专题：对数函数知识点总结及类型题归纳

1、.专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数 ylog ax ()叫做对数函数.定义域是2. 对数函数的性质为a>10<a<1332.52.5221.51.5图1 11 10.50.5-112345678-10123456780-011象.5-0 .5-1-1-1.5-1 .5-2-2-2.5-2 .5定义域：（ 0，+）值域： R性过点（ 1， 0），即当 x1 时， y 0质x(0,1) 时 y0x(0,1) 时 y0x(1,) 时y0x(1,) 时 y0在（ 0， +）上是增函数在（ 0， +）上是减函数思考：函数 ylog a x 与函数 ya x(a0

2、且a1) 的定义域、值域之间有什么关系？_对数函数的图象与指数函数的图象关于_对称。一般的 ,函数 y=ax 与 y=log ax(a>0 且 a1) 互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称y=f(x) 存在反函数 ,一般将反函数记作y=f -1 (x)如 :f(x)=2 x,则 f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称;.专题应用练习一、求下列函数的定义域（ 1） ylog0.2 (4x); ；（2） yloga x1 ( a 0, a 1).；（ 3） ylog (2

3、 x 1) (x22x3)（ 4） ylog2 (4 x3)(5)y=lg1(6)y=log 3x1x1.y=log(5x-1)(7x-2) 的定义域是 _2.y=lg( 8x2 ) 的定义域是 _3.求函数 ylog 2 (2 x 1) 的定义域 _4.函数 y=log 1 (2 x1) 的定义域是3x，值域是.5.函数 y log 2(32 4 ) 的定义域是6.函数 ylog 5x (2 x3) 的定义域 _7.求函数 ylog a ( xx2 )(a 0, a1) 的定义域和值域。8.求下列函数的定义域、值域：（ 1） y log 2 (x3) ； （ 2） ylog 2 (3x2 )

4、 ； （3） ylog a (x24x 7) （ a0 且 a1 ）9.函数 f（x） = 1ln （x23x 2x23x 4 ）定义域x10.设 f(x)=lg 2x,则 f ( x )f ( 2 ) 的定义域为2x2x11.函数 f(x)=| x2 |1 的定义域为log 2 (x1)12.函数 f(x)=1g( x22x)的定义域为；9x213.函数 f （x） = 1 ln （x 23x 2x23x4 ）的定义域为x14y log2 log2 log2 x的定义域是1.设 f (x) lg( ax22x a),(1)如果 f (x) 的定义域是 ( , )，求 a 的取值范围；;.(2

5、) 如果 f (x) 的值域是 ( , )，求 a 的取值范围15.已知函数 f ( x) log 1 (x 22ax 3)2（ 1）若函数的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围（ 2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围（ 3）若函数的定义域为(,1)( 3,) ，求实数 a 的值；（ 4）若函数的值域为(,1 ，求实数 a 的值 .16.若函数 yf2x的定义域为1,0 ，则函数 yf log 2 x 的定义域为17.已知函数 f(2x）的定义域是 -1， 1，求 f(log 2 x)的定义域 .x18 若函数 y=lg(4-a · 2)的定义域为 R，则实数 a 的取值

6、范围为19 已知 x 满足不等式 (log 2 x) 27 log 2 x60 ，函数 f ( x)(log 2 4x)(log 4 2x) 的值域是20 求函数 y(log 1x) 2log 1x1 (1 x4)的值域。2221 已知函数 f(x)=log 2x1 +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求 f(x) 的定义域；（ 2）求 f(x) 的值域 .x1x10 ,x1解： f(x) 有意义时，有x10,px0 ,由、得 x 1,由得 x p,因为函数的定义域为非空数集，故p1,f(x) 的定义域是 (1,p).（2） f(x)=log2 (x+1)(p-x) =log

