2010全国数学建模大赛一等奖A1储油罐的变位识别和罐容表标定的方法分析解析

1、1 储油罐的变位识别和罐容表标定的方法分析 摘要 本文研究了储油罐的变位识别和罐容表标定的问题。 储油罐在使用一段时间后会发 生变位，研究储油罐的变位识别和罐容表标定是加油站在管理中要进行的必要工作。 对于问题一，我们利用积分计算体积的方法，建立了罐内油量随油位高度和纵向倾 斜角度变化的函数关系式。在对罐容表进行间隔为 1cm的标定过程中，由上述关系式计 算得到的值中有很少的几个为虚数， 我们对根式内的表达式加上 10-10，使得所有计算值 均为实数，并且原来的实数值在精度为 10 时不产生变化，在这种情况下得到了无变位 和倾斜变位时的理论标定值。 接着， 我们在分析理论值与实验值误差的基础上

2、， 对理论 标定值进行了三次修正，依次为进出油量实验值与理论值误差的修正，罐内油量实验值 与理论值误差的修正，以及倾斜无变位标定值中异常值的处理。修正后可以得到无变位 和倾斜变位的最终罐容表标定值。通过分析储油罐纵向倾斜变位的示意图，我们得到了 罐内油量一定时，纵向倾斜角对变位时油位高度与无变位时油位高度差值的影响：当纵 向倾斜角为顺时针旋转时，角度增大，变位时油位高度与无变位时油位高度的差值会增 大，从而相同高度下倾斜变位的罐容表标定值会减少。考虑到罐体变位对罐容表造成的 影响，我们对装置进行了改进，将油位探针的位置移至储油罐中心轴处，消除了罐体变 位对罐容表的影响。 对于问题二，首先我们用

3、积分计算球冠形储油罐变位的体积，建立了罐内油量与油 位高度和变位参数一般关系的模型二。再利用题给附表 2中的数据来计算变位参数，计 算每次进油后，油位高度变化所对应的罐内油量的变化，我们利用网格搜索法求解实际 出油量与计算得到的出油量的差值平方和最小时的变位参数，逐步提高精度，让变位参 数值精确到小数点后两位，用一次性进油前的数据来计算变位参数得到 :=1.96 / =5.08，用一次性进油后的数据来计算变位参数得到:=1.96=5.04，对 这两个变位参数分别求取平均值得到最终的变位参数为 - =1.96 =5.06。然后将求 得的变位参数和油位高度代入模型二，得到高度间隔为 10 cm的罐

4、容表标定值。接着我 们在储油罐无变位的情况下，将题给附表 2中的显示油高带入模型二，求解得到的罐内 油量与题给的显示油量完全吻合，由此我们可以验证模型的正确性。再将 :=1.96 / =5.08代入模型二中，通过题给附表二中一次性进油后每次出油显示油高的 不同得到罐内油量的变化，用它与一次性进油后的实际出油量做相对误差， 得到所有相 对误差的平均值为0.58%， 用同样的方法， 将:=1.96 / =5.04代入模型二中，得到所 有相对误差的平均值为 0.52%,它们的值都小于1%,误差很小，从而可以验证我们的 方法是可靠的。 最后我们对模型的优缺点进行了评价，提出了求解棱台体积来简化储油罐体

5、积的积 分运算量和用非线性回归的方法求解变位参数的方法，并对模型进行了简单的推广。 关键词：罐容表标定；误差修正；变位识别；网格搜索法; 一. 问题的提出与重述 1.1问题的提出 加油站的地下储油罐有一个与之配套的“油位计量管理系统” ，通过预先标定罐容 表可以得到罐内储油量与油位高度之间的关系。储油罐在长时间的使用中，其位置会因 为地基变形等原因发生改变。如何识别储油罐的变位情况及对罐容表进行重新标定是加 油站关心的问题。 2 1.2问题的重述 题给两种储油罐：第一种为典型油罐，其主体为圆柱体，两端为球冠体；第二种为 小椭圆形储油罐，其主体为椭圆柱体，两端为平头。在长期的使用过程中，储油罐可

6、能 发生横向偏转倾斜和纵向偏转倾斜。横向偏转倾斜即油位探针所在直线偏离地平线垂直 线一个角度纵向偏转倾斜即油罐底部所在直线偏离水平线一个角度 ：。为了获得罐 内准确的油位高度和储油量情况，我们需要定期对罐容表进行标定，罐容表即为罐内油 位高度与储油量的对应关系。 已知这两种罐体的尺寸，请解决如下关于储油罐的变位识别与罐容表标定的问题： (1) 我们对第二种罐体分别对其无变位和纵向变位倾角为 :=4.1的两种情况做了 实验，得到了两种不同位置放置的罐体分别在进油和出油两种情况下的 4组实验数据。 请建立数学模型研究这种罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔 为1cm的罐容表标定值

