2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)

1、2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M =%G7V|-5 <%<4t N = -2,0, 2, 4, 6,则M nN=()2.A.02, 4B. -2,0, 2C. 2D. 0,2已知i为虚数单位，复数z =l+2i+ i的共瓢复数为（）A. l + iB. 1-iC. -1 + iD. -l-i3.如图是2017年1-11月汽油、柴油价格走势图（单位：元/吨），据此下列说法错误的是（）4.5.6.A.从1月到11月，三种油里而柴油的价格波动最大B.从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C.

2、 92#汽油与95#汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌若等差数列a九满足a+i =-an+n,则即=（）B.-c.-如图，在边长为的正方形内随机地撒一把豆子，落在正方形内的豆子粒数为机，落在阴影内的豆子粒数为，2,据此估计阴影的面积为（）C.ma2D.二 na-tan700 + tanSO0 一百 ta 九 70°1。九50° 的值为()A. V3B.C.D. -V37.设a = logo,6 0.5, b = log2Qog38）,则（）A. a < 1 < b B, a < b < 1 C. b < 1 &

3、lt; a D. 1 < b < a8 .已知双曲线C：管一卷=1（。>0,6>0）的渐近线与圆/ +/一4%+3 = 0有交点，则C的离 心率的取值范围是（）A. （1,沿B.（斓C.9+8）D.停,+8）9 .已知平而a、/?、y,则下列命题中正确的是（）A. a 1 /?> an/? = a, alb,则 b JL aB. al/?, B ty,则a/yC.an0 = a, B Cy = b, a 1 /?» 则a 1 bD. «/?. B 工 y，则a11.已知四棱锥P-/BCD的底而是正方形，P力，底而AC, Pn=2力。=2,则它外

4、接球表面积为（）A. y/6nB. 67rC.5打D. n2312 .函数/（乃=。/ +及+仇”在点（1/（1）处的切线方程为尸=4%-2,则b-a = （）A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13 .函数f(%) = R詈的零点是.14 .已知数列斯的前n项和为Sn = 3n- l(n G N*), Rla4 = .15 .抛物线产=8%的焦点为F,弦A8过£原点为。，抛物线准线与x轴交于点C,乙。尸力= 贝 lJtanCB =.三、多空题(本大题共1小题，共5.0分)16 .某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本

5、Q(单位：元/100kg)与上市时间3(单位：天)的数据如下表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本。与上市时间z的变化关系.Q=at + b, Q = at2 + bt + c9 Q = a , b, Q = a - logat.利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是(n)最低种植成本是_(2)_(元/io。).四、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17 .设函数f(x) = sinxcosx - cos2(x + g).(1)求函数f(x)在区间一,，3上的最值：(2)在力BC中，若f(勺=0,

6、 q = 1, b = c,求力8C的面积.18.某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指 数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主;饮食高于70的人，饮食以肉类为主.)甲(50岁以下)ZL C5O多以ID2O 1566732367912455X6175889(1)根据以上数据完成下列2 X 2列联表.主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关并写出简要分 析.(片 > fc0)0.0500.0100.001ko3.8416.63510.828附：K2 =

7、n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)/n = a + b + c + d.19 .如图，在四棱锥P一 力BCD中，Pn LABCD.AB = BC.AD = DC,E为棱尸C上不与点C重合的点.(1)求证：平面BED，平而PAC；(2)若 = AC = 29BD =,且二而角E - BD -。的平而角为45。, 3求三棱锥P -BED的体积.20 .已知定点Q(技0), P为圆M (4 +b)2+/ = 24上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP 于点M.(I )当2点在圆周上运动时，求点M (% y)的轨迹。的方程：(H)若直线/与曲线。交于A、B两点,且方万=0,求证

8、：直线/与某个定圆E相切，并求 出定圆E的方程.21 .已知函数f(x) = elnx ax(a G R).(1)讨论/(“)的单调性；(2)当a = e时，证明：%/(%) ex + 2ex < 0.22 .以原点。为极点，x釉正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(2/),曲线。的极坐标方 程为° = 2sin0» 0 E 0,2；!).(1)求曲线。的直角坐标方程：(2)过极点O和点M的直线与曲线。相交所得弦长为梅，求6的值及此时直线OM将曲线。分 成的两段弧长之比23 .已知函数f(x) = |幻+反+ 1|.(1)解关于工的不等式/(幻之2；(II)若。，