7、2 -（ x- p 1 ） 2+ ( p 1)2 (1 x p),24当 1 p1 p，即 p 3 时， 0 -(x- p 1 )2( p 1)2( p 1)2,2244 log2 ( xp1) 2( p41)2 2log 2(p+1)-2.2当 p1 1，即 1p 3 时， 0-(x-p 1) 2( p 1) 22( p1), log2( xp 1)2 ( p1)2 1+log 2(p-1).22424综合可知：当 p3时， f(x) 的值域是（ - ,2log2(p+1)-2 ;当 1 p 3 时，函数 f(x) 的值域是 (- ,1+log 2(p-1).二、利用对数函数的性质，比较大小

8、例 1、比较下列各组数中两个数的大小：;.（ 1） log 2 3.4 ， log 2 3.8 ； （ 2） log 0.5 1.8 ， log 0.5 2.1 ；（ 3） log 7 5 ， log 6 7 ；（ 4） log 233， log 4 5 ，21.1.10.9 ， log 1.1 0.9 ， log 0.7 0.8 的大小关系是 _2abb b的大小关系是 _2.已知 a >b>a>1，则 m=log b， n=log a，p= loga3.已知 logm5>logn5,试确定 m 和 n 的大小关系4.已知 0 a 1,b 1,ab 1，则 loga1

9、, log a b, log b1 的大小关系是bb5.已知 log 1b log 1 a log1 c,比较b a c的大小关系 .2,2 ,22226.设 alog3,b log 2 3, clog 32 ，则已知 x1,d , 试比较 alogx2logx2cloglog x 的大小。d，bd7.dd已知 x1,d1试比较 alog d x2 ， blog d x 2的大小。8.9.设 0 <x <1， a >0，且 a 1，试比较 | loga（ 1-x） |与 | loga（ 1+x） |的大小。10.已知函数 f ( x)lg x ，则 f1， f1， f (2)

10、 的大小关系是 _43三、解指、对数方程：（ 1） 33x 527（ 2） 22 x12 （ 3） log 5 (3x)log 5 (2 x1) （ 4） lgx1lg( x1)1.已知 3a=5b=A, 且 11 =2，则 A 的值是ab12.已知 log7log3(log2x)=0，那么 x 2 等于13.已知 log7 log3(log2 x)=0，那么 x 2 等于4.若 x (e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则5.若 f 10 xx ，那么 f 3 等于6.已知 f ( x5 )lg x ，则 f (2)7.已知 log a (x24) log a ( y21

11、) log a 5 log a (2 xy 1)(a 0，且 a1) ，求 log8y 的值x四、解不等式：1. log 5 (3x)log 5 (2 x1);.2. lg( x 1) 13.设 a, b 满足 0 ab1 ，给出下列四个不等式： aaab ， babb ， aaba ， bbab ，其中正确的不等式有4.已知： (1) f ( x)log a x 在 3,) 上恒有 | f ( x) |1 ，求实数 a 的取值范围。5.已知函数 f ( x)x23, g ( x)a(1 x) ，当 2x2 时， f ( x)g( x) 恒成立，求实数a 的取值范围。6.求 m 的取值范围，使

12、关于 x 的方程(lg x)2mlg x(m) 0有两个大于121的根4（ 2008·全国）若 x (e-1 ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则7.已知 0 a 1,b 1,ab 1，则 loga1, log a b,log b1的大小关系是bb8.已知函数 f(x)=log ax(a 0,a 1)，如果对于任意x 3， +）都有 |f(x)| 1 成立，试求 a 的取值范围9.已知函数 f（ x）23 上是单调递减函数 .求实数 a 的取值范围 .=log 2(x-ax-a) 在区间（ - , 1-10.若函数 ylog 2 (x2axa) 在区间 ( ,13)

13、上是增函数， a 的取值范围11.已知函数 f ( x)log 2 ( x2ax3a) 在区间 1,2 上是增函数，则实数a 的取值范围是12.若函数 f(x)=log 2 x, x0,0 ,若 f(a)>f(-a), 则实数 a 的取值范围是log 1 ( x), x22x 1，x，13.设 函数 f ( x)11若f ( x0 )1 ，则 x0 的取值范围是（），x ，lg x1214.设 a>0 且 a1，若函数 f (x) a lg ( x 2x3)有最大值，试解不等式 log a ( x25x 7) >0五、定点问题1.若函数 y=log a(x+b) (a0,且

