2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

1、 A.直角三角形 C.锐角三角形 6.sin120 的值为 B.等腰三角形 D.钝角三角形 普通高中学业水平考试试卷 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分 时量 120 分钟，满分 100 分。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。 1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 2 已知元素 a 0,1,2,3，且 a - 0,1,2，则 a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 3.在区间0,5内任取一个实数，则此数大于 3 的概率为 (第1聽图) 1 A.- 5 2 B

2、.- 5 3 C.- 5 4 D.- 5 输入工 4.某程序框图如图所示，若输入 x的值为 1,则输出 y 的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 5 在厶 ABC 中，若AB AC = 0 ,则厶 ABC 的形状是 y=x1-x+3 输出F A. 2 B. 1 3 C. 2 7.如图，在正方体 A.平行 C.异面但不垂直 8 不等式(x+ 1)(x 2)w 0 的解集为 D.异面且垂直 ABCD A1B1C1D1 中, B 相交 A.x| 1w x2 或 x2 或 xv 1 9.点 P(m,1)不在不等式 x+ y 2v0 表示的平面区域内，则实数 m 的取值范围是 第7题图) A.m v

3、1 B.mw 1 C.m1 D.m 1 10 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下 列函数的图像最能符合上述情况的是 13 . 已知 a 是函数 f(x) = 2 - log2x的零点，则实数 a 的值为 _。 14 . 已知函数 y=sincox(cc 0)在一个周期内的图像如图所示，贝 U 时的值为 _ 12 在厶 ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,已知 a= 1, 1 nt . b= 2, si nA =一，贝 V si nB 3 15 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB = 2BC, E、F 分别是 AB、CD 的

4、中点，现在沿 EF 把这个矩形 折成一个直二面角 A EF-C(如图 2)，则在图 2 中直线 AF 与平面 EBCF 所成的角的大小 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 x,x0,2, 16 .(本小题满分 6 分)已知函数f( (x) )= 4 X，x ( 2,4. ky (第15题图) (第 16 题图) 17. (本小题满分 8 分) 某班有学生 50 人，其中男同学 30 人，用分层抽样的方法从该班抽取 5 人去参加某社区服务活动。 (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数； (2) 从抽取的 5 名同学中任选 2 名谈此活动的感受

5、，求选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学的概率。 18. (本小题满分 8 分) 已知等比数列an的公比 q = 2，且 a2,出+ 1, 成等差数列。 求 ai及 an； 设 bn= an+ n,求数列b n的前 5 项和 S5。19. (本小题满分 8 分)已知向量 a= (1,sin), b=(2,1)。 (1)当 u 时，求向量 2a+ b 的坐标； 6 n n 若 a /b,且张(0,),求 sin(0+)的值。 2 4 20. (本小题满分 10 分) 已知圆 C: x?+ y2 + 2x 3= 0o (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长； 直线 I经过坐标原点且不与 y 轴重合

6、，I与圆 C 相交于 A(X1,y”、B(X2,y2)两点，求证: 为定值； (3) 斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点，求直线 m 的方程，使 CDE 的面积最大。x 1 X2 20.解：（1）配方得（x+ 1）2+ / = 4,则圆心 C 的坐标为（1, 0）（2 分）,圆的半径长为 2（4分）; （2）设直线 I的方程为 y= kx,联立方程组y 2x 3-0 =kx 消去 y 得（1+k2）x2+ 2x 3= 0（5 分），则有：x 1 x2 ,x1 x2 二-（6 分） 1+k 1+k 所以丄丄=x1 X2 =2为定值(7 分)。 x 1 x 2 x 1 x 2

7、3 （3） 解法一 设直线 m 的方程为 y= kx + b,则圆心 C 到直线 m 的距离d =|b_1 1, Q2 所以 |DE| = 2 R2 _d 2=2 4_ d2 (8 分),2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷 参考答案及评分标准 、选择题（每小题 4 分，满分 40 分） CDBBA CDACA 二、 填空题（每小题 4 分，满分 20 分） 2 11.6; 12 上；13.4； 14.2； 15.45（或 ） 3 4 三、 解答题（满分 40 分） 16.解：（1） 函数 f（x） 的大致图象如图所示（2 分）； （2）由函数 f（x）的图象得出，f（x）的最大值为

8、 2（4 分）， 其单调递减区间为2,4（6 分） 30 17.解:(1) 5 =3(人)， 50 50 ），所以从男同学中抽取3人女同学中抽取2人（4分）； (2)过程略。 18.解：(1)由已知得 a2= 2a1, a3+ 1 = 4ai + 1 , 34= 8a1，又 2(a3+ 1) = a2+ 比， 所以 2(4Q + 1)= 2a1 + 8a,解得 a1= 1(2 分)，故 a)qn-1= 2n-1(4 分)； 因为 bn=2n-1+ n,所以 S5= b1 + b2+ b3+ b4+ b5= 1(?_ 亠(1_5) 5 = 46(8 分) 21 2 19解: 因为二池，所以a=（

9、1,2）， 于是向量 2a+b= 2( 1,-) (2,1)=(4,2) (4 分) 2 1 下 因为 a/ b,所以sin （5 分），又因为 v （0,），所以cos 2 2 中（6分）, 所以 s吩 4 csin厂 2 6(8 分)。 （第 16 题 2 2 S CDE =11 DE I d 二 4 - d2 d 匕（4 - 復）d =2 , 当且仅当 d = 4 d，即d = 2 时， CDE 的面积最大（9 分） 从而|b -1 L 2，解之得 b= 3 或 b=-1, 42 故所求直线方程为 x y + 3= 0 或 x y 1 = 0（10 分） 解法二 由（1）知 |CD= |CE= R = 2, 所以 S CDE =1 |CD | | CE | sin DCE =2 sin DCE 仝2, 当且仅当 CD 丄 CE 时， CDE 的面积最大，此时|DE |= 2、. 2 （8 分） 设直线