北大随机过程课件：第2章第1讲随机游动

1、随机游动1随机游动棋型设有一个质点在x轴上作随机游动，在t=0时在x轴的原点，在t=l,2,3,.时沿x轴正 方向或反方向移动一个单位距离，沿正方向移动-个单位距离的概率为p，沿反方向移动一 个单位距离的槪率为q-1-poXXxZ、xxZ Xz/ z质点随机游动构成一个离散时间、离散状态的随机过程。记质点在第n步时的状态为r)n,n = 0,1,2, , 样本空间：-3,-2,-1,0,1,2,3 初始态：= 0 一步转移概率：经过一步从状态1转移到状态j的概率P J=l+p. = q = -p J = 1-10otherwise2.他机游动棋型的"析经过逊垢的位置特征经过n步返回原

2、点的櫃率；经过n步第一次返回原点的槪率； 第二回原点所需的里均时间迟早返回原点的樣率；多次返回原点的槪率；经过n步达到+1的概率： 第1次通过最人值:2. 1经过n步以后的位Jt特征：概車*布、铳计特征质点在第D步时的状态为= 0丄2,，?牡过时间m质点距点的距离为mflWR率P%=mr)n是-个随机变最，它的可能取值是：2-n,0,1,并-1,町若质点移动n步后到达r)=m的位克，则所有的移动中，止方向移动竺巴步，反方 向移动匕巴步，因此：2维概率分布:m=aii+2,n+4,m <n均值:氐=土3;其中長为每一步的移动，Jt-1= 1= A L = -l= = 12 ,nEfeJ=

3、= !*!+= !*(-!) = p-q£讣 E f 讣 »卧 n(p - q),J E£7；)=£= E 竝詁Jt=l /=1Jt=l /=!k=l 1=1考虑到Z，卜 E訂 E 必卜(p-g)2;k = l，E朋卜 l'p +(-1)5*十g = l e2= ££ E為+ £ 4441= n(n-l)(-g)2 +11ir»l /»1i«ll#k方蔓EIh - EW )f = Ek + 因仏)2-勺 /W )=航)-=n(n -)(p-q)2 +n- n2(p - q)2= n-n(

4、p-q)1=4npq若 n<m.E【”W”，卜灵£弓L Elgn m=E工工躺Jk-1 /-In mk=l /=1n mn二工工低鼻)Jtl 21i-1l.kn m二工工9-g)5jt=i i=ilk=n(ml)(p-q)2 + n若 n>m, Erjn-r/m= m(n - l)(p - q)2 + m k-7m= minn,m|l - (p _ g)*+ nm(p-q)1概率分布:刃几=0=2. 3第一次返原点的概車m-n<n+2<n+4,41-241：m <n均值：Eg = Hp-q)方差：可久-纠久)*4咖相关函数:Er/n rjm = nnnn

5、.m -4pq + nm (p -q)22.2经过n步返回原点的概卒根据-维分布的分析可丸I，第n步返回原点的槪率为:0, n为奇数Z 、n nn ppm只令经过偶数步才能返冋原点，经过奇数步返冋原点的概率为0。考虑经过2n步返回原点的概率，记作:(2n如”=P% = 0=pnqnW丿第2n步第-次返回原点的事件记作：凤” =严0,7工° 2心工°皿厂0第2n步第一次返回原点的概率记作：V2n = PB邙=Pg 工 0, 工 0 工°，九=°第2n步返冋原点的概率与第2n步第一次返冋原点的概率的关系是:n% = V2n +冬“-02 + V申I =工冬0

6、"心利用矩生成函数求概事分布及数字特征对于均”与卩2注意到V。= 0山。=1可以得到F列的矩生成函数.t/（z） = l + X "2匸"=1 + E £ 冬0卄#"n=l Jt=l=1+折 “E% 严=i+u（二）二）m=0k=0对J：经过2 n步返冋原点的概率处“丽仙）（2n）（2n - 2）4 2（2n-l）（2n_3）3l（pg）”nn今込透（丽nJl/2、n（-4丽n匕，的矩牛成两数为coco5二）=IX八工n=0时-1/2、n-1/2、n（-4皿）7=sn=0 n=O （-4pg，）”卜ApqF7）=1-7（二）=1-Jl - 4p