14、a1)的图象过两点（ -1，0）和（ 0，1），则2.若函数 y=log a(x+b) (a 0,且 a 1)的图象过两点（-1， 0）和（ 0， 1），则3.函数 f (x)log a (x1)1(a0且 a1) 恒过定点.六、求对数的底数范围问题1.1loga1 (a0且a1)，求 a 的取值范围（ ）若45;.2.2log (2 a 3) (14a)2，求 a 的取值范围（ ）若3.若 log a21 ( a 0 且 a1)，则 a 的取值范围 _34.函数 f (x)log a ( x1) 的定义域和值域都是 0,1，则 a 的值为.5.若函数 f (x) log a (a x) 在2

15、,3 上单调递减，则a 的取值范围是6.函数 y=log0.5(ax+a-1)在 x 2上单调减，求实数 a 的范围7.已知 y= log a (2- a x )在 0，1上是 x 的减函数，求a 的取值范围 .8.已知函数 y=log a2 (x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，求a 的取值范围 .9.已知函数 f(x)=log ax(a 0,a 1)，如果对于任意 x 3， +）都有 |f(x)| 1 成立，试求 a 的取值范围 .10.若函数 ylog a (1x) 在 0,1) 上是增函数，a 的取值范围是11.使 log a11成立的 a 的取值范围是212.若定义在 ( 1

16、，0) 内的函数f (x) log2a(x 1)满足 f (x) 0，则 a 的取值范围是七、最值问题1.函数 y log ax 在 2,10 上的最大值与最小值的差为1，则常数 a.2.求函数 y log 12log 1x 5 x 2,4 的最小值,最大值.。x443.设函数在区间上的最大值与最小值之差为1 ，则 a=a1,f(x)=log axa,2a24.函数 f（x）=ax+loga（x+1）在 0，1上的最大值和最小值之和为a，则 a=5.已知0 x2,则函数 y4x32 x4 的最大值是，最小值是.6.已知 f (x)1log 2 x,(1x4)，求函数 g (x) f 2 ( x

17、)f (x2 ) 的最大值与最小值7.已知 x 满足 2(log 0.5 x)27 log 0.5 x 30 ，求函数 f (x)(log 2 x)(log 2x) 的最值。24设 x0, y0,且x2 y1,求函数 ulog 1 (8xy 4 y 21)的值域 .8.2函数xlog(x+1)在0,1 上的最大值与最小值之和为 a，则 a9.f (x) aa;.10.求函数 ylog 1 (13x )log 2 (3x1) 的最小值2311.函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数=_ 八、单调性1.讨论函数ylg(1x)lg(1x) 的奇偶性与单调性2.函数 y lg(2 x x2 ) 的定

18、义域是,值域是，单调增区间是3.函数 f (x)ln( x24x3) 的递减区间是4.函数 y=log 1/3 (x2-3x) 的增区间是 _5.证明函数 f ( x) log 2 ( x21) 在 (0,) 上是增函数6.函数 f (x)log 2 (x 21)在 (,0) 上是减函数还是增函数？7.求函数 ylog 1 ( x 22x3) 的单调区间，并用单调定义给予证明2.8.求 y= log 0 .3 ( x2 -2x) 的单调递减区间9.求函数 y= log 2 ( x2-4x) 的单调递增区间10.函数 y=log 1 (x2 -3x+2) 的递增区间是211.函数 ylg(2 x

19、x2 ) 的值域是，单调增区间是12.若函数 ylog 2 (x2axa) 在区间 (,13)上是减函数，求实数a 的取值范围1.证明函数 y= log 1( x 2 +1)在（ 0， +）上是减函数；22.已知函数 f（ x） =log 2(x2-ax-a) 在区间（ - ,1- 3上是单调递减函数.，求实数 a 的取值范围 .3.已知函数 f ( x) lg(4k2x ) ，（其中 k 实数）（）求函数f ( x) 的定义域；（）若 f ( x) 在,2上有意义，试求实数 k 的取值范围小结： 复合函数的单调性;.f (x), g( x) 的单调相同，yf ( g( x) 为增函数，否则为

