几类特殊类型函数的积分教学PPT学习教案

1、会计学1几类特殊类型函数的积分教学几类特殊类型函数的积分教学例如： dxxdxxxdxxdxex411, sin, ln1, 2积不出来！于是，人们就想：是否有某些类型的函数按照特定的方法就一定能积出来？答案是肯定的！下面就来给大家介绍几类这样的函数。第1页/共37页一. 有理函数的积分dxxQxP )()(有理函数：两个多项式的商)()(xQxP mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxa 11101110.0, 0),.,2 , 1 , 0( ,),.,2 , 1 , 0( ,00 bamjbniaji且且为常数，为常数，其中其中为真分式为真分式时，称有理函数时，称有理函数 )()( x

2、QxPmn 为假分式为假分式时，称有理函数时，称有理函数 )()( xQxPmn 第2页/共37页假分式多项式除法多项式+真分式例1123 xxx112 xx计算步骤：1. 将)()(xQxP化为真分式2. 用待定系数法将真分式)()(xQxP分解为部分分式之和第3页/共37页(1)将)(xQ分解为质因式之积，即：因式分解(2)(xQ含有因式kax)( 时，的分解式中就对应着k个部分分式：kkaxAaxAaxA)(.)(221 )()(xQxP)(xQ含有因式)04( ,)(22 qpqpxxk时，的分解式中就对应着k个部分分式：kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxB)(.)(222

3、22211 )()(xQxP第4页/共37页（3）确定系数),.,2 , 1( ,kiCBAiii 3. 求积分dxax 1dxaxk )(1dxqpxxCBx 2dxqpxxCBxk )(2)04(2 qp)04(2 qp第5页/共37页dxax 1)(1axdax dxaxk )(1)()(1axdaxk 第6页/共37页dxqpxxCBx 2dxqpxx 2 )2(px 2B )2(BpC )( 1 2 22qpxxdqpxxB dxpqpxBpC )4()2(1)2(22)( 1 2 22qpxxdqpxxB )2()4()2(1)2(22pxdpqpxBpC 0第7页/共37页dxq

4、pxxCBxk )(2dxqpxxk )( 2 )2(px 2B )2(BpC )( )( 1 2 22qpxxdqpxxBk dxpqpxBpCk )4()2(1)2(22)( 1 2 22qpxxdqpxxBk ）（)2()4()2(1)2(22pxdpqpxBpCk 0 用递推公式第8页/共37页例1 求dxxxx 23132解23132 xxx是真分式232 xx )2)(1( xx设23132 xxx 1 xA 2 xB即 13x)1()2( xBxA 13xBAxBA 2)(比较系数，得 3 BA12 BA解得 4 A7 B 23132xxx2714 xx（*）第9页/共37页 d

5、xxxx23132 dxxx)2714( dxxdxx 217114 )1(114 xdx )2(217 xdx |1|ln4 x |2|ln7 xC 另解：在（*）式中，得得取取, 2 xB 7得得取取, 1 xA 44 A 4 A7 B第10页/共37页例2 )2()1(2xxdx解设 )2()1(12xx2)1(1 xBxA 2 xC即2)1()2()2)(1(1 xCxBxxA取1 x代入得B 11 B取2 x代入得C 1比较2x的系数，得CA 0CA 1 1 A1 B1 C第11页/共37页 )2()1(12xx2)1(111 xx 21 x dxxx)2()1(12 dxxdxxd

6、xx21)1(1112)2(21)1()1(1)1(112 xdxxdxxdxCxxx |2|ln)11(|1|lnCxxx |2|ln11|1|ln第12页/共37页例3 dxxxx3243解3243 xxx是真分式 323xx323 xxxx)1(3)1(2 xxx)3)(1(2 xxx设3243 xxx 1 xA 32 xxCBx第13页/共37页取1 x得A55 1 A比较2x的系数，得BA 0AB 1 比较常数项，得CA 3443 AC1 1 A1 B1 C3243 xxx 11 x 312 xxx 4x)1)()3(2 xCBxxxA第14页/共37页 dxxxx3243 dxx1

7、1 dxxxx312 )1(11xdx dxxx3 2)12( x21 21 |1|ln x 3)3(2122xxxxd )21(411)21(1212 xdx第15页/共37页 |1|ln x |3|ln212 xx 21)21(112arctan112 xC |1|ln x |3|ln212 xx 1112arctan111 xC 第16页/共37页例4 dxxxxx223222解xxxx 223222是假分式xxxx 223222 xxxx 2221真分式 xx22)21(2 xx设 xxx222xA 21 xB第17页/共37页BxxAx2)21(22 取21 x得B 25取0 x得A