7、。 (2) 对于第一种实际油罐， 试建立数学模型表示罐内储油量与油位高度及变位参数 (纵向倾斜角度：和横向偏转角度J之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过 程中的实际检测数据，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油 位高度间隔为10cm的罐容表标定值。 进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你 们模型的正确性与方法的可靠性。 二. 问题分析 对于问题一，我们通过三重积分寻找小椭圆形储油罐罐内油量与测量油位高度和纵 向倾斜角度的理论关系，代入间隔为1cm的不同的高度，通过此关系计算出罐容表理论 标定值，接着我们通过题给4组进出油数据对罐容表理论标定值进行修正，其中对进

8、出 油量和罐内容量的理论值与实际值的差值进行修正，从而可以得到贴近实际情况的无变 位罐容表标定值与倾斜变位罐容表标定值。通过分析罐内油量一定值时，寻找倾斜变位 后测得的油位高度与无变位时测得的油位高度的关系，从而我们可以分析得到罐体变位 后对罐容表的影响，接着我们根据罐体变位对罐容表的影响对装置进行了改进。 对于问题二，我们寻找球冠形储油罐罐内油量与油位高度和变位参数的一般关系， 通过题给附表2中一次性进油前的进油量和油位高度数据计算变位参数。 然后通过求解 出的变位参数与一般关系的表达式得到油位高度间隔为 10 cm的罐容表标定值。接着用 题给附表2中显示罐内油量与油位高度在无变位的情况下对

9、模型进行检验， 并通过一次 性进油后的数据对方法的可靠性进行检验。 三. 模型假设 (1) 每次实验前，进油管与出油管中均无油量残余； (2) 忽略储油罐在制造过程中产生的缝隙、突出物等对容积造成的误差; (3) 忽略注油管、出油管在罐体内所占体积； (4) 假设每次测量在相同环境下进行；3 四. 变量与符号说明 h :表示油浮子测得的油位高度(即油浮子与油罐底部之间的距离) ，单位米； h:表示发生横向变位时，液面距油罐底部距离，单位米； g :表示无变位时测得的油位高度，单位米； a :表示小椭圆油罐横截面的长半轴长，单位米； b :表示小椭圆油罐横截面的短半轴长，单位米； c :表示油位

10、探针距左端的距离，单位米； d :表示油位探针距右端的距离，单位米； S :表示油罐横截面的面积，单位平方米； T :表示小椭圆油罐的长度，单位米； M：表示储油罐中第i部分油量体积，单位立方米； V :表示第一次修正后的标定值，单位立方米； V :表示第二次修正后的标定值，单位立方米； 二：表示第一次修正值，单位立方米； 1:表示无变位进油的第二次修正值，单位立方米； 2 :表示倾斜变位进油的第二次修正值，单位立方米； 其余变量均在后文中说明 五. 模型建立与求解 5.1问题一的解答 5.1.1模型一的建立 只需将储油罐中油量的体积 V 用油位探针测得的油高 h 和油罐纵向倾斜的倾角: 表示

11、出来，即可得到储油罐发生纵向变位时罐中油量体积与油位高度间的关系，从而可 以得到理论的罐容表标定值。 我们以油罐左侧面椭圆的圆心为坐标原点，平行于油罐底部的轴为 z轴，平行于椭 圆长轴的轴为x轴，平行于椭圆短轴的轴为 y 轴建立坐标系。沿z轴将储油罐分为若干 个体积微元，则每一个微元的体积可看成椭圆面积的一部分与微元长度 dz 的乘积，即: dV=Sdz (1) 对于每一个体积微元，当储油罐发生倾角为 :的纵向倾斜时，其对应椭圆的面积可 表示为 H -b a J1 -7 S 二上 dy 0 b dx (2) 式中，H表示dx 对应液面距离油罐底部的高度，可以通过油位探针测得的油位高度 为 h

12、计算得到，具体计算式为： H = h (c - z) tan ： (3) 当 h (0,d tan)时，储油罐中油量体积与测得油位高度之间的关系可用下式表示: h CotOflc h 弋c-z) (anOt-b =2 0 dj 当 hjd tan,2b-c tan时，储油罐中油量体积与测得油位高度之间的关系可用下(4) 4 当 h d tan :2b_c tan ：时，储油罐中油量体积与测得油位高度之间的关系可用下 式表示: 其中 m = c _ (2b _ h) cot ：。 5.1.2计算理论标定值 对于小椭圆储油罐，将 T =2.45，a=0.89，b =0.6，c=0.4，d =2.0

13、5，l =0 代入（4）、 （5）、（ 6）式，我们可以计算油位高度在0.01m与1.2 m之间所对应的罐内油量体积的 计算值。 我们得到的计算值时，有很少的几值会产生虚数，我们发现虚数的虚部系数是一个 极小的值，分析产生虚数的原因，是由于 斗丐根式内的值在 y 变化时会产生负数，我们 对根号内的表达式进行修正，修正方法为对 b 加上一个极小的正值，在本问题中修正值 取 10J0，这样会使得计算得到的理论罐内油量为实数，且使得原来的实数值在精度为 10* 时不产生变化。由此我们可以得到无变位理论标定值（如表1所示）。 对:=4.1 时用同样的方法得到倾斜变位理论标定值（如表2所示）。 当罐内油

