2022年人教版《利用仰俯角解直角三角形》公开课教案

1、28.2.2应用举例应用举例第第 2 课时课时利用仰俯角解直角三角形利用仰俯角解直角三角形1使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题【类型一】 利用仰角求高度星期天，身高均为 1.6 米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔

2、的高度如图，小红站在 A 处测得她看塔顶 C 的仰角为 45，小涛站在 B 处测得塔顶 C 的仰角为 30，他们又测出 A、Bm，假设他们的眼睛离头顶都是 10cm，求塔高(结果保存根号)解析：设塔高为 xm，利用锐角三角函数关系得出 PM 的长，再利用CPPNtan30，求出x 的值即可解： 设塔底面中心为 O， 塔高 xm， MNAB 与塔中轴线相交于点 P， 得到CPM、 CPN是直角三角形，那么x1.60.1PMtan45，tan451，PMCPxRtCPN 中，CPPNtan30，即xx1.541.533，解得 x83 3894.答：塔高为83 3894m.方法总结：解决此类问题要了

3、解角与角之间的关系，找到与和未知相关联的直角三角形当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形变式训练：见 本课时练习“课堂达标训练 第 7 题【类型二】 利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆 EG，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶部 E 点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角为 60，又从 A 点测得 D 点的俯角为 30.假设旗杆底部 G 点为 BC 的中点，求矮建筑物的高 CD.解析：根据点 G 是 BC 的中点，可判断 EG 是ABC 的中位线，求出 AB.在 RtABC 和RtAFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出 BC、DF，继而可求出 CD 的长度解：过

4、点 D 作 DFAF 于点 F，点 G 是 BC 的中点，EGAB，EG 是ABC 的中位线，AB2EG30m.在 RtABC 中，CAB30，BCABtanBAC303310 3m.在 RtAFD 中，AFBC10 3m，FDAFtan10 33310m，CDABFD301020m.答：矮建筑物的高为 20m.方法总结：此题考查了利用俯角求高度，解答此题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度变式训练：见 本课时练习“课堂达标训练第 6 题【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度 AB，测量人员在高 21m 的建筑物 CD 的顶端 D 处测得河

5、岸 B 处的俯角为 45，测得河对岸 A 处的俯角为 30(A、B、C 在同一条直线上)，那么河的宽度 AB 约是多少 m(精确到 0.1m，参考数据： 21.41， 3)?解析：在 RtACD 中，根据条件求出 AC 的值，再在 RtBCD 中，根据EDB45，求出 BCCD21m，最后根据 ABACBC，代值计算即可解：在 RtACD 中，CD21m，DAC30，ACCDtan30213321 3m.在RtBCD 中， EDB45， DBC45， BCCD21m， ABACBC21 32115.3(m)那么河的宽度 ABm.方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与和未知相关联的直角

6、三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决变式训练：见 本课时练习“课后稳固提升 第 3 题【类型四】 仰角和俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物 AB 的高，他们来到与建筑物 AB 在同一平地且相距 12m 的建筑物 CD 上的 C 处观察，测得此建筑物顶部 A的仰角为 30、底部 B 的俯角为 45.求建筑物 AB 的高(精确到 1m，可供选用的数据： 21.4， 3)解析：过点 C 作 AB 的垂线 CE，垂足为 E，根据题意可得出四边形 CDBE 是正方形，再由 BD12m 可知 BECE12m，由 AECEtan30得出 AE 的长，进而可得

7、出结论解：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 E，CDBD，ABBD，ECB45，四边形CDBE 是正方形BD12m，BECE12m，AECEtan3012334 3(m)，AB4 31219(m)答：建筑物 AB 的高为 19m.方法总结： 此题考查的是解直角三角形的应用中仰角、 俯角问题， 根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键变式训练：见 本课时练习“课后稳固提升第 7 题三、板书设计1仰角和俯角的概念；2利用仰角和俯角求高度；3利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；4仰角和俯角的综合备课时尽可能站在学生的角度上思考问题， 设计好教学过程中的每一个细节 上课前多揣摩，让学

8、生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反响工作，不断总结得失，不断进步只有这样，才能真正提高课堂教学效率.第 2 课时百分率和配套问题教学目标教学目标1学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题；2进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程。教学重难点教学重难点【教学重点】根据题中的各个量的关系，准确列出方程组。【教学难点】借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系。课前准备课前准备课件、教具等。教学过程教学过程一、情境导入(1)某工厂去年的

9、总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了 20%，那么今年的总产值是_万元；(2)假设该厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了 10%，那么今年的总支出是_万元；(3)假设该厂今年的利润为 780 万元，那么由(1)，(2)可得方程_二、合作探究探究点一：列方程组解决百分率问题【类型一】列方程组解决增长率问题例 1为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费据统计，去年秋季有 5000 名民工子女进入主城区中小学学习， 预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加， 其中小学增加20%，中学增加 30%，这样今年秋季将

10、新增 1160 名民工子女在主城区中小学学习(1)如果按小学每年收“借读费500 元、中学每年收“借读费1000 元计算，求今年秋季新增的 1160 名中小学生共免收多少“借读费；(2)如果小学每 40 名学生配备 2 名教师，中学每 40 名学生配备 3 名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？解析： 解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中， 小学生和初中生各有民工子女多少人欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y

11、人那么xy5000，20%x30%y1160.解得x3400，y1600.20%x680，30%y480，5006801000480820000(元)82(万元)答：今年秋季新增的 1160 名中小学生共免收 82 万元“借读费；(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有 3400(120%)4080(人)，在中学就读的民工子女有 1600(130%)2080(人)，需要配备的中小学教师(408040)2(208040)3360(名)答：一共需配备 360 名中小学教师方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率(增长后的量原量)原量【类型二】列方程组解

12、决利润问题例 2某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价 50%、乙商品加价 40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购置甲、乙商品各 1 件，共付款 538 元，商场共盈利 88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元解析：此题中所含的等量关系有：甲商品的售价乙商品的售价538 元；甲商品的利润乙商品的利润88 元解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意，得xy88538，x150%80%y140%85%538.化简，得xy450，xy538.解得x250，y200.答：甲商品的进价为 250 元，乙商品的进价为 200 元方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润售价进价，售价标价折扣，售价进价利润等探究点二：列方程组解决配套问题例 3现用 190 张铁皮做盒子，每张铁皮可以做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？解析：此题有两个未知量制盒身、盒底的铁皮张数问题中有两个等量关系：(1)制盒身铁皮张数制盒底铁皮张数190；(2)制成盒身的个数的 2 倍制成盒底的个数解：设制盒身的铁皮数为x张，制盒底的铁皮数为y张，根据题意，得xy190，28x22y.解得x11