9、b, c W R+,函数f(%)的最小值为】，若a + b+c = m,求证:ab + bc + ac【答案与解析】L答案：D解析：本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.可以求出集合M,然后进行交集的运算即可.解：M = O,1. 2, 3, N = -2,0, 2, 4, 6,.M nN = 0,2.故选：D.2 .答案：A解析: 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轨复数的概念得答案.解：Zl+2t+ i = + i = l 2i+i = lI,(l+2t)(l-2t) z = 1

10、+ i，故选:A.3 .答案：D解析：本题考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题.由2017年1-11月汽油、柴油价格走势图，得4月份到5月份，92#汽油与95#汽油价格上涨，此时 柴油的价格下跌可得。错误，结合走势图可知A、B、C正确，故可得结果.解：由2017年111月汽油、柴油价格走势图，得：在A中，从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大，故A正确：在8中，从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快，故8正确：在C中，92#汽油与95#汽油价格成正相关，故C正确；在。中，4月份到5月份，92#汽油与95#汽油价格上涨，此时

11、柴油的价格下跌，故。错误.故选。.4答案,B解析：本题主要考查等差数列的应用，利用递推数列的关系进行推导是解决本题的关键.根据数列的递推关系，结合等差数列的性质，令n = 4可得& +。4 = 4,令n = 5可得%+。5 = 5, 两式相加再结合等差数列的性质即可求解.解：令n = 4,则%+%=4,令n = 5,则他+即=5,两式相加2as + Q4 + % = 9,又。九为等差数列，.,% + % = 2a5，9= 4-故选民5 .答案：A解析：本题主要考查几何概型的应用，根据几何概型的概率公式，进行估计是解决本题的关键，属于基础题.由已知求出正方形面积，根据几何概型的概率公式，

12、即可以进行估计，得到结论.解：正方形而积为设阴影部分面积为S,则3 =当，得5 =贮. m a-m故选A.6 .答案：。解析：本题考查了三角函数的化简与求值，考查了正切函数两角和公式，属于基础题.利用皿12。=言然缁变形即可得解.解:v tan 120° =tan 70e+tan 50s1-tan 7 0s tan 50s tan 700 + tan 50° 一 /3tan 70°tan 50° =一b-故选O.7 .答案：C解析：解：a = loga60.5 > loga60.6 = 1, b = log2(log38) < log2(lo

13、g39) = log22 = 1,a > 1 > b.故选：C.利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出.本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题.8 .答案：A解析：本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线和圆有交点的条件，考查化简运算能力，属于基础 题.求得双曲线的渐近线方程，由圆心(2,0)到渐近线的距离小于等于1,可得出，的关系，再由离心率 公式可得。的范围.解：双曲线C：2一l(a>0,b>0)的渐近线方程为 = ±京，由渐近线与圆(x 2)2+ y2 = i有交点，可得Va2 + b-化为 a2 2 3b2,又e>l，可得

14、iv e3故选:A.9 .答案：D解析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平而与平面之间的位置关系，熟练掌握空 间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，是解答的关键.属于基础题.根据空间线而平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论 的正误，可得答案.解：若a _L/?, a C B = a, alb,则与a的关系不确定，故A错误；若a_L0, /?ly,则a与y可能平行也可能相交(此时交线与6垂直)，故3错误：若an6 = a，B Cy = b, al/?.则"与可能平行，也可能相交，故C错误；若。6,根据两个平行平面与第三个

15、平面的夹角相等，结合可得a，y，故。正确.故选：D.10 .答案：D解析：本题考查函数图象的应用，属于基础题.因为函数f(x)为奇函数，所以排除A，又因为/1) = 6-1一80.即可得到答案.解：因为函数f(x)为奇函数，所以排除A,又因为f(l) = e-i e V0.故选。.11 .答案：B解析：解：把四棱锥P-/BCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P/BCD的外 接球的直径2R.(2R)2 = 22+ 12 + 12 = 6.二它外接球表面积S = 4nR2 = 67r.故选：B.把四棱锥P-/BCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P-/BCD的外接球的直

16、径 2R.利用勾股定理即可得出.本题考查了四棱锥的性质、长方体的外接球、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题.12 .答案：B解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题.求出函数的导数，求得切线的斜 率和切点，解方程可得a = b = l,进而得到结论.解：/(x) = 2ax + b + ：,在点(14(1)处的切线斜率为A = 2。+ b + 1, 由切线方程为y = 4x - 2,可得2a + b+l = 4,又f(l) = a + b = 2,解得a = b = 1,则 b a = 0,故选从13 .答案：1解析：本题考查函数零点问题，属于较易题.由题

