )的值域 2 sin x2cosx 1 ，亠3、求函数y 的值域2cosx

5、1求函数y= 2 sinx的最大值和最小值2 cosx1、 y= cosx (0 v x Vn)的最小值是 .sin xsin x2、 求函数y (0 x)的最大值2 cosx3、换元法解决sin xcos x, sin xcosx同时出现的题型。例5.求函数y 4 3sinx 4 3cosx的最小值练习：1、求 y=1+sin x+cosx+sin xcosx 的值域.2、函数 y (1 sin x)(1 cosx)的最大值为 最小值为 思维点拨：遇到sinx cosx与sinxcosx相关的问题，常采用换元法，但要注意的取 值范围是-.2,、2，以保证函数间的等价转化小结：求三角函数的最值

6、问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理基本类型(1) y a si n2 x bsi nx c (或 y a cos2 x bcosx c )型，可令 t si nx (或t cosx)，|t| 1，化归为闭区间上二次函数的最值问题(2) y a si nx bcosx型，引入辅助角，化为y . a2 b2 si n(x )，利用函 数| sin(x ) | 1即可求解.(3) y asin x一b (或 yacosx一b)型，解出 sin x (或 cosx)利用 |sin x | 1csi nx dccos

7、x d(或| cosx | 1)去解；或用分离常数的方法去解决(4) y asinx b (或 y acosx b)型，可化归为 Sin(x ) g(y)去处理；ccosx dcsi nx d或用万能公式换元后用判别式法去处理；当 a c时，还可以利用数形结合的方法去处理.(5) 对于含有sin x cosx,sin x cosx的函数的最值问题，常用的方法是令sin x cosx t,| t | 2,将sin xcosx转化为t的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.(6) 在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论三、巩固练习:1 当0 x 时，函数 f(x)-COS2X一8sin

8、x的最小值为 ()2sin 2x(A) 2( B) 2、. 3(C) 4( D) 4 . 32、 已知kv 4，则函数 y = cos2x + k(cos x- 1)的最小值是 ()(A) 1(B) 1(C) 2k + 1(D) 2k + 13、 设a 0 ,对于函数f x Sin x_a (0 x )，下列结论正确的是()sin xA .有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D既无最大值又无最小值114、已知函数 f (x) (sinx cos x) sinx cosx ,则 f (x)的值域是()22(A)1,1(B)2,1(C)1 二(D)1,-22225、函数1y= sin 2+4s in2 x,xR的值域是()2(A)-13小312 121121 . 2 1,(B)-,(C) L(D)2 2222 22222 2 26、设函数y a cosxb(a,b为常数)的最大值为1,最小值为-7,那么yacosx bsi nx的最大值是.7、 设实数 x,y,m,n 满足吊+n2=a,x 2+y2=b(a,b是常数，且 a b)，那么 mx+ ny的最大值是._ 2 2