第2课时指数函数及其性质的应用

1、第第2 2课时课时 指数函数及其性质的应用指数函数及其性质的应用 一般地，函数一般地，函数y= =ax（a0 0，且，且a）叫做指数）叫做指数函数函数. .1.1.指数函数的定义指数函数的定义底数底数图象图象定义域定义域R R值域值域性质性质（1 1）过定点（）过定点（0 0，1 1），即），即x=0 x=0时，时，y=1y=1（2 2）在）在R R上是减函数上是减函数 （2 2）在）在R R上是增函数上是增函数01a1a(0,)2.2.指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质探究点探究点1 1 指数函数在实际问题中的应用指数函数在实际问题中的应用例例1.1.截止到截止到19991999年底，

2、我国人口约年底，我国人口约1313亿。如果今后能将亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在人口年平均增长率控制在1%1%，那么经过，那么经过2020年后，我国人年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？口数最多为多少（精确到亿）？分析：分析：可以从经过可以从经过1 1年后、年后、2 2年后、年后、3 3年后等具体的人口数年后等具体的人口数入手，归纳经过入手，归纳经过x x年后的人口数的函数关系式，再把经过年后的人口数的函数关系式，再把经过2020年后的人口数表示出来，进行具体计算年后的人口数表示出来，进行具体计算. .解：解：设今后人口年平均增长率为设今后人口年平均增长率为1%1%，经过，经过x

3、x年后，我国人年后，我国人口数为口数为y y亿亿.1999.1999年底，我国人口约为年底，我国人口约为1313亿亿. .经过经过1 1年（即年（即20002000年），人口数为年），人口数为13 13 1%13 (1 1%)经过经过2 2年（即年（即20012001年），人口数为年），人口数为213 (1 1%) 13 (1 1%) 1%13 (1 1%)（亿）；（亿）；（亿）（亿）. .经过经过3 3年（即年（即20022002年），人口数为年），人口数为22313 (1 1%)13 (1 1%)1%13 (1 1%)所以，经过所以，经过x x年，人口数为年，人口数为13 (1 1%)13

4、 1.01xxy当当x=20 x=20时，时， （亿）。（亿）。2013 1.0116y所以，经过所以，经过2020年后，我国人口数最多为年后，我国人口数最多为1616亿。亿。（亿）；（亿）；（亿）（亿） 在实际问题中，经常会遇到类似本例的指数增长在实际问题中，经常会遇到类似本例的指数增长模型：设原有量为模型：设原有量为N N，每次的增长率为，每次的增长率为p p，经过，经过x x次增次增长，该量增长到长，该量增长到y y，则，则 形如形如 的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。(1)().xyNpxN(,0,0,1)xykakkaaR

5、 且且探究点探究点2 2 人口增长率问题的进一步探究人口增长率问题的进一步探究（1 1）如果人口年平均增长率保持在）如果人口年平均增长率保持在2%2%，利用计算器分别，利用计算器分别计算计算20202020到到21002100年，每隔年，每隔5 5年相应的人口数。年相应的人口数。以例题中计算的以例题中计算的20202020年我国的人口数年我国的人口数1616亿为基准。亿为基准。这时函数模型是这时函数模型是16 1.02 .xy20252025年的人口数是年的人口数是516 1.0218(;y亿）20302030年的人口数是年的人口数是1016 1.0220(;y亿）20352035年的人口数是

6、年的人口数是1516 1.0222();y亿20402040年的人口数是年的人口数是2016 1.0224(;y亿）20452045年的人口数是年的人口数是2516 1.0226(y亿);20502050年的人口数是年的人口数是3016 1.0229(y亿);20552055年的人口数是年的人口数是3516 1.0232();y亿20602060年的人口数是年的人口数是4016 1.0235();y亿20652065年的人口数是年的人口数是4516 1.0239();y亿20702070年的人口数是年的人口数是5016 1.0243();y亿20752075年的人口数是年的人口数是5516 1

7、.0248();y亿20802080年的人口数是年的人口数是6016 1.0252();y亿20852085年的人口数是年的人口数是6516 1.0258();y亿20902090年的人口数是年的人口数是7016 1.0264y（亿);20952095年的人口数是年的人口数是7516 1.0271();y亿21002100年的人口数是年的人口数是8016 1.0278;y（亿）（2 2）你看到人口的增长成什么趋势？）你看到人口的增长成什么趋势？我们使用软件画出函数我们使用软件画出函数 的图象的图象( )16 1.02xf x从这个图象上可以看出从这个图象上可以看出随着随着x x的增大，函数值的

8、的增大，函数值的增长非常迅速，呈现一增长非常迅速，呈现一种种“爆炸式爆炸式”的增长趋的增长趋势。势。（3 3）你是如何看待我国的计划生育政策的？）你是如何看待我国的计划生育政策的？计划生育是我国的基本国策，是千年大计！计划生育是我国的基本国策，是千年大计！探究点探究点3 3 指数函数在解题中的应用指数函数在解题中的应用例例2.2.将下列各数值按从小到大的顺序排列将下列各数值按从小到大的顺序排列1130324235( ) ,() ,( ) ,( ) .3346分析：分析：根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，注意采用中间值注意采用中间值0 0和和1

9、1进行比较。进行比较。解：解：32()0;31230( )1;405( )1;6134( )1.3所以，所以，1130322354()( )( )( ) .3463比较下列各数的大小：比较下列各数的大小：02.50.21.61 0.422.5 .，答案：答案：0.201.62.5212.50.4.注意与注意与1 1的的比较！比较！例例3.3.解下列不等式：解下列不等式：xx 1(1) 243x 12x 4(2) aa(a0,a1)且分析：分析：根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数不等式不等式. .解解：（1 1）由由 ，得，得124xx2222,

10、xx根据指数函数的单调性得根据指数函数的单调性得22.xx解这个不等式得解这个不等式得2. x（2 2）当）当0a10a1a1时，根据指数函数的单调性得不等式时，根据指数函数的单调性得不等式3x-12x-43x-12x-4解这个不等式得解这个不等式得x-3.x-3.所以，当所以，当0a10a1a1时，不等式的解是时，不等式的解是x-3.x-3. 本题的不等式通常称为指数不等式，解这类不等式本题的不等式通常称为指数不等式，解这类不等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代数不等式，的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代数不等式，在底数不确定时要注意分类讨论在底数不确定时要注意分类讨论. .转

11、 化 的 思转 化 的 思想方法想方法！CD3.3.（20122012湘潭高一检测）解方程湘潭高一检测）解方程2142.xx解：解：解方程得解方程得x=1x=1221242221xxxxx4.4.某工厂现在的年利润是某工厂现在的年利润是1 0001 000万元，该工厂年利润的增万元，该工厂年利润的增长率是长率是20%20%，则，则1010年后该工厂的年利润是多少万元？（精年后该工厂的年利润是多少万元？（精确到万元）确到万元）答案：答案：101 000 1.26192().万元1.1.指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模型，当指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模型，当指数函数的底数大于指数函数的底数大于1 1时，随着自变量的增加，函数值呈时，随着自变量的增加，函数值呈现现“爆炸式爆炸式”增长增长. .2.2.根据指数函数性质进行数值的大小比较时，要注意采根据指数函数性质进行数值的大小比较时，要注意采用中间值用中间值0 0、1 1进行