14、量低于1.6744 L 时，随着油量的增加，油浮子始终未浮起，油位高度为 0m时表明储油量为1.6744 L 以下，当储油量高于4110.1 L 时，随着油量的增加，油浮 子不再上浮，油位高度为1.2 m时表明储油量为4110.1 L 以上，因此，我们不对这两个 极限位置进行标定。 表1无变位时理论值标定表 油位高度 （厘米） 理论储油 量（升） 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 1 5.2948 41 1240.5 81 2951.8 2 14.938 42 1282 82 P 2992.5 3 ；27.374 43 1323.7 83 3033

15、 4 42.037 44 1365.7 84 3073.1 5 58.598 45 1407.8 85 3112.9 6 76.831 46 1450.1 86 3152.4 7 P 96.568 47 1492.6 87 3191.5 8 117.68 48 1535.3 88 3230.3 9 :140.05 49 : 1578.1 89 P 3268.6 10 163.59 50 1621 90 3306.6 11 188.24 51 1664.1 91 3344.2 12 213.91 52 1707.2 92 3381.3 13 240.55 53 1750.5 93 3417.9

16、14 268.11 54 1793.8 94 3454.1 15 296.53 55 1837.3 95 3489.8 16 P 325.78 56 1880.8 96 P 3524.9 17 355.82 57 1924.3 97 3559.6 式表示: (5) (6) V T h-(c_z)：tan-._b dx：； 5 18 386.6 58 1967.9 98 3593.6 19 418.1 59 P 2011.5 99 3627 20 450.27 60 2055.1 100 3659.9 21 483.1 61 2098.7 101 3692 22 516.54 62 2142.3

17、 102 3723.5 23 550.58 63 2185.8 103 3754.3 24 585.2 64 2229.4 104 3784.4 25 620.35 65 2272.9 105 3813.6 26 656.03 66 P 2316.3 106 3842 27 692.21 67 2359.6 107 3869.6 28 728.87 68 2402.9 108 3896.2 29 765.98 69 2446.1 109 3921.9 30 803.54 70 2489.1 110 3946.6 31 841.51 71 2532.1 111 3970.1 32 879.89

18、72 2574.9 112 3992.5 33 918.65 73 2617.5 113 4013.6 34 957.77 74 2660 114 4033.3 35 997.25 75 2702.3 115 4051.5 36 1037.1 76 2744.5 116 4068.1 37 1077.2 77 2786.4 117 4082.8 38 1117.6 78 2828.1 118 4095.2 39 1158.3 79 2869.6 119 4104.9 40 1199.3 80 :2910.8 120 4110.1 表2变位时理论值标定表 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升）

19、油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 1 3.531 41 1005 81 2703.6 2 6.2635 42 1044.6 82 2745.5 3 9.9748 43 1084.5 83 2787.2 4 14.756 44 1124.8 84 2828.7 5 20.691 45 1165.3 85 2870 6 27.854 46 1206.2 86 2911.1 7 36.316 47 1247.2 87 2951.8 8 46.142 48 1288.6 88 2992.3 9 57.394 49 1330.1 89 3032.5 10 7

20、0.127 50 1371.9 90 3072.4 11 84.397 51 1413.9 91 3112 12 100.25 52 1456 92 3151.2 13 117.75 53 1498.4 193 :3190.1 14 136.92 54 1540.9 94 3228.6 15 157.82 55 1583.5 95 3266.7 16 180.26 56 1626.3 96 3304.4 17 204 57 1669.2 97 3341.7 18 228.91 58 1712.2 98 P 3378.5 19 254.88 59 1755.3 99 3414.9 6 20 28

21、1.86 60 1798.5 100 3450.7 21 309.76 : 61 1841.8 : 101 P 3486.1 22 338.54 62 1885.1 102 3520.9 23 368.14 63 1928.5 103 3555.1 24 398.53 64 1971.9 104 3588.8 25 429.66 65 2015.4 105 3621.8 26 461.49 66 2058.8 106 3654.2 27 494 67 2102.3 107 3685.9 28 527.14 68 2145.7 108 P 3716.9 29 560.9 69 2189.1 10

22、9 3747.2 30 595.25 70 2232.5 110 P 3776.6 31 630.15 71 2275.8 111 3805.3 32 665.58 72 2319.1 : 112 3833 33 701.53 73 2362.3 113 3859.8 34 737.96 74 2405.4 114 3885.6 35 774.86 75 2448.4 115 3910.3 36 812.2 76 2491.3 116 3933.9 37 849.97 丁 77 2534 二 117 P 3956.1 38 888.15 78 2576.6 118 3976.7 39 926.

