第四章(均衡净保费)

1、第四章均衡净保费一均衡净保费产生的原因n寿险中自然保费是根据被保人的出险概率和保额计算保费，保费会随着被保人的年龄增大而提高，使人们年老时因缴不起昂贵的保费而退保，失去保险保障。为克服自然保费的这种不足，人们提出采用均衡净保费缴费方式：把自然保费在长期内均衡化、平均化，在保费交付期内，每隔一定时期交付相等数额的保险费。例1n(x)购买了一份保险，已知简略未来生命时间长度的分布如下：n保额为常数1，在被保人死亡年度末支付。假设保险的年度保费为P，在被保人或者的情况下每年年初支付。确定保费 P。n（1）亏损概率小于20%；（百分位保费）n（2）等价原则；n（3）指数保费原则。( )0.1,0,1,

2、9.P K xkk二 均衡净保费与趸缴净保费的关系（一）n均衡净保费厘定原则平衡原则：n保险人的潜在亏损(保险人的损失)均值为零。=给付金现值-纯保费现值E（ ）=0E（给付金现值）=E（纯保费现值）n均衡 净保费与趸缴净保费的关系E（趸缴净保费现值）=E（均衡净保费现值）0L0L均衡净保费与趸缴净保费的关系（二）n趸缴净保费是满足未来给付的保费，它理论上应该等于均衡净保费的现值，均衡净保费的缴付是以被保人存活为条件的，它实际上是一个生存年金。设趸缴净保费为A,每期缴均衡净保费为P,每次一单位生存年金现值为 ，则有 。a APa三 均衡净保费的种类n完全离散均衡净保费n死亡年末给付（离散）n离

3、散缴费n完全连续均衡净保费n死亡即刻给付（连续）n连续缴费n半连续均衡净保费 n死亡即刻给付（连续）n离散缴费本章介绍n各种模型下的均衡净保费的计算公式。n各种模型下的均衡净保费计算公式之间的关系。n损失方差的计算：用于评估实际损失偏离收付平衡（E( )=0）的程度。0L4.1 完全连续保费1 终身人寿保险n条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续）n厘定过程： 01( )()()(1),0.(2) ( )(),0.TTwwxxTtxtPPLl TvP A aZP A YvTl tvP A a t（） 终身人寿保险厘定过程：00

4、2222222022200(3) ()0()0 1().11(),.()()()()(4)()(1) () =()(1)()()1(6)( )1()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxLTELAP A aAAP AaaAP AaAP AP APAAAAVarLAAaAELVarLPuFuFInP 可得：（5）=2 限期h年缴费的终生寿险n假设（x）投保保额为1个单位的h年限期缴费的完全连续型终生寿险。0( )( )()()ThTThhwtxhxxx hvP A aThLvP A aThZP A YP AA a：3 定期寿险n假设（x）投保保额为1个单位的n年定期寿险。（年缴保费次数与保

5、险期限相同）1:01:1:11()0()()()TxnTxnnttxnxnxnxnvP AaTnLP AaTnZP AYP AAa：4 n年生存保险n假设（x）投保保额为1个单位的n年生存保险。1:01:1:11:0()()()()x nTnx nnpetx nx nx nx nP AaTnLvP AaTnZP AYP AAa：5 两全保险n假设（x）投保保额为1个单位的n年普通两全保险。（年缴保费次数与保险期限相同）:0:11:()()()()()()Tx nTnx nnetx nx nx nx nx nx nvP AaTnLvP AaTnZP AYP AAaP AP A： 两全保险厘定过程

6、：0:0:22222:0:(1)( )()(1),(2) ()0()0 1().1()1,.()()()()(3)()(1) () (eeex nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nPPLl TZP AYZELAP AaAAP AaaAP AaAP AP AP AAAVarLAAa可得：22:22:200()=)(1)()()x nx nx nx nAAAELVarL（4）=6 h年限缴的n年 两全保险n假设（x）投保保额为1个单位的h年限缴的n年两全保险。:0:11:()()()()()()()Thx nTThx