20、减函数九、奇偶性1.函数 f xln 1x2x的奇偶性是。2.若函数 fx 是奇函数，且x0 时， fxlg x1，则当 x 0时， f x3.偶函数 fx 在 0,2内单调递减， af 1,bflog 0.51, cf lg 0.5 ，则 a,b, c 之间的大小关系44.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且在0,) 上为增函数，f ( 1)0 ，则不等式f (log 1x) 0 的解集为385.已知函数 f ( x) lg1x , 若 f ( a)1, 则 f (a).1x26.已知奇函数满足，当时，函数，则=_ 7.已知 f ( x)lg( xx 21)(1)判断 f(x) 奇

21、偶性 (2)判断 f (x)的单调性8.知函数 f(x)=log a x bxb单调性(a0,且 a1，b0)（ 1）求 f(x) 定义域；（ 2）讨论 f(x) 奇偶性；（3）讨论 f(x ）9.a,bR，且 a2,定义在区间（ -b,b）内的函数 f(x)= lg 1ax 是奇函数12x1）求 b 取值范围 2）讨论函数 f(x) 单调性 .，且 定义在区间（）内的函数f(x)=lg 1ax是奇函数 .10.设 a,b Ra 2,-b,b12x（1） 求 b2）讨论函数 f(x) 的单调性 .11.已知函数 f ( x)log a (1x), g ( x)log a (1x) 其中 ( a

22、0 且 a1 ) ，设 h( x)f (x)g(x) .（1）求函数 h(x) 的定义域，判断 h( x) 的奇偶性，并说明理由；（2）若 f (3)2 ，求使 h( x)0 成立的 x 的集合 .;.十、对称问题与解析式1. 已 知 函数 fx 的 定义 域 是 0,， 且对 任 意 的 x1 , x20 满 足 fx1f x1fx2， 当 x1 时有x2f x 0 ，请你写出一个满足上述条件的函数fx。2.已知函数 fx 满足 fx23 log a6x2 2a0, a 1x（ 1）求 f x的解析式；（2）判断 fx 的奇偶性；（ 3）讨论 fx 的单调性；（ 4）解不等式fx log a

23、2x3.已知定义域为 (,0)(0,) 的 函 数 y f (x) 满 足 条 件 ： 对 于 定 义 域 内 任 意 x1 , x2都 有f ( x1 x2 )f( 1x)f( 2 x ).(1)求证： f ( 1 )f ( x) ，且 f ( x) 是偶函数； (2)请写出一个满足上述条件的函数 .x5.已知函数 f(x)=log a(x+1)(a1),若函数 y=g(x) 图象上任意一点 P 关于原点对称点 Q 的轨迹恰好是函数f(x) 的图象 .（ 1）写出函数 g(x)的解析式；（ 2）当 x 0， 1）时总有 f(x)+g(x) m 成立，求 m 的取值范围 .解 （ 1）设 P（

24、 x， y）为 g(x) 图象上任意一点，则 Q（-x， -y）是点 P 关于原点的对称点， Q（ -x， -y）在 f(x) 的图象上， -y=log （ -x+1 ），即 y=g(x)=-logx1 m.aa(1-x).（ 2） f(x)+g(x) m,即 logax1设 F（ x） =log a 1x ,x 0， 1），由题意知，只要 F（ x） min m 即可 .1x F（ x）在 0， 1）上是增函数， F（ x） min =F（ 0） =0.故 m 0 即为所求1）证明设点 A 、B 的横坐标分别为x1、 x2,由题设知 x1 1,x 2 1,则点 A 、 B 的纵坐标分别为lo