23、72 79 2619.1 : 119 :3995.5 40 965.66 80 2661.4 120 4012.7 5.1.3误差分析 我们用题给附录1及表1、表2中的数据，得到了无变位及倾斜变位后的实际罐内 油量与理论罐内油量的曲线，从图1中可以看出，实际罐内油量的曲线总是在理论罐内 油量曲线的上方。 进油时测量值与理论值的比较 1 I i 测量倾斜变位进油 - 理论倾斜变位进油 测量无变位进油 - 理论无变位进油 200 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 罐内油量（L） 图1进油时测量值与理论值的比较1200 00 80 60 40 0 -5

24、00 7 从上面四组数值比较中不难看出，罐容表的标定还要受到诸多外部因素如压力、温 度、蠕变等的影响。 综上所述，我们考虑利用实验得到的数据对无变位与倾斜变位两种情况下的理论罐 容表标定值分别作出修正，以消除上述众多因素带来的误差，使得罐容表标定的数据更 接近罐内实际油量。 5.1.4对标定值的修正 （一）第一次修正-对进出油量实验值与理论值误差的修正 对于题给附表1中的四组实验数据，我们可以得到各组实验的每次实际进出油量。 通过油位高度变化，可以得到理论的进出油量，从而可以得到实验值与理论值的误差， 我们修正此种误差，就是我们要进行的第一次修正。 （1）对无变位情况的修正： 我们首先分析无变

25、位进出油的两组数据， 整理每次实际进出油量为50L的数据，同 时通过理论计算得到各数据油位高度差所对应的理论进出油量 V（h）（具体数值见附表1 和附表2）。 分析数据得到每次理论进出油量稳定在一个值左右，我们计算所有理论进油量的均 值分别51.7437 L、理论出油量的均值为51.7442 L。从而可以得到实际进出油 50L， 理论进出油量比实际进出油量要多 1.744 L ,故我们得到了第一次修正的修正值的表达 式: V 1.744 CF = - 50 式中，二表示第一次修正的修正值。 通过理论罐容表中油位高度所对应的油量不同，对罐容表标定值进行修正 V =V 二 V 即为第一次修正后的标

26、定值。 为了表明第一次修正后标定值、实验数据、理论标定值间的关系，我们作出了第一 次修正后的比较图像（如图2）: 图2第一次修正的标定值与实验数据、理论标定值的关系图(7) (8) 00 2 第一次修正后的标定值 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 罐内容量(L) O O X 800 4 00 6 m卩度高位油 O 00O 2 8 （2）对倾斜变位情况的修正： 我们分析倾斜变位进出油的两组数据， 整理每次实际进出油量为50L的数据，同时 通过理论计算得到各数据油位高度差所对应的理论进出油量（见附表 3和附表4）: 分析这些数据，它们的值在50L左右波动

27、较大，且理论出油均值为 50.2262 L，理 论进油均值为50.1845 L。由于波动较大修正意义不大，且均值与 50 L接近，所以无需 进行此种修正。 （二）第二次修正-对罐内油量实验值与理论值误差的修正 对于题给的两组进油实验数据，我们可以得到每次进油后的罐内油量。通过油位高 度，可以得到理论的罐内油量，从而可以得到实验值与理论值的误差，我们修正此种误 差，就是我们要进行的第二次修正。 （1）对无变位情况的修正： 我们通过无变位进油的数据中的累计进油量和罐内油量初值得到实际罐内油量， 再 将无变位进油数据中的- -0及油位高度h带入（4）、（5）、（6）式，得到理论罐内油量， 用（8）式

28、对其进行第一次修正， 再将其与实际罐内油量比较，并做差值得到一组样本 容量为78的修正值数据。 对这组数据求均值，得到 ，=-2.6256 m3。对第一次修正后的标定值再进行平移修 正，修正后的标定值为： v”=v“+q （9） 从而，我们可以分别得到无变位（表 3）时储油罐修正后的标定。 表3无变位时储油罐修正后的标定 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 1 2.4845 41 1194.7 81 2846.3 2 11.791 42 1234.7 82 2885.6 3 23.793 43 1275 83

29、2924.6 4 P 37.945 44 -1315.4 84 2963.3 5 53.928 45 1356.1 85 3001.7 6 71.525 46 1396.9 86 3039.8 7 90.573 47 1437.9 87 3077.6 8 110.94 48 1479.1 88 3115 9 132.53 49 1520.4 89 3152 10 155.26 50 1561.9 90 3188.7 11 179.04 51 1603.4 91 3224.9 12 203.82 52 1645.1 92 3260.7 13 229.53 53 1686.8 93 3296.1

30、14 256.13 54 1728.7 94 3331 15 283.56 55 1770.6 95 3365.5 16 311.79 56 1812.6 96 3399.4 17 340.78 57 1854.6 97 3432.8 18 370.49 58 1896.6 98 3465.7 19 400.88 59 1938.7 99 3497.9 20 431.94 60 1980.8 100 3529.6 21 463.62 61 2022.9 101 3560.7 22 495.9 62 2065 102 3591.1 23 528.75 63 2107 103 3620.8 24