17、意可得f(%) = 0,即"二*'进而可得“一1 = 0或/X = O.据此即可求出满足条件的 x 6X的值，进而确定函数的零点.解：由题意可得函数f(x)的定义域为(0,3) U(3,+8),令生)= 0,即1毕=。，所%;-1 = 0或仇x = 0,所以x = l,满足定义域，所以f(x)的零点是1.故答案为1.14 .答案：54解析：解：由&=3" 1(九义*),得。4 = 54 - S3 = 34 - 1 - (33 - 1) = 34 - 33 = 54.故答窠为:54.直接由= $4 - S3结合已知求得答案.本题考查数列递推式，训练了由数列的前

18、项和求通项的方法，是基础题.15 .答案:473解析：解：如图:,抛物线方程为y2 = 2px = 8x,.p = 4，尸点坐标为(2,0),准线/方程 = -2, C点坐标为(-2,0) ,乙。尸力=葺，.直线AB的斜率为：V3. 苴线AB经过点尸(2,0) 直线AB方程为y = V3(x - 2)又。点A与点8在抛物线上， 两方程联立卜2=呼 2)，得到3” 一 20% + 12 = 0, (y2 = 8x解得力(6,4避)，8。,一殍) ' CB = (j, )» CA = (8,4v3)CACBTlb1 COSZ.ACB = r _=1cMic81 J(*(鸣 7由

19、7V48sinZ.ACB =tanZ-ACB = 4时.故答案为4遍.先求出抛物线焦点/坐标(2,0),准线为l：x = -2,从而得到C点坐标.由题意可知直线AB的方程， 由AB方程与抛物线方程消去y得关于X的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A与点B的坐 标，然后利用向量来求解.本题考查了抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查了求根公式，最后利用向量的数量积来求角的三角函数值是关键.16.答案：12080解析：解：由提供的数据知，描述西红柿种植成本。与上市时间，的变化关系函数不可能是常数函 数，也不是单调函数，而函数Q = at+b, Q=a b0 Q=alog3在a W 0时，均为单调

20、函数，这与表格提供的数据不 吻合，故选取二次函数Q = at2 + bt + c进行描述，将表格所提供的三组数据(60,116), (100,84), (180,116)分别代入。可得，(3600。+ 60b+c = 1161210000a+100b+ c = 84,解得a =而，b =一言，c = 224, 1802a + 180b + c = 116 Q = -t2 - -1 + 224,x 1005(/)Q =去/ 一生+ 224的对称轴为t = 120,开口向上，在对称轴处即t = 120天时函数取最小值； AU U3(11)当=120时，Q = X 1202- X 120 + 224

21、 = 80； 1005故答案为：120, 80.由提供的数据知，描述西红柿种植成本。与上市时间，的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q = a产+从+。进行描述，将表格所提供的三组数据代入0,即得函数解析式：(1)根据。的函数关系，由二次函数的性质即可求得答案；(II)由(/)中的结论，即可得到答案.本题主要考查函数模型的选择与应用.解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2) 引进数学符号，建立数学模型：(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答， 其中关键是建立数学模型.属于中档题.17.答案：由题意知f=华 一 1+等">=

22、 等 _茨=sin2x -令t=2x,贝肚-，扪，g(t) = sint -所以g(t)的最大值为：，最小值为-三士所以f(x)的最大值为也最小值为-"三；(2)由f (勺=sinA 一 ： = 0,得sim4 = ' A G (0,tt)，,力=?或力=三,"i 力=g时，a2 = b2 + c2 - 2bccosA. b = c 得 be = 2 + 百，S = - be sin A = 624当A =1时，a2 = b2 + c2 - 2bccosA9 b = c得be = 2 M，S = -besinA = tM 624解析：（1）化简，换元法，求最值即可：

23、（2）求出A,分两种情况讨论，求出而积.嘿奔A。本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力主食蔬菜主食肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计20103018.答案：解：（1）根据题意填写2X2列联表如下:（2）根据表中数据,计算P =n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题.（1）根据题意填写列联表即可：（2）根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论.19.答案：证明:（1） AB = BC9 AD = DC.: AC 1

24、BD9 , PA JL平面 ABCD, PA t BD,v PACAC = A, BD，平而 PAC, BD u平面BE。，.平而BED JL平面PAC.解：（2）设AC与5。交于点凡 连结EF,由（1）知EFJ.BD, FC 工 BD, 乙EFC = 45。，由(1)知尸为AC中点,:.PA = AC = 2.v PA 1 AC,乙PCF = 45。，A EF = t PE = t 且EFJLPC, 又PC 1 BD,PC L平面BED, 三棱锥P 8ED的体积:13V2 _ V32 - 3P-BDE = £ X SbDE X PE1 1 cn LL CL 1 4、m V2= -X

