电磁场与电磁波 矢量分析(11-13)

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波11.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波21. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：

2、标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析

3、电磁场与电磁波电磁场与电磁波3zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波4（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2

4、. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波5（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA

5、B A B 0BA/A BAB第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波6（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波7CBAanaBaAOC ABBA(a

6、)(b)矢量积的图示及右手螺旋矢量积的图示及右手螺旋 ( (a) ) 矢量积矢量积 ( (b) ) 右手螺旋右手螺旋,xyzyzxzxyaa = a aaa aaa0 xxyyzzaa = aaaa第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波8（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波9第一章第一

7、章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波10 例题例题:给定三矢量给定三矢量C23xyz zA eee4xz zB ee52xz zC ee求求:(1)(2)B (3)(4)ABA在在C方向上的分量方向上的分量(6)A C(5)解解:(1)22212( 3)14A (2)1 ( 4)(2 0)( 3) 1xyzA Beee 524xyzeee22252( 4)35AB 第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波11(3)1 ( 4)20( 3) 17A B (4)根据公式根据公式cosABA BAB 77c

8、os14 17238ABA BAB 7cos117238ABarc第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波12(5)CAA先求矢量先求矢量A的大小的大小,即即11cos29ACACACAAACAC 再求矢量再求矢量A的方向的方向,即即015229xzCCCCeeCC故故矢量矢量A为为0115229xzAA Cee(6)利用行列式求利用行列式求解解12341310502 xyzxyzeeeACeee第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波13 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三

9、维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球坐标系标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电

10、磁场与电磁波141. 直角坐标系直角坐标系zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee, 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSz

11、zdddzxeSyyddd第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波152. 圆柱坐标系圆柱坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场

12、与电磁波电磁场与电磁波16ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐标系球坐标系, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rP第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波174、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位

13、矢量之间的关系第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波181.3 标量场的梯度标量场的梯度标量场标量场：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。矢量场：矢量场：流速场、重力场、电场、磁场等：流速场、重力场、电场、磁场等。 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。标量场和矢量场标量场和矢量场第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波19第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量

14、分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波201.1. 标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量

15、场的等值线标量场的等值线( (面面) )第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波212. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。00coscoscos|limMluuuuullxyz 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化

16、率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波22梯度的表达式梯度的表达式：zueueueuz1圆柱坐标系圆柱坐标系 ureurerueursin11球坐标系球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最

17、大值的方向max|luuel luel第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波23标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0标量场的梯

18、度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波24 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应