31、562.15 64 2149 104 3649.8 9 25 596.09 65 2191 105 3678 26 630.52 66 P 2232.9 106 3705.4 27 665.44 67 2274.7 107 3732 28 700.81 68 P 2316.5 108 3757.7 29 736.64 69 2358.2 109 3782.5 30 772.88 70 2399.7 110 3806.3 31 809.53 71 2441.2 111 3829 32 846.57 72 2482.5 112 3850.6 33 883.97 73 2523.6 113 3871

32、 34 921.73 74 2564.6 114 3890 35 959.83 75 2605.5 115 3907.6 36 998.27 76 2646.1 116 3923.6 37 1037 77 2686.6 117 3937.8 38 1076 78 2726.9 118 3949.8 39 1115.3 79 2766.9 119 3959.1 40 1154.9 80 2806.7 120 3964.2 为了更直观地表现修正后的效果，我们做出了对无变位的罐体最终的标定值与实验 数据、理论标定值的关系图，如图 3： 量终啟容表标定值 图3旋转修正的标定值与实验数据、理论标定值的关

33、系图 （2）对倾斜变位情况的修正： 我们通过倾斜变位进油数据中的累计进油量和罐内油量初值得到实际罐内油量， 再 将倾斜变位进油数据中的。=4.1 X油位高度 h 带入（4）、（5）、（6）式，得到理论罐内 油量，将其与实际罐内油量比较，并做差值得到一组样本容量为 53的修正值数据。 对这组数据求均值，得到平移修正值 2=0-0766 m3，修正后标定值为： vm2 （ 10）1200 ioo SC GC 400 200 - 壬变位进油实缈据 -啓鱷容表标定值 1000 1500 200D 2500 3000 3 50 0 4 M0 罐內油量山 10 （三）第三次修正-倾斜无变位标定值中异常值的

34、处理 由于倾斜变位进油实验给出的数据较少， 倾斜变位理论标定值经过第二次修正后得 到的曲线在油量适中时能较好地接近我们实验得到的曲线。然而，在油位高度较小时， 会标定出负数值的油量，在油位高度较大时，会与实际情况不符。 我们将油位高度为0.01 m和1.19m时的倾斜变位理论值作为最终标定值，然后将 第二次修正得到的0.0766 m3的修正值均匀的加到0.01 m到0.35 m和0.96 m到1.19m 所对应的标定值。 从而我们可以得到倾斜变位时的最终标定值（见表4） 表4倾斜变位时罐容表的标定值 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 油位高度 （厘

35、米） 理论储 油量 （升） 1 3.531 41 1005 81 P 2703.6 2 6.2635 42 1044.6 82 2745.5 3 9.9748 43 1084.5 83 :2787.2 4 14.756 44 1124.8 84 P 2828.7 5 20.691 45 1165.3 85 2870 6 27.854 46 1206.2 86 P 2911.1 7 36.316 47 1247.2 87 2951.8 8 46.142 48 1288.6 88 2992.3 9 57.394 49 1330.1 89 3032.5 10 70.127 50 1371.9 90

36、3072.4 11 84.397 51 1413.9 91 3112 12 100.25 52 1456 92 3151.2 13 117.75 53 1498.4 93 3190.1 14 136.92 54 1540.9 94 3228.6 15 157.82 55 1583.5 95 P 3266.7 16 180.26 56 1626.3 96 3304.4 17 204 57 1669.2 97 P 3341.7 18 228.91 58 1712.2 98 3378.5 19 254.88 59 1755.3 99 P 3414.9 20 281.86 60 1798.5 100

37、3450.7 21 309.76 61 1841.8 101 3486.1 22 338.54 62 1885.1 102 P 3520.9 23 368.14 63 1928.5 103 3555.1 24 398.53 64 1971.9 104 P 3588.8 25 429.66 65 2015.4 105 3621.8 26 461.49 66 2058.8 106 P 3654.2 27 494 67 2102.3 107 3685.9 28 527.14 68 2145.7 108 3716.9 29 560.9 69 2189.1 109 3747.2 30 595.25 70

38、 2232.5 110 3776.6 31 630.15 71 2275.8 111 P 3805.3 32 665.58 72 2319.1 112 3833 33 701.53 73 2362.3 113 P 3859.8 34 737.96 74 2405.4 114 3885.6 11 35 774.86 75 2448.4 115 3910.3 36 812.2 76 2491.3 116 P 3933.9 37 849.97 77 2534 117 3956.1 38 888.15 78 2576.6 118 P 3976.7 39 926.72 79 2619.1 119 399

