大学化学课件：第5章 特征值与特征向量

1、 5.1 ，非零列向量，非零列向量称为矩阵称为矩阵注：注：(1) 特征向量特征向量 0，特征值问题是对方阵而言的特征值问题是对方阵而言的。称为方阵称为方阵 A 的的.（2）| E- A | = 0，.0-212222111211nnnnnnaaaaaaaaa即即(3) | E -A|称为方阵称为方阵 A 的的. (4) n 阶方阵阶方阵 A 有有 n 个特征个特征值。值。2 2、特征值和特征向量的求法、特征值和特征向量的求法 求求 阶方阵阶方阵 的特征值与特征向量的步骤：的特征值与特征向量的步骤： Ani（3） 对对每个特征值每个特征值 , ,求线性方程组求线性方程组( (i E E- -A)

2、 X =0，A 即是即是 的特征值；的特征值； 的基础解系，的基础解系， 基础解系的线性组合（零向量除外）基础解系的线性组合（零向量除外）i对应于对应于 的全部特征向量的全部特征向量A就是矩阵就是矩阵 的的(1) 计算计算A的特征多项式的特征多项式| E -A|；（2）求矩阵求矩阵A的特征方程的特征方程| E- A | = 0的全部根的全部根 i ，注：注： 零矩阵的特征值为零，任何非零向量都是其特征向量。 单位矩阵的特征值为1，任何非零向量都是其特征向量。 例例 求矩阵求矩阵201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多项式为的特征多项式为201034011A

3、E所以所以A 的特征值为的特征值为 . 1, 2321时，当210010140132AE,000010001, 02XAE相应的齐次方程组为,122,1 , 0 , 01T相应的方程组为相应的方程组为 , 0, 021xx令令x3=1,得基础解系得基础解系,132时当 其中其中k1为任意非零常数为任意非零常数.,2111kA的全部特征向量为的对应于所以，, 0XAE相应的齐次方程组为101024012AE21, 2,1,T ,000210101相应的方程组为相应的方程组为 , 02, 03231xxxx令令x3 = =1, 得基础解系得基础解系 其中其中k2为任意非零常数为任意非零常数.,12

4、232kA的全部特征向量为的对应于所以， 例例 求矩阵求矩阵aaaA的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多项式为的特征多项式为,naAE）（ 所以所以A 的特征值为的特征值为 .21an时，当a000000000AaE, 0XAaE相应的齐次方程组为相应的方程组为相应的方程组为 , 0001nxx100,010,00121neee是基础解系，是基础解系，的全部特征向量为的对应于aA,11nnececc1 , c2 , , cn 是不全为零的任意常数。是不全为零的任意常数。 3、0为任意常数为任意常数 。12 且且12 0，则，则12 。性性组合组合 。 是方阵是方阵 A 的

5、特征值，则的特征值，则m 是是 Am 的特征值的特征值(m 为正整数为正整数)。 是方阵是方阵 A 的特征值，则的特征值，则 = a0 + a1 + + amm 是是 A = a0E+ a1A + + amAm 的特征值。的特征值。A (9) 是是 的特征根，的特征根， 可逆时，可逆时，A11A是是 的特征根的特征根. 设设 A 是是n 阶幂等方阵阶幂等方阵(A2=A), 证明证明A的特征值为的特征值为1或或0. 方阵方阵 A与与AT 具有相同的特征多项式和具有相同的特征多项式和特征值特征值。12 n = | A |.1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ; 故故 A

6、 = | A | A- -1 .因因 A 的特征值全不为的特征值全不为 0，所以，所以 A 可逆，可逆，而而 | A | = 123 = - -2，所以，所以EAAB23*.2321EAA 设三阶矩阵设三阶矩阵 A 的特征值为的特征值为,2, 1, 1 设矩阵设矩阵,23*EAAB B 的特征值的特征值; | B |.试求试求:(2)1)(1)|B. 9, 1(1), 31)(. 3)2(令令,232)(1EAABA则则,232)(从而可得从而可得 B 的特征值为的特征值为 3、 i i i (i=1,2, ,m)111222mmm用反证法用反证法.假设假设 p1 + p2 是是 A 的特征向量，的特征向量， 则存在则存在 , 使使 A(p1 + p2 ) = (p1 + p2 ) ，设设 1 , 2 是是矩阵矩阵 A 的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为 p1 , p2 , 证明证明 p1 + p2 不是不是 A 的特征向量的特征向量. 于是于是(p1 + p2 ) = 1p1 + 2p2 ， 即即(1 - - )p1 + (2 - - )