【0410数学课】34基本不等式

1、如图，这是如图，这是20022002年在北京年在北京召开的第召开的第2424届国际数学家届国际数学家大会会标颜色的明暗使大会会标颜色的明暗使它看上去象一个风车，代它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。表中国人民热情好客。古代数学家古代数学家 赵爽赵爽勾股弦图勾股弦图 你能用四个全等的直角三角形拼成一幅勾股弦图吗？ab22ba 22ba ab21、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S = =、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？S_S探究：图型中的面积关系ab（当时取等号）0,0, ,ababa b如果我们用分别代换可得到什么结

2、论？22,2a bRabab若则ab（当且仅当时取等号）重要不等式重要不等式：2abab 0,0,ab若基本不等式基本不等式：(0,0)2a bab ab重要不等式：重要不等式：222(,)abab aR bR如何证明基本不等式证明基本不等式呢？呢？ 基本不等式基本不等式：(0,0)2abab ab 我们把我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述：文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数的几何平均数.做差综合书本 证明：(0,0)2abab ab作差法作差法2ab

3、ab,.2ababab所以当且仅当时等号成立22abab 2()02ab做差综合书本若aR,bR2abab 则222abab则2()4abab则0,0ab数与形的完美结合数与形的完美结合做差综合书本12002 100 xyxyxy2 取等219282xyxyxyyxyx 取等利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值积为定，和最小积为定，和最小和为定，积最大和为定，积最大各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 注意以下三点注意以下三点一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”整体消元整体消元利用基本不等式求

4、最值利用基本不等式求最值变式变式：用基本不等式求最值，判断一下正误：用基本不等式求最值，判断一下正误min4(3)0sin=4sinxxx若若si n，si n， 可 可得得1(1)2xxmin1(2)1,=21xxx 若若0 x 11,112131xxx ：若若改改 正 正 40sin5sinxxx若若s s正正i i改改， ：n n错误；变量未取正。错误；变量未取正。加上条件：加上条件：错误；未满足错误；未满足“定值定值”错误；取不到错误；取不到“=”结合对勾函数结合对勾函数1例例证法：证法：cabcabcbaRba 222，求证：，求证：，已知已知)()(222cabcabcba )22

5、2222(21222cabcabcba )()()(21222accbba Rba ，又又0)(0)(0)(222 accbba，0)()()(21222 accbba.222cabcabcba cabcabcba 222（比较法）（比较法）：证法证法2cabcabcbaRba 222，求证：，求证：，已知已知1例例Rba ，abba222 bccb222 caac222 相加相加cabcabcba222222222 得得.222cabcabcba 即即（综合法）（综合法）整体构造消元整体构造消元消元消元解：.111200的最小值求，且，已知yxyxyx，且，1200yxyxyyxxyxyx2

6、211221yxxyyxxy23yxxy223223yxxy2当且仅当12 yx时，且22112yx.223)11(minyx小结例30, 0yx解：xyyx1211812212xyxyyx由已知得：2482)11( ,81minyxxy时当.111200的最小值求，且，已知yxyxyx小结例3两次使用，取等条件要相同两次使用，取等条件要相同取等条件一致取等条件一致消元思想和意识消元思想和意识消元思想和意识消元思想和意识消元思想和意识消元思想和意识1. 重要不等式重要不等式和和基本不等式基本不等式的的代数代数、几何背景几何背景及及证明证明2. 强化强化“数形结合数形结合”的数学思想。的数学思想。3. 函数与方程思想，函数与方程思想，代入消元