39、5.5 40 965.66 80 2661.4 120 4012.7 为了更直观地表现修正后的效果，我们做出了对倾斜变位罐体最终标定值与实验数 据、理论标定值的关系图，如图4： 倾斜变位罐容表标定值 1200 - 理论标定值 - 倾斜变位出油实验值 - 最终罐容表标定值 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 罐内容量（L） 图4倾斜变位最终标定值与实验数据、理论标定值的关系图 5.1.5变位对罐容表的影响 当罐内油量为定值，油罐只发生倾斜角为 :的纵向倾斜时（为顺时针倾斜），油位 探针测得的高度与无变位时通过油位探针测得的高度有如下关系： h =

40、 g +1 七 n。 （ 11） 其中 I 为油位探针到中心轴的垂直距离，h。表示无变位时测得的油位高度，h 表示倾斜 变位时测得的油位高度。 随着纵向倾斜角:的增大，油位探针测得的油位高度与无变位时测得的油位高度间 的差值会增大。因此变位的角度增大，相同高度下的倾斜变位的罐容表标定值会减少。 以:=4.1 为例，得到的无变位罐容表标定值与倾斜变位标定值见表 3与表4,可以清楚 的看到相同高度下罐容表标定值会减少。 5.1.6装置的改进 分析小椭圆油罐正面示意图， 以及根据 （11） 式， 当油位探针位于油罐中心轴时（即 I =0时），1000 ） 800 600 400 200 12 无论油

41、罐的纵向倾斜角为多少，通过油浮子测得的油位高度可等同于油罐未 发生倾斜时测得的实际油位高度。 由以上的分析，如果我们将油位探针移动到油罐中心轴时，发生纵向倾斜时就不需 要重新进行罐容表标定，以先前的罐容表得到的得到罐内容量是准确的。 5.2问题二的求解 5.2.1模型的建立 我们将油罐内储油量的体积分为圆柱体内油量和两个球罐体内油量三部分来求取。 在求取圆柱体油量体积的过程中，我们以储油罐右端为坐标原点，过圆柱体圆心平 行于储油罐罐底的直线为z轴，平行于圆柱体与冠体交线的直线为 y 轴，垂直于的直线 为 zOy 平面的直线为x轴建立坐标系。由于罐内油液面始终与水平线相平，贝 U 当储油罐 发生

42、倾斜角为:的纵向倾斜时，罐内不同位置的液面距底部距离可用测量液面高度来表 示： 出=h-d tanx c tan： (12) 其中 h 二 hcos(：) (1) 当 h (0, d tan:)时， 储油罐内油量体积由左端冠体与中间圆柱体内油量的体积组成， 左端冠体内油量的计算 公式为： 叶1)=2 汉( 一 dyj； JR2x2 y2(R 1)dx (13) 中部圆柱体内油量的体积为： (2) Z H JJ r2 _y2 v,2) =2 dz dy dx (14) 1 d -hcot 上 0 式中，H 二 h-d tan 二川 z tan ：。 则储油罐内油量的总体积为 M =乂 V (15

43、) (2) 当 h (d tan : ,(2 r -d) tan ：)时： 圆柱体内油量与测量液面高度间的函数关系为： (1) 8 已 Jb2_y2 詔肿dy 0 dx (16) 右端冠体内油量体积： H _r 1 r2 y2 ( 2)=2匚 dy (JR2 _x2_y2 _(R_1)dx (17) 其中(R 3)2 (3)2二 R2 ， H2二h-d tan ( R为圆球冠体的所在球的半径 ) 2 左端冠体内油量体积： H r r2 y2 _ V2=2匚 dyf (JR2-X2-y2 -(R-1)dx (18) 其中，H3 =h c tan： 则储油罐内油量的总体积为： V2 =V2 +V2

44、 +V2 (19) 当油罐中油量极少或超过一定高度时，我们需要重新考虑油位高度与储油体积间的 对应关系。 (3) 当 h (2r -d tan : ,2r)时： 储油罐内油量体积由左端冠体体积以及中间圆柱体、右端冠体内体积组成，左端冠体内 油量的计算公式为: 13 V3=2匚 dyQ (JR2x2 y2(R 1)dx (20) 中部圆柱体内油量的体积为： (2) 6 (2b _h)cot -. h 丄6 _z) tan -. r22 2 V3() =2。 dz dy 0 dx： Mr 2 -(2b -h)cot 一订 (21) 右端冠体内油量的体积为： (3) h qtan _r 2 2 V3

45、=2 dyf； JR2_X2y2 (R1)dx ( 22) 则罐内油量总体积为： V3 =V3 +V3 +V3 (23) 5.2.2数据的拟合 为了得到实验所用储油罐的纵向偏转角:与横向偏转角一：，我们用最小二乘法对题 中一次性进油之前的数据进行了拟合。 将题给附表2中每一个高度值h代入(8)式，可以得到理论储油量Vi。则每次输出 油量的理论值为： V =Vi V“，i=1,2,.,301 (24) 由题给附表2中数据，我们可以直接得到每次加入油量的实际值：Vid， i =1,2,302。 我们将偏转角:与1的求解转化为最优化问题，即建立实际油量和理论油量差值的 平方组成的目标函数，通过极小化

