2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(一)(含答案解析)

1、2020 年青海省西宁市高考数学模拟试卷（一）、选择题（本大题共 14小题，共 70.0 分）1. 已知集合 ，4， ，则A.1，3，B.2，4，C.3，D.2. 已知 是 的共轭复数，则A.B.C.D. 13. 已知向量 ， ，则C. D.内是增函数的为B. ， 且A. B.4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间A. ，第 25 页，共 22 页C. ，D. ，函数 在 的图象大致为5. 设函数 为常数 ，则“ ”是“ 为偶函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 周髀算经 是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一书中记载了借助“

2、外圆内 方”的钱币 如图 做统计概率得到圆周率 的近似值的方法现将其抽象成如图 2 所示的图 形，其中圆的半径为 2cm，正方形的边长为 1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影 部分的概率是 p，则圆周率 的近似值为B.7.8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 ， 的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B 两点，若点 A， B 的坐标为和 ，则 的值为9.A.B.C. 0D.函数 的部分图象如图所示，若 ，且 ，则A. 1C.10.某同学在参加 通用技术 实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 的正

3、方体的六个面所截后剩余的部分 球心与正方体的中心重合 ，若其中一个截面圆的周长为 ，则该球的半径是A. 2 B. 4 C. D.11. 关于 x 的方程 ，若 时方程有解，则 a 的取值范围A. B. C. D.12. 已知点 A 为曲线上的动点， B 为圆 上的动点，则 的最小值是A. 3B. 4C. D.13. 已知 P 是抛物线上的一个动点， Q 是圆 上的一个动点，是一个定点，则 的最小值为A. 3B. 4C. 5 D.14. 设 ， 是定义在 R 上的两个周期函数，周期为 4，的周期为 2，且是奇，其中 若在区间 上，关于 x的方程有 8个不同的实数根，则 k的取值范围是A.C.D.

4、、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0分）则该校招聘15. 某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，x 和 y须满足约束条件的教师人数最多是 名16. 如图，圆柱 中，两半径 OA，等于 1，且，异面直线 AB 与所成角的正切值为 则该圆柱 的体积为 17. 文科 已知双曲线 C：的右焦点为 F ，以 F 为圆心，以为半径的圆交双曲线 C 的右支于 P，Q 两点 为坐标原点 ， 的一个内角为 ，则双曲线 C 的离心率的平方为 18. 是 P 为双曲线 上的点， ， 分别为 C的左、右焦点，且 ，与 y 轴交于 Q 点， O 为坐标原点，若四边形有内切圆，则 C 的离心率为 三、解答

5、题（本大题共 11小题，共 123.0 分）19. 在 中，如果 sinA： sinB： 3： 4，那么 20. 已知数列满足： ， 设 ，证明：数列是等比数列；设数列 的前 n 项和为 ，求 20次数学周测成绩 满分 150 分 ，现有甲、乙两位同学21. 哈工大附中高三学年统计学生的最近 的 20 次成绩如茎叶图所示；根据茎叶图求甲、 乙两位同学成绩的中位数， 并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整； 根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度 不要求计算出具体值，给出 结论即可 ；现从甲、 乙两位同学的不低于 140分的成绩中任意选出 2个成绩， 记事件 A为“其中 2个成

6、 绩分别属于不同的同学”，求事件 A 发生的概率22. 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地 停在任一位置 若指针停在 A 区域返券 60 元；停在 B 区域返券 30元； 停在 C 区域不返券例如：消费 218 元，可转动转盘 2次，所获得的返券金额是两次 金额之和 若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；元 求随 若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 机变量 X 的分布列和数学期望23. 如图， 直四棱柱 的底面是菱形， ， ，E，M

7、，N 分别是 BC， 的中点 证明： 平面 ； 文科 求点 C 到平面的距离理科 求二面角的正弦值24.文科 已知椭圆 C：的左、右焦点为 ， ，点 P在椭圆 C 上，且面积的最大值为 ，周长为 6 求椭圆 C 的方程，并求椭圆 C 的离心率； 已知直线 l：与椭圆 C交于不同的两点 A，B，若在 x 轴上存在点，使得 M与 AB中点的连线与直线 l 垂直，求实数 m的取值范围25. 理科 已知椭圆 M ：的两个焦点为 ， ，椭圆上一动点 P到 ， 距离之和为 4，当P到 x轴上的射影恰为时， ，左、右顶点分别为 A，B，O为坐标原点，经过点的直线 l与椭圆 M交于 C，D两点 求椭圆 M 的

