与旋转有关的最值

1、。难点突破专题 与旋转有关的最值与路径一、构造全等，结合三边关系求最值1. 如图，等腰之间 ABC中， AC=BC= 5 , 等腰直角 CDP中， CD=CP且 PB= 2 ，将 CDP绕点 C旋转（ C、P、D 三点按顺时针方向排列）（ 1）当 PBC=时， BD有最小值，最小值为多少？（ 2）当角 PBC=时， BD有最大值。最大值为多少？解：连接 AD. CDP、 ACB都是等腰直角三角形， CD=CP，AC=BC， PCD=BCA=90°. PCD=BCP+BCD=90°， BCA= BCD+ DCA=90°， BCP=DCA. BCP=ACD，BC=AC

2、， CP=CD， CPB CDA（SAS）， PB=AD= 2 . AB-ADBDAB+AD， 10 -2 BD 10 +2.（ 1）当 PBC=45°时， A、D、B 共线， BD有最小值10 -2；（ 2）当 PBC=135°时， A、 D、 B 共线， BD有最大值10 +2.二、遇等边三角形，旋转60 求最值2. 如图， ABC中， AB=2，AC=4，以 BC为边在 BC的下方作等边 PBC，求 AP 的最大值。1。解：如图2， ABP逆时针旋转60°得到 ABC， A BA=60°， A B=AB，AP=A C A BA是等边三角形，A A=

3、AB=BA =2，在 AA C中， A C AA +AC，即 AP6，则当点 AA、 C 三点共线时，A C=AA +AC，即 AP=6，即 AP的最大值是：6；故答案是： 6三、遇等边三角形，旋转60 求最值3. 如图， ABC中， AB= 2 ， AC=3，以 C 为直角顶点， BC为直角边，向下作等腰直角 BCD，求 AD的最大值。解：将 ACD绕点 C顺时针旋转90°得 ACB，连结 AA，则 AAC为等腰直角三角形，AA= 2 ， AC=3 2 ， AD=AB.AB AB+AA，当点 B、A、 A三点共线时，AB最大，此时AB=AB+AA=2 +32 =42 ,AD的最大值

4、为42四、遇中点，构造中位线求最值4. 如图，在等腰直角 ABC中， AB=AC=3，在等腰直角 BEF中， BE=EF=1,O为CF的中点。当 BEF绕点 B 旋转时， AO的最大值为。2。五、运动路径为线段长5. 在平面直角坐标系中，点 C 沿着某条路径运动，以点 C 为旋转中心，将点 A（ 0， 4）逆时针旋转 90 到点 B（m，1）若5m5 ，则点 C 的运动路径长为。解：如图 1 所示，在 y 轴上取点 P（ 0， 1），过 P 作直线 l x 轴，B（ m， 1）， B 在直线 l 上， C 为旋转中心，旋转角为 90°，BC=AC， ACB=90°， APB

5、=90°， 1=2，作 CM OA于 M，作 CN l 于 N，则 Rt BCN Rt ACM，CN=CM，若连接 CP，则点 C在 BPO的平分线上，动点 C 在直线 CP上运动；如图 2 所示， B（ m， 1）且 -5 m 5，分两种情况讨论C的路径端点坐标，当 m=-5 时， B（ -5 ， 1）， PB=5，作 CM y 轴于 M，作 CN l 于 N，同理可得 BCN ACM，CM=CN， BN=AM，可设 PN=PM=CN=CM=a，P（ 0， 1）， A（ 0， 4），AP=3， AM=BN=3+a，PB=a+3+a=5，a=1，C（ -1 ， 0）；当 m=5时， B（ 5，1），如图 2 中的 B1，此时的动点 C是图 2 中的 C1，同理可得 C1（ 4， 5），C 的运动路径长就是 CC1 的