46、该目标函数得到 。与B的解，如式(24)。 301 f(：)八( Vi 1 - ：Vi 1)2 min (25) =1 在用网格搜索法寻找最优:、参数的过程中，为了兼顾搜索速度和搜索精度，我 们采用逐步细化的方法，保持搜索步长不变，减少每次搜索范围的长度，在搜索到较优 :、1的周围设置更为密集的穷举点，进行第二次甚至更多次搜索，直到达到所要求的 精度位置。首先，我们对：取 0.10为间隔，对取 10为间隔进行粗略搜索，得到了 f() 的最小值大致在(1.90,2.10)与 (40,60)之间，将搜索步长缩小10倍，得到了一 组较优的、1组合。为了使精度更加准确，再次缩小搜索步长，可以得到 fC

47、)最小 时对应的：-及其周围的点，如表5所示： 表5三次搜索后最小 fG , )值及邻近点值 ot/P 5.05 5.06 5.07 5.08 5.1 1.95 246.63 246.57 246.52 246.48 246.44 1.96 :246.21 246.2 1 246.19 246.19 P 246.2 1.97 1 246.35 246.38 1 246.42 246.46 246.51 1.98 247.03 247.11 247.19 247.28 247.37 从表 5 中可以看出，fG)min =246.19，=1.96匸=5.08。 接着，我们用一次性进油后的数据，用同

48、样的方法进行了三次搜索，得到了最小的 fC ,:)值及对应的参数值，最后搜索结果如表 6所示：(26) 14 表6三次搜索后最小 fC , ）值及邻近点值 a/P 5.02 5.03 5.04 5.05 5.06 1.95 : 293.62 :293.57 293.53 293.49 P 293.46 1.96 293.31 293.3 293.3 293.3 293.31 1.97 1 293.55 293.58 293.62 293.67 P 293.72 1.98 294.34 294.42 294.5 294.59 294.68 由表6可以得到变位参数：一 1.96,亠5.04。 对前

49、面得到的得到的变位参数求均值，得到最终的变位参数： -1.96,1； -5.06 5.2.3罐容表的标定 对于实际储油罐，d=6,c = 2, r=3,Z=8。代入题给数据，我们可以计算出油位高 2 度在0.1米与3.0米之间以0.1米为间隔的罐容表标定理论值，如表 5所示： 表5实际储油罐的罐容表 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 油位高度 （厘米） 理论储油量 （升） 10 0.0365 110 16.7 210 44.253 20 P 0.33051 120 19.311 J 220 P 46.898 30 1.0369 130 21.996

50、 230 P 49.458 40 2.2071 140 24.74 240 51.915 50 3.6918 150 27.525 250 54.25 60 5.4277 160 30.337 H 260 56.442 70 7.3732 170 33.16 270 58.466 80 9.4973 180 35.979 280 60.295 90 r 11.774 190 38.778 H 290 P 61.89 100 14.182 200 41.541 300 63.198 5.2.4模型与方法的检验 （1） 模型正确性的检验： 由于题给附表2中的油量容积是在通过无变位时得到的罐容表标定

51、的， 故我们将显 示的油高带入（19）式中，得到理论的油量容积，与题给数据中的显示油量容积完全吻 合，从而可以得知我们建立的模型二是正确的。 （2） 方法的可靠性的检验： 我们通过附表2中未进油前的所有出油数据和显示高度（前302个数据）进行了数据拟合 得到了变位参数，我们通过进一次油后的其它出油数据和显示高度对方法的可靠性进行 研究。我们将显示高度与得到的变位参数带入（19）式中求得理论罐内油量值，再计算 差值就得到了每次出油量R，将它与实际出油数据P2进行比较可以计算一次实验的误 差： P-P2I 我们用一次性进油前的数据计算变位参数，用一次性进油后的数据对得到的变位参 数进行检验，得到所

52、有误差的平均值： q =0.58% 1% 同样的，我们用一次性进油后的数据计算变位参数，用一次性进油前的数据对得到 的变位参数进行检验，得到所有误差的平均值 62 =0.52% 1% 从而可以检验我们得到的变位参数是很准确的，用网格搜索法求解最小出油差值平 方和的方15 法是可靠的。 六. 模型的评价与改进 6.1模型的评价 6.1.1优点 (1) 我们对装置进行了改进，在只有纵向倾斜角度的情况下，如果将油位探针移至储 油罐中心轴位置，可以消除纵向变位对罐容表的影响。 (2) 通过精确的公式得到理论的罐容表标定值，并通过题给数据进行了三次修正，得 到了较为准确，贴近实际的标定值。 (3) 用两