25、g 8x1、 log 8x2.因为 A 、 B 在过点 O 的直线上，所以log 8x1log8x2 点 C、 D 的坐标分别为 (x1,log 2x1)、 (x2,log 2x2),x1x2由于 log 2 1=log 8x1=3log8122=3log82,OC1log2x13log 8x1,OD 的斜率为k2log 2 x23log 8x2 ,由此可知x82x,logxx的斜率为 k =x11x2x2logxk1=k 2,即 O、 C、 D 在同一直线上 .;.（ 2）解由于 BC 平行于 x 轴，知 log 2x1=log 8x2，即得 log 2x1= 1 log2x2,x2=x31

26、,3代入 x2log8x1 =x1log 8x2，得 x31 log8x1=3x1log8 x1,由于 x1 1,知 log 8x1 0,故 x31=3x 1,x1 1,解得 x1=3,于是点 A 的坐标为（3 ，log 83 ).6.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A 、B 两点，分别过 A 、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2 的图象交于 C、D 两点.（1）证明 :点 C、D 和原点 O2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标 .7.设函数且 求的解析式，定义域；讨论的单调性，并求的值域十一、对数函数图象1函数 ylog 3 (x2) 的图象

27、是由函数ylog3 x 的图象得到。2.函数 ylog 3 ( x2) 3 的图象是由函数y log 3 x 的图象得到。3.函数 ylog a ( xb)c （ a0, a1 ）的图象是由函数 ylog ax 的图象当 b0, c0 时向_单位得到 ;当 b0, c0 时向_单位得到 ;当 b0, c0 时向_单位得到 ;当 b0, c0 时向_单位得到。尝试总结： 平移变换 yf ( x)yf (x a) b 的法则 _1.将函数 y=2 x 的图象向左平移1 个单位得到 C1，将 C1 向上平移 1个单位得到 C2，而 C3 与 C2 关于直线 y=x 对称，则 C3 对应的函数解析式是

28、2.函数的图像与对数函数ylog 3 x 的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：(1)ylog 3 | x |； (2) y| log3 x |；(3)ylog3 ( x) ； (4)ylog3 x;.1.已知 x1 是方程 x lg x 3 的根， x2 是方程 x 10x3 的根求函数f (x) log 2 | x2x12 | 的单调区间2.如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为 ()3.方程 log a xax (a1) 的解的个数为4.已知关于x 的方程 lg 2 x2a lg x2a0 的两根均大于1，则实数 a 的取值范围是 5.方程 l

29、og 2 | x |x2 的实根个数是个 .则 x1 x26.已知 f(x) 1 log x3， g(x) 2log x2，比较 f(x)与 g(x)的大小7.设 a>0 且 a 1,求证：方程axa x -x=2a 的根不在区间 -1,1 内8.若，且，则满足的关系式是（）9.若是偶函数，则的图象是()（ A ）关于轴对称（ B）关于轴对称（ C）关于原点对称（ D）关于直线对称10 方程实数解所在的区间是( )（A）（ B）（ C）（D ）11.已知 x、 y 为实数，满足（ log 4y） 2= log 1x ，试求 x 的最大值及相应的x、y 的值2y十二、附加内容（补充）本节主

30、要介绍以下几个问题一、反函数的定义从 yf ( x)中解出 x求原函数值域（反函数定义域）二、反函数的求法x与 y互换，加注定义域等价条件： x, y一一对应在定义域内单调一定存在反函数;.三、反函数存在的条件原函数与反函数定义域与值域对调f f 1 ( y)y, f 1 f ( x)x四、反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线 yx对称原函数在定义域内单调，反函数与之具有相同的单调性y2x 用 y表示 x xlog 2 y x、 y互换 ylog 2 xxR, y0,yR, x0,y=ax 及 y=log ax 互为反函数,反函数的定义一般的 ,如果 y 是 x 的一个函数 (y=f(x), 另一方面 ,x 也是y 的函数 (x=g(y), 将此函数称作函数y=f(x) 的反函数。一般仍用 x 表示自变量 ,y 表示函数值 ,这样 y=f(x) 的反函数记作y=f -1(x),y=f -1(x) 与 y=f(x) 互为反函数y=ax与 y=log a互为反函数x注意： f-1(x) 与 f(