25、-XBDXEFXPE = -X X X 3 2632解析：(1)推导出4C，BD，P>1JLBD,从而8DL平面尸AC,由此能证明平面BED L平面PAC.(2)设AC与8。交于点£连结EE三棱锥P 8ED的体积%_8de = :XSabdeXPE,由此能求出 结果.本题考查面而垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、而而间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.答案：解：(I)依题意可得：圆N的圆心坐标为N(-祗0),半径为2遍，|MP| = |MQ|, 则|MN| + MQ = |MN| + MP = NP = 2通 > |NQ|根

26、据椭圆的定义，点M的轨迹是以N、。为焦点，长轴长为26的椭圆，即2a = 2而，2c = 2技b = 4a2-c2 = x/3.所以点时的轨迹C的方程为：三+亡=1. 63(口)当直线的斜率存在时，设直线/为y = + m,4(右)1), B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程, 得:潦；I,消去y并整理得(1 + 2炉)/ + 4kmx + 2m2-6 = 0.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以 = 16k2m2 4(1 + 2fc2)(2m2 6) > 0,化简得：m2 < 6k2 + 3由韦达定理得：%i + %2 = 7/ %! - %2 = r- 1 乙 1+2H

27、9;1 巳 1+2H % % = (-1 + m)(Z%2 + m) = 7二。 : 0力 08 = 0，。1%2+y，2 = °，即X I乙Km2-6k2l+2k2=0t整理得/ = 2/+ 2满足式,若=夜，即原点到直线/为的距离是在， 直线/与圆/+y2 = 2相切.当直线的斜率不存在时，直线为X=m，与椭圆。交点为力(m,J亨)，8(叫_月$。4 。8 = 0， m2 3+3=0 = m = +V2.此时直线为x = ±夜，显然也与圆/ + y2 = 2相切.综上，直线/与定圆&/ + y2=2相切.解析：(I )求出圆N的圆心坐标为N(VX0)，半径为2而

28、，|MP| = |MQ|,得到|MN|+ MQ = |MN| + |MP| = |NP| = 2遍> |NQ|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程.(口)当直线的斜率存在时，设直线/为y = kx + m,月(右,月)，B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程, 得卜2 + 2)： = 6消去通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过福=0,求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为x = m，验证求解即可.本题考查圆锥曲线的综合应用，轨迹方程的求法，直线与椭圆以及直线与圆的位置关系的应用，考 查转化思想以及计算能力.21 .答案：解：(1)/(幻=? -a(x>0

29、),若a 4 0,则尸(%) >0, f(为在(0,+8)上为增函数:若a>0,则当xv 2时，r(x) > 0；当时，r(x)<0.故在(0,“上，f(x)为增函数；在(，+8)上，f(x)为减函数.(2)因为x>0,所以只需证f(x) K三2e,由(1)知，当a = e时，f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+8)上为减函数， 所以fOOmoA： = 7(1) = 一e.记g(x)=三一2ea>。)，则娟(乃=号二所以，当OVxVl时，g<x)V0, g(x)为减函数：当4>1时，媪(x) > 0, g(x)为增函数， 所以 g(x

30、)min =9(1) = -e.所以当x>0时，f(x) K g(x),即f(x) K 三2e, KPx/(x) ex + lex < 0.解法二：(1)同解法一.(2)由题意知，即证exZnx ex2 e* + 2ex < 0,从而等价于2nx x+2 Kt. ex设函数g(x) = lnx -x+2,则g'(x) =- 1.所以当“6(0,1)时，娟(乃>0：当“(l,+8)时，g，(x)VO,故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.从而g(x)在(0,+8)上的最大值为g(l) = 1.设函数人(乃=9,则"(幻=嚏2.所以当

31、x 6(0,1)时，hx) < 0：当“ (1,+8)时，h!(x) > 0.故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.从而力(外在(。,+8)上的最小值为h(l) = 1.综上，当4>0时，g(x < h(x)» KPx/(x) -+ 2ex < 0.解析：(1)求出函数的导数，通过，的范围，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可.(2)因为x>0,只需证f(x)<?-2e,中)2 = "1) = 2.记9(幻=三一26(“>0)，利用函数的 导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可证明结果：解法二：(1)同解法一.(2)由题意知，即证exlnx ex2 - ex + 2ex < 0,等价于bix - x + 2 < 三.设函数g(x) = Inx -x + 2, 利用函数的导数求解g(“)在(0,+8)上的最大值为g(l) = 1.设函