7、nhnhx nhethx nhhhx nx nx nx hx nvP AaThLvP AahTnvP AaTnZP AYP AAaP AP A：7 h年延期的终身生命年金n假设（x）投保保额为1个单位的h年递期终身命年金01:0()()()()()ThxhThxhhdtxhxxx hhhx hPa aThLaavPa aThYPa YPaAaa常见险种的完全连续均衡净保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年生存保险n年两全保险h年支付终身寿险h年支付n年两全保险n年延期终身生命年金()xxxP AA a11()x nx nx nP AAa：()xxhx hP AAa：11:()x nx

8、 nx nP AAa：1:()xxx nnnx nPaAaa11:()()()hhhx nx nx nx hx nP AAaP AP A：11:()()()x nx nx nx nx nP AAaP AP A：例4.1n已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求n注意当 为常值时，().xP A0(1) ()(2)()xP AVarLx t4.2 完全离散保费1 普通终身寿险n条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年期初缴费。n厘定过程：10102222222022(1) = Z - ,K0,1,2,1(2) ()001()()(3)()(1) () ()(1)Kx

9、wxwKxxxxxxxxxxxxxxxxxxLvPaPYAdAELAPaPdaaAPAAAAVarLAAddaA2 限期h年缴费的终生寿险n假设（x）投保保额为1个单位的h年限期缴费的终生寿险。1101= Z -KhxKKhxhwhxtvPaKhLvPaKhPY3 定期寿险n假设（x）投保保额为1个单位的n年定期寿险。（年缴保费次数与保险期限相同）11:101:1:0= Z -Kx nKx nnttx nvP aKnLP aKnP Y4 n年生存保险n假设（x）投保保额为1个单位的n年生存保险。1:101:1:0= Z-x nKnx nnpetx nPaKnLvPaKnP Y 5 两全保险n假

10、设（x）投保保额为1个单位的n年普通两全保险。（年缴保费次数与保险期限相同）1:10:= Z -Kx nKnx nnetx nvP aKnLvP aKnP Y 完全离散两全保险厘定过程：:0:0:222222:02:(1)(1),(2) ()00 1.11,.()(3)()(1) () =()x nx neeex nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nxx nx nx nPPLZP YZddELAP aAdAPdaaAPaAPdPdPAAAVarLAAdda可得：2:2:200()(1)()()nx nx nAAELVarL（4

11、）=6 h年限缴的n年两全保险n假设（x）投保保额为1个单位的h年限缴的n年两全保险。1:110:= Z -Khx nKKhx nhnhx nhehtx nvPaKhLvPahKnvPaKnP Y7 h年递延终身生存保险n假设（x）投保保额为1个单位的h年递延终身生存保险1010()()()= - ()xhKhxhKhhdxthP a aK hLaa vP a aK hY P a Y 常见险种的完全离散均衡净保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年生存保险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险xxxxxNMaAP )()(11nxxnxxnxnxnxNNMMaAP： )(

12、hxxxhxxxhNNMaAP： )(11nxxnxnxnxnxNNDaAP： 11:() ()()()xx nx nxx hhx nx nx hhhx nx nPAaMMDNNP AP A：11:() ()()()xx nx nxx nx nx nx nx nx nPAaMMDNNP AP A：典型关系：例4.2n设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率函数为n在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时，计算保险人亏损现值的期望值与方差（i=6%）。3 , 2 , 1 , 0 410kqk例4.2答案1101031040.06012022412.36%46%(1)(

13、1)()01 (1)0 (1)404 6.4780.3667(2)()(1)11(1)2(1) () 0.17788 44KKKkkkKPPLvPavddELPPPPvqaddddPPdPPVarLEvddPP PPa adddd 例3.3n假设终身寿险保单于30岁签单，保险金额为20000元，试求：n（1）普通终身寿险的年缴净保费；n（2）20年限期缴费终身寿险的年缴净保费；n（3）65岁缴清终身寿险的年缴净保费；例4.3n设年龄为25岁的人，购买15年定期寿险，保额为1000元，试求其自然净保费和均衡净保费。例4.4n设年龄为25岁的人，购买20年限缴的30年储蓄寿险，保额为1000元，试

14、求其均衡净保费。例4.5n试证：n 都是在（x）生存的前提下最多支付n年的年缴保费，在n年期间两保险提供的保障一样:在（x）死亡年度末支付1. 若（x）生存至x+n年， 对应的保险是给被保人在n时支付生存年金1，而 则留给被保人一份单位保额的(x+n)的终身寿险，且被保人无须再缴费。在x+n年往后二者待遇差相当于一份 单位的n年期生存保险，由n年缴费，年缴 对应。1,:(1)nxx nx nx nPPPA,nxx nPP, x nPnxP(1)x nA,nxx nPP和 半连续均衡纯保费厘定（终身寿险为例）n条件（x）死亡即刻给付1单位赔偿金，而被保险人从保单生效起按年期初缴费。n厘定过程：0