8、方程； 记 与 的面积分别为 ， ，求 的最大值26. 设函数 讨论 的单调性若 有最大值 ，求 的最小值27. 已知函数 讨论 的单调性； 若方程 存在两个不同的实数根 ， ，证明： 28. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，以坐标原点为极点， xOy 轴的正半轴为极轴建立极坐标系求曲线 C 的极坐标方程；设 A， B 为曲线 C 上不同两点 均不与 O 重合 ，且满足 ，求 的最大面 积29. 已知函数 求不等式的解集；若 ，且 ，证明： 答案与解析1. 答案： D解析： 解：2，3， 4， ，4， ，故选： D可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法、列

9、举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2. 答案： D解析： 【分析】 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题 先利用复数的运算法则求出 的值，再利用共轭复数的定义求出 ，从而确定 a，b 的值， 求出 解答】解：，故选： D3. 答案： D解析： 【分析】 本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量平行、垂直的判定方法 根据题意，由向量的坐标计算公式依次分析选项，验证选项中结论是否成立，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A、向量， ，有 ，则 不成立， A 错误；对于 B、向量， ， ，则 不成立， B错误；对于 C 、向量，有，

10、则不成立， C 错误；对于 D 、向量，则 成立， D 正确；故选： D4. 答案： B解析： 【分析】本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断， 着重考查函数奇偶性与单调性的定义， 考查“排除法” 在解题中的作用，属于基础题利用函数奇偶性的定义可排除 C， D，再由在区间内有增区间，有减区间，可排除 A，从而可得答案【解答】解：对于 A，令，则 ，为偶函数，而在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，故排除 A ；对于 B，令， 且 ，同理可证 为偶函数，当 时，为增函数，故 B 满足题意；对于 C，令 ， ，为奇函数，故可排除 C；而 D，为非奇非偶函数，可排除 D ；故选

11、B5. 答案： D解析： 解：若 ，则函数 ，函数图象不关于 y 轴对称，函数表示偶函数；若 是偶函数，则 恒成立，即 恒成立，则 对任意实数 x 恒成立 则“”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件故选： D由不能得到为偶函数， 反之，由 为偶函数不能得到可知“ ”是“ 为偶函数”的既不充分也不必要条件本题考查函数奇偶性的性质及其应用，考查充分必要条件的判定方法，是基础题6. 答案： A解析： 解：圆的半径为 2cm，面积为；正方形边长为 1cm，面积为在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是，故选： AP，则 可求计算圆的面积和正方形的面积，求出对应面积比得 本题考查了几何概型的概率计算

12、问题，是基础题7. 答案： D解析： 解： ， 函数 为奇函数，排除选项 A 和 B，而当 时， ，可得 ，故选： D先利用函数的奇偶性的定义得知 ，所以函数 为奇函数，可排除选项 A和 B，对 比选项 C和 D，发现当时， ，可得所求图象本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学 生的分析能力和运算能力，属于基础题8. 答案： A解析： 【分析】 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关 键根据 A 与 B 的坐标，利用任意角的三角函数定义求出， ， ， 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各

13、自的值代入计算即可求出值【解答】解： 点 A，B 的坐标为和 ， ， ， ，则故选 A9. 答案： D解析： 解：由图象可得 ， ，解得 ，代入点 可得，即图中点的坐标为 ，又 ，且 ，故选： D由图象可得 ，由周期公式可得 ，代入点 可得 值，进而可得 ， 再由题意可得 ，代入计算可得本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题10.答案： B解析： 解：作出截面图如图，则， 由截面圆的周长为 ，得 ，则 球的半径是 故选： B 由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径 本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题11.答案： B解析： 【分析】 本题