53、组数据求解了两次变位参数，并且对 的值的准确性进行了检验； 6.1.2缺点： 由于在计算二的时候我们只取了精度为0.01,由于计算方法的特殊性没有进行进 一步的取值。 6.2模型的改进： (1) 我们可以寻找更好的积分方法得到储油罐的体积与油位高度的关系，从而简 化计算量； (2) 计算变位参数时，取更高精度求解，并分析精度的提高对误差的影响； (3) 用求解棱台体积来简化储油罐体积的积分运算量； (4) 用非线性回归的方法求解变位参数的方法。 七. 模型的应用与推广 我们的模型不仅适用于储油罐的变位识别和罐容表标定， 还适用于模具制造及各种 设计计算容量的场合。 参考文献： 1 廉育婴，梁昭

54、燕.立式罐底边界条件对静压力效应修正值的影响J.现代计量测试， 1996 年第 4 期：27-29 2 程继元.浅谈影响油罐标定与计量的因素及其修正方法 J.石油商技，第22卷第2 期：33-3516 附录 附录1：理论标定值计算的 matlab程序： (1) %纵向倾斜4.1度时的理论标定值 syms y z h a=0.89 b=0.6 j=1； for h=0.01:0.01:0.14 f1=a*sqrt(1-yA2/bA2); f2=i nt(f1,y,-b,h+(0.4-z)*ta nd(4.1)-b); f3=i nt(f2,z,0,(h*cotd(4.1)+0.4); f4(j)

55、=2*double(f3); j=j+1; end j=15; for h=0.15:0.01:1.17 f1=a*sqrt(1-yA2/bA2); f2=i nt(f1,y,-b,h+(0.4-z)*ta nd(4.1)-b); f3=i nt(f2,z,0,2.45); f4(j)=2*double(f3) j=j+1; end j=118; for h=1.18:0.01:1.2 f1=a*sqrt(1-yA2/bA2); f2=i nt(f1,y,-b,h+(0.4-z)*ta nd(4.1)-b); f3=i nt(f2,z,0.4-(2*b-h)*cotd(4.1),2.45);

56、f4(j)=2*double(f3)+pi*a*b*(0.4-(2*b-h)*cotd(4.1); j=j+1; end (2) %无变位时的理论标定值 syms y z a=0.89 b=0.6 j=1; f1=a*sqrt(1-yA2/bA2); for h=0.01:0.01:1.2 f2=i nt(f1,y,-b,h-b); f3=2*2.45*f2; f4(j)=double(f3); j=j+1; end 附录2.修正值计算的matlab程序： (1)%无变位修正及作图 无变位进油.txt); xO=tO(:,1); 17 yo=to(：,2)； syms y z a=0.89 b

57、=0.6 g1=a*sqrt(1-yA2/bA2); for h=1:le ngth(yO) g2=i nt(g1,y,-b,y0(h)/1000-b); g3=2*2.45*g2; g4(h)=double(g3); end for i=1:le ngth(y0) g5(i)=1000*(g4(i)-g4(i)*1.744/50); wucha(i)=g5(i)-(x0(i)+262); en d%+算平移修正值 无变位标准值.mat); k=li nspace(10,1200,120) for i=1:120 f5(i)=f4(i)-f4(i)*1.744/50 end%旋转修正 hold

58、 on %plot(1000*f5,k,r-) hold on 无变位进油.txt); x0=t0(:,1); y0=t0(:,2); plot(x0+262,y0) 无变位旋转修正值.txt); k=li nspace(10,1200,120) xzz=xua nzhua n+sum(wucha)/78;% 平移修正 plot(xz z,k,g-) axis(0 4000 0 1200) hold on plot(1000*f4,k,k-)% 画修正图(2) %顷斜变位修正值计算 syms y z a=0.89 b=0.6 chuyoulia ng=0.215; f1=a*sqrt(1-yA

59、2/bA2); 倾斜变位进油.txt) x0=t0(:,1)/1000; y0=t0(:,2)/1000; for h=1:53 18 f2=i nt(f1,y,-b,y0(h)+(0.4-z)*ta nd(4.1)-b); f3=i nt(f2,z,0,2.45); f4(h)=2*double(f3); end xiuzhe ngzhi=f4-x0-chuyoulia ng; jun zhi=sum(xiuzhe ngzhi)/le ngth(xiuzhe ngzhi); 附录3.理论值修正后的校验图像 matlab程序: (1) 倾斜变位标准值.mat); 变位进油高度理论值.mat);

60、 plot(1000*(f4-0.0766),1000*k,r-); 倾斜变位进油.txt) x0=t0(:,1); y0=t0(:,2); hold on plot(x0+215,y0,b-); (2) 无变位标准制.mat); 变位进油高度理论值.mat); plot(1000*(f4-0.0755),1000*k,g-); 倾斜变位进油.txt) x0=t0(:,1); y0=t0(:,2); hold on plot(x0+262,y0,k-); 附录4.对参数进行求解的程序 clear syms x y z h r=1.5; f1=sqrt(rA2-yA2); g1=sqrt(13/