7、g 二'2. 4迟早返=（-1 厂（1/2）（一1/2）（一3/2）（1/2一（_1）nI丿（2n-3）（2n-5）-3125!（4 灼）”12/?-12（皿）”13原点的柢本第2n步第一次返冋原点的书件记作：耳” =5式0,仏工0, “一】工0，九=0第2n步第一次返冋原点的概率记作：V2n =卩坊" = Pg 工 °，三工 °，9“2>T 工 °，“5 = °随机游动迟早返冋原点的概率，00com=0n=0=_ Jl_4pg= -p-q=fl-|p-g|<l p*q1 p = q随机游动第一次返冋原点花费的平均时间,“

8、=士2"（坊）=乞2讥n=0n=0g）pqp = q随机游动的也等式 考虑到（-）= I/（二）=1- Ji - 4pg 二 2小-4pqh可以得到1- 卩（二）=- 4pq二' =（1 - 4pqz2）/Jl-Apqz1 =（1-4加于）5 二）也就是说，- = um -伽% = 4p 如"对J：对称的随机游动J9 =（j = 1/2,就冇=V2n+2=V2h+2 +V2n-H + 冬”力 +2. 5多次返G)“在2n次试验屮，第【次返回原点S相应的概率记作，vo利用递推公式仃 v<r> = V vVln 乙 Vlk vln-2ki=0相应的生成函数是

9、800 00丹（二）=£卩泸”二工必匕迟 <；夕n=0fc=0n=0=7（二）严）（二）=旷（二）考虑到卩（二） = l-Jl-4pq 丁经过推导，可以得到恒等式厂"（二）=r（z）rlr_u （z） = （l-J1 - 4pqF）厂I （二）=妙7（二）_ Jl_4pq，旷勺（二）=（二）_ Jl _ 4pgY （1 - J1 - 4刖二'）（二）=（二）一 J1 一 4pg 二妙勺（z）+（ 1-4 pqF） V（r2）（二）=0LU （二）一卜 4pq 二"7）（二）+ 0r-2）（二）一 4 pq 二计 T）（二）=0r_1> （二）+

10、 Z（r'2）（二）（1- Jl-4pg 二 * - 4 pqT 厂 F （二）=yrl）（二）+ 妙 F （二）7（二）-4 如严（二）=2严，（二）-4 珂07 （二）山此得到递推公式吧)=2當-4pg监?初值必？已经可以计算出，由此得到“在2n次试验中，第1次返冋原点”的概率为2(pg)”26 第n步第1次达到+1的"件以及相应的概卒爭件g <0,/?2 SO,1 <0, = 1表示第1次达到+1,第1次穿过+1的事件。 相应的概率记作：“ =Pg SO,久 SO,I SO,” = 1）其中初始条件是始=0, % = p。考虑“ n > 1第1次达到+

11、1 ”的事件，呦=-1 = 9存在一个整数k<n, k = ,2, n-2,使得 = 0,在以后的zk步，第1次达到+1。呦=-1,仏<0,也v 0,严0=Pg = 0皿<0,久=1=入第11步第1次达到+1的班件，町以分解为4斥的爭件，第D步第1次达到+1的槪率为 这些互斥事件的概率的和g = g （空血T + 叽、+血） 斤> 1第n步第i次达到+i的概率的矩生成两数是，cooon1=工如"="+工q工二”n=ln=2cocom=li=l= p= + g二&（二）1-Ji-4如迂勾二 e（二）=z（s）考虑到,因此有,v：= 12n-2n

12、 -11 n2(pg)”2n-l2q% = Q进一步自4_(-1厂丫/22q "(4灼)”n»l2q'pg p<g lp>q工血# 1w-11计算第1次穿过+】的平均时间是n»ll/(p-g)p >qCOp = qp/g(g-p)q>p2. 7第1次通过瑕大值给定一个期里的最人值"严表示“在第n步第一次通过卍的概率。圧义第1次通过垠人値r的矩生成函数（二）=乞妒二、t） n=l进一步町以得到内（二） = （%）' 丁（二）由此得到plnHr”2glE”2如果p = g = l/2佔ng)/2.2"n附录1:矩生成函数对于一个取整数值m，的随机变最X,具柑应的矩牛成甫数定义为:(二