14、考查三角函数的最值，考查分离变量法的应用，突出考查正弦函数的单调性与配方法，属于中档题 ；当 时，利用正弦函数的单调性可求得 ，从而可得 a 的取值范围【解答】解： ，即 的取值范围为 故选 B12.答案： A解析： 解：作出对勾函数 的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为 ， 圆心坐标 ，半径 ， 则由图象知当 A，B，C 三点共线时，最小，此时最小值为，即 的最小值是 3， 故选： A作出对勾函数的图象， 利用圆的性质， 判断当 A，B，C 三点共线时， 最小，然后进行求解即可本题主要考查两点距离最值的计算， 结合对勾函数的图象， 结合圆的 性质是解决本题的关键难度中等13.答案： A解析

15、： 解：如图，由抛物线方程 ，可得抛物线的焦点 ， 又，与 F 重合Q 交抛物线于 P过圆 的圆心 M 作抛物线的准线的垂线 MH ，交圆于则 的最小值等于 故选： A由题意画出图形， 根据 N为抛物线的焦点， 可过圆 的圆心 M 作抛物线的准线 的垂线 MH ，交圆于 Q 交抛物线于 P，则的最小值等于 本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中 档题14.答案： C解析： 解：作出函数 与 的图象如图，由图可知，函数 与 仅有 2 个实数根；则 ， 与 ， 的图象有 2个不同交点，由 到直线 的距离为 1 ，得，解得 ，两点 ， 连线的斜率 ，即

16、 k 的取值范围为故选： C由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题15.答案： 7解析：解：由于某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，且 x 和 y 须满足约束条件画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令 则题意转化为，在可行域内任意去 x， y 且为整数使得目标函数代表的斜 率为定值 ，截距最大时的直线为过 时使得目标函数取得最大值为： 故答案为： 7又不等式组画出可行域， 又要求该校招聘的教师人数最多令 ，则题意求解在可行域内使得 z 取得最大此题考查了线性规划的应用，还考查了

17、学生的数形结合的求解问题的思想16.答案：解析： 解：过 B作 底面 O，交底面圆 O 于点 C，连结 OC， 圆柱 中，两半径 OA，等于 1，且，异面直线 AB 与 所成角的正切值为 ， ， ，是异面直线 AB 与 所成角，该圆柱 的体积：故答案为： 过 B作底面 O，交底面圆 O于点 C，连结 OC，则， ， ，由是异面直线 AB 与 所成角，得到，从而由此能求出该圆柱 的体积本题考查圆柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求 解能力，考查数形结合思想，是中档题17.答案：解析： 解：如图所示 ，且 的一个内 角为 ，则 为等边三角形， ，设圆与 x

18、轴交于 G，连接 PF， PG，则，由 ，可得 ，由 ，可得 ， ，则可得 ，又 P 为双曲线上一点， ，由 ， ，且 ，可得 ，解得 故答案为： 由双曲线的对称性及 的一个内角为 ，可得 为等边三角形，进而求点 P 的坐标， 再由 P 在双曲线上，代入双曲线方程，结合隐含条件即可求得答案本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题18.答案： 2解析： 【分析】 本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题 求出圆的圆心、 半径和直线 的方程， 根据切线的性质列方程求出 a，b，c 的关系， 得出离心率 【解答】解： ， ，可设 P 点坐标为，点

19、坐标为 ， 直线 的方程为 ，即 ，由 可知若四边形 有内切圆，则内切圆的圆心为，半径为 ，到直线 的距离 ，化简得： ，即 ， 又，或 舍去故答案为： 219.答案：解析： 解：在中， sinA：sinB：3：4，利用正弦定理化简得： a：b： 3：4，设，故答案为： 已知等式利用正弦定理化简得到三边之比，表示出三边长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入即可求出 cosC 的值此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键20. 答案： 解： 数列 满足： ， 由 ，那么 ，；即公比 ， ，数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列；由 可得 ，那么数列 的通项公式为：数列 的前

20、 n 项和为解析： 由 ，那么 ，利用定义证明即可； 根据 求解数列 的通项，即可求解 本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键21. 答案： 解： 甲的成绩的中位数是 ，乙的成绩的中位数是 乙同学的成绩的频率分布直方图如下图：从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高， 乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中甲同学的不低于 140分的成绩有 2个设为 a，b，乙同学的不低于 140 分的成绩有 3个，设为 c， d，e， 现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2个成绩有：共 10 种，其中 2 个成绩分属不同同学的情况有：共 6