8、 22 A xxx222x2 2125 x第18页/共37页 dxxxxx223222 dxxxxx)221(2 dxxxx)212521( )21(2125|ln222xdxxxx Cxxxx |21|ln25|ln222第19页/共37页例5 dxxxxx2223)1(1解2223)1(1 xxxx是真分式设2223)1(1 xxxx 12 xBAx 22)1( xDCx 123xxx)1)(2 xBAx DCx )()(23DBxCABxAx 第20页/共37页比较系数，得 A 1B 1CA 1DB 1AC 10 BD 12 1 A1 B0 C2 D)()(12323DBxCABxAxx

9、xx 第21页/共37页 dxxxxx2223)1(1 dxxx112 dxx22)1(2 dxx1 2x2211 dxx22)1(12 )1(1 1 2122xdx dxx1 1 2 dxx22)1(12 112xx dxx)1(222 第22页/共37页 xxarctan|1|ln212 2 )arctan1(212xxx C |1|ln212 x 12 xxC 注：本题用到递推公式。第23页/共37页dxxx 103)1(dxxxx 234811怎么积？如按上面讲的步骤去积，将非常繁。1 xt令令dttt 103)1( dttttt)33(10987 dxxxxx 234838 23)(

10、)( 42424xxx)(4xd414xu 令令duuuu 2341 22 第24页/共37页注:在求有理函数的积分时,虽然按上面介绍的步骤一定可以积出来,但是,这种方法不一定是最佳的方法,有时,甚至很繁.所以,我们在求有理函数的积分时,如有更简单的方法,就不必用上面介绍的方法.简言之,要灵活!哪个方法简便,就用哪个.第25页/共37页二. 三角函数有理式的积分dxxxR )cos,(sin定义将xx cos,sin及常数进行有限次四则运算所得的函数称为三角函数的有理式,记为)cos,(sinxxR积分方法:令2tanxt 则txarctan2 dx，dtt212 ，212sinttx 221

11、1costtx dxxxR )cos,(sin ) , (R212tt 2211tt dtt212 有理函数 万能代换第26页/共37页例6dxx sin211解用万能代换.令2tanxt dx，dtt212 212sinttx dxx sin211 21 1 212tt dtt212 4t 122dtt第27页/共37页 3 )2(122dtt 2Ctt |3232|ln321 Ctt |3232|ln31 Cxx |322tan322tan|ln31 )2(3 )2(122tdt第28页/共37页怎样求下列积分? xdx3sin xdx2cos xdx4tan xdxxsinsin2 )(

12、cos)cos1(2xdx dxx22cos1 dxx)2cos2121( xdxx22tantan dxxx)1(sectan22 dxxxdxx222tansectan )(tantan2xxd dxx)1(sec2 第29页/共37页 )cos1(sinsin1dxxxx dxxx2sin1cos令2tanxt )(sinsin112xdx 注意灵活!第30页/共37页规律：求积分 dxxxR)cos,(sin（1）若)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 用第一换元法，选xucos （2）若)cos,(sin)cos,(sinxxRxxR 用第一换元法，选xusin （3）若

13、)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 用第一换元法，选xutan 练习：求下列积分dxxx 43cossin . 1dxxx 43sincos . 2dxxx 62cossin . 3第31页/共37页三. 简单无理函数的积分1. dxfdxbaxxRn),(困难:含有根号积分方法:作换元,令nfdxbaxt 例7 dxxx31解令31xt 31tx dttdx23 dxxx31 dtttt )3(123 dttt )(34 Ctt )52(352 Ctt 532352 Cxx 3532)1(53)1(23第32页/共37页例8 dxxx)1(13解令6xt 6tx dttdx56 dxxx)1(1 3 1 )1(2t 3tdtt56 dttt 221 6 dttt 221 1- 1 6 dtt)1 1 1(62 Ctt )arctan(6 Cxx )arctan(666第33页/共37页2. dxcbxaxxR),(2困难:含有根号积分方法:先配方,再换元例9 dxxxx74342解先配方,742 xx3)2(2 x dxxxx74342 dxxx3)2(342 2 xt dttt33)2(42 dttt3542 dtt 3 2t 2 25 第34页