15、1022201( )()(2) ()0()0 ()(3)()(1) () TxKxxxxxxxxLl TvP A aAELAP A aP AaPVarLAAd（）常见险种的半连续均衡净保费保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险n年生存保险m年递延终身生存保险()uddxxxxiP AAaP111:()uddx nx nx nx niP AAaP：11:()uddx nx nx nx nx niP AAaPP：()uddxxhxhx hiP AA aP：11:()x nx nx nP AAa：1:()()xxx mx mxx mmmx m

16、PaAaaNNN11:()uddhhhx nx nx nx nx hiP AAaPP：例4.6n根据附录示例生命表及利率6%计算10:3510:3510:353)(2)(1PAPAP）（）（）（例4.6答案056. 092.9395376.18866369.6657)5427.13396833.1577(3073. 092.9395376.18866369.6657)5427.13396833.1577(0297. 1)()(2075. 0)69.665776.12256(21)92.9395376.188663(69.6657)5427.13396833.1577(0297. 1)(21)(

17、)()(1453545453510:354535454535453545453510:3545354535454535453545453510:35NNDMMPNNDMMiNNDMMAPDDNNDMMiNNDMMAP）（）（）（例4.7n(25)购买保额为1000元的半连续式寿险保单，年利率6%在udd假设下计算下列各保单的年缴净保费。n1 普通终身寿险；n2 35年定期寿险；n3 35年储蓄寿险；n4 35年限期缴费终身寿险。4.3 每年缴纳数次的净保费厘定n一：真实分缴保费：年缴m 次，死亡保额不作调整时的保费。计算年缴m次，每1/m年初缴纳等额的等额年度净保费。nm一般为2,4或12。每

18、年缴纳数次的真实分缴净保费厘定n条件：在每一保单年度内，保费分m次缴纳。n厘定过程：（终身寿险为例）()()01()()()0()()2220()1( )()(2) ()0()0 ()(3)()(1) () TmmxKmmmxxxxxmxmxxmLl TvPAaAELAPA aPAaPVarLAAd（）离散型真实分缴净保费公式总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年生存保险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险()()xxmmxPAa1()1()x nmmx nx nPAa：()()xx hmmxhPAa：()11()xnmmxxnnPAa：()()1()()1:x hmmm

19、mhhhx nx nx nx nPAaPP：()()1()()1:()()x nmmmmx nx nx nx nPAaP AP A：连续型真实分缴净保费公式总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险 h 年限缴 n年生存保险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险()()()xmmxxPAAa11()()()x nmmx nx nPAAa：()()()x hmmxxhPAAa：()11()()xhmmhxxnnPAAa：1()()()()1:()()()x hmmmmx nx nx hhhhx hPAAaPAPA：1()()()()1:()()()x nmmmmx nx nx nx

20、nPAAaPAPA：其中()()()()()()()():():( )( )( ) ( ) 12( )( )(1)1(1)2 mxxmmmmmmxxmnxx nx nmnxx nx nam amidiimmididmaamam amEmaaEm其中：例4.7n对于（50）的人死亡年末给付1万元的20年期两全保险。计算按半年分期缴费的净均衡年保费，年利率6%。n决定相应的死亡即刻给付的净均衡年保费。例4.7答案19.3251000010000096159.11)1)(2() 2(25739081. 0) 2( 0002122. 1) 2(23047353. 0 291832.11361. 012

21、20502050220505020205022050)2()2()2()2()2(507050205070502050507070502050）（：）（：）（：）（aAPEaadiiidiidDDEDNNaDDMMA 例4.7答案68.32810000)(100003647119. 0)(22205020502050250707050507070502050）（：）（：）（aAAPDDMMiDDMMA 例4.8n（40）的人签发保额为5000元的全离散式25年的定期寿险保单，试利用换算函数表在UDD假设下计算（1）普通年缴净保费（2）季缴净保费（3）月缴净保费。例4.9n（20）的人签发保额为50000元的寿险保单，试利用换算函