21、种，因此事件 A 发生的概率 解析： 本题考查概率的求法，考查茎叶图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函 数与方程思想，是基础题甲的成绩的中位数是 119，乙的成绩的中位数是 128，根据茎叶图中数据计算频率即可补全频率 分布直方图从茎叶图可以看出， 乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高， 乙同学的成绩比甲同学的成绩更 稳定集中甲同学的不低于 140分的成绩有 2个设为 a，b，乙同学的不低于 140 分的成绩有 3个，设为 c， d，e，现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2个成绩，利用列举法能求出事件 A 发 生的概率22. 答案： 解：设指针落在 A，B，

22、C 区域分别记为事件 A，B，C 则 若返券金额不低于 30 元，则指针落在 A 或 B 区域即消费 128 元的顾客，返券金额不低于 30元的概率是 由题意得，该顾客可转动转盘 2 次随机变量 X 的可能值为 0，30，60，90，120；所以，随机变量 X 的分布列为：X0306090120P其数学期望 解析： 返券金额不低于 30元包括指针停在 A区域和停在 B 区域，而指针停在哪个区域的事件 是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果 若某位顾客恰好消费 280元，该顾客可转动转盘 2次随机变量 X 的可能值为 0，30，60，90， 做出各种情况的

23、概率，写出分布列，算出期望求离散型随机变量期望的步骤： 确定离散型随机变量的取值 写出分布列， 并检查分布列的正 确与否 求出期望23. 答案： 解： 证明：连结， ME，E分别是，BC 的中点，且 ，为 的中点， ，由题设知 ， ，四边形 MNDE 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 文科 解：过 C 作 的垂线，垂足为H，由已知可得 ， ，平面 ， 平面 ，的长为 C 到平面 的距离， 由已知得 ， ， ，点 C 到平面 的距离为 理科 解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DE 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系，0， ， ，0， ，0， ，设二面角 的法向量y， ，取 ，得

24、 1 ， ，设平面 的法向量b， ，则 ，取 ，得0 ， ，解析： 连结， ME，推导出四边形 MNDE 为平行四边形， ，由此能证明平面 文科 过 C 作 的垂线， 垂足为 H ，推导出 平面 ，从而 ， 平 面，CH 的长为 C 到平面 的距离，由此能求出点 C到平面的距离 理科 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DE 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的正弦值 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题24. 答案：解： 由面积的最大值为

25、，周长为 可得 ，解得： ，所以椭圆的方程为： ；离心率； 设，整理可得所以 AB 的中点坐标为：所以线段 AB 的中垂线的方程为： ，令 ，可得所以由题意可得因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以所以实数 m 的取值范围解析： 由 面积的最大值为 ，周长为 6及 a，b，c之间的关系求出 a，b的值，进而 求出椭圆的方程，及离心率的值； 设 AB 的坐标，将直线 l 的方程与椭圆联立求出两根之和，可得 AB 的中点坐标，进而求出线段AB的中垂线的方程，令 ，求出 x轴的点 M 的横坐标的表达式，由均值不等式可得m的取值范围本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于中档题

26、，菁优25.答案： 解： 由椭圆的定义可得： ，即 ， 由题意可得 ，所以 ，解得：或 3，由，可得 ，所以椭圆的 M 的方程为：；由题意可得 由 可得 ， ，左焦点 ， 由题意可得直线 CD 的斜率不为 0，设直线 CD 的方程为： 设，直线与椭圆联立，整理可得：，时，当 ，所以，当且仅当时取等号，即等号时， ，所以 ，即 ，再由 a，b，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的方程； 设过 的直线，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出面积之差的表达式， 式求出面积之差的最大值 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题由均值不等26. 答案： 解： 函数 的定义域为 ， ，时，时，解得， 在 上单调递增；，所以 的最大值为 解析： 由 P到 ， 距离之和为 4，可得 2a的值，再由 P到 x轴上的射影恰为，在 上单调递增，在 上单调递减上单调递增，在时，函数 在综上可知，当 时，函数 在 上单调递增； 上单调递减由 知，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，令 ， ，则 ，在 上单调递减，在 上单调递增， 的最小值为 解析