电路课件第九章正弦稳态电路的分析

1、第九章第九章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 重点：重点： 复阻抗复导纳复阻抗复导纳 相量图相量图 用相量法分析正弦稳态电路用相量法分析正弦稳态电路 正弦交流电路中的功率分析正弦交流电路中的功率分析 谐振谐振 9-1 阻抗和导纳阻抗和导纳1. 复阻抗与复导纳复阻抗与复导纳正弦激励下正弦激励下IZU+- -线性线性无源无源IU+- -jXRZIUZ| 复阻抗|Z|RXj j阻抗三角形阻抗三角形iuj jj jj j 单位：单位： IUZ 阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角电阻电阻电抗电抗复导纳复导纳YYjBGUIY |Y|GBj j 导纳三角形导纳三角形ZYYZ1 , 1 对同一二端网络对同一二端网

2、络:单位：单位：SUIY |uij jj j 电导电导电纳电纳阻抗阻抗导纳导纳2. R、L、C 元件的阻抗和导纳元件的阻抗和导纳（1）R：RRIRU （2）L：LjLjYLjZLL 11,（3）C：CjYCjCjZCC ,11GRYRZRR 1,LLILjU CCUCjI 3. RLC串联电路串联电路用相量法分析用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。串联电路的阻抗。由由KVL：. 1. . . . . . ICjILjIRUUUUCLR IXXjRICLjRCL)()1( IjXR)( CLRuuuu 其相量关系也成立其相量关系也成立LCRuuLuCi+- -+- -+- -+- -uR. I

3、j LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1+- -RU. j j | ZjXRIUZ则则Z 复阻抗；复阻抗；R电阻电阻（阻抗的实部）；（阻抗的实部）； X电抗电抗（阻抗的虚部）；（阻抗的虚部）； |Z|复阻抗的复阻抗的模模；j j 阻抗角阻抗角。关系：关系： arctg | | 22 RXXRZ或或R=|Z|cosj jX=|Z|sinj j|Z|RXj j阻抗三角形阻抗三角形iuIUZj jj jj j 电路为电路为感性感性，电压领先电流；，电压领先电流；电路为电路为容性容性，电压落后电流；，电压落后电流；电路为电电路为电阻性阻性，电压与电流同相。，电压与电流同相。jZjX

4、RCLjRIUZ)1(CL 1 0, 0 j jXCL 1 0, 0 j jXCL 1 0, 0 j jX4. RLC并联电路并联电路由由KCL：CLRIIII iLCRuiLiC+- -iL. Ij L. ULI. CI. Cj 1R+- -RI. UCjULjUG 1 UCjLjG)1( UBBjGCL)( UjBG)()( uiuiUIUIUIYj jj jj jj j Y 复导纳；复导纳；G电导电导（导纳的实部）；（导纳的实部）； B电纳电纳（导纳的虚部）；（导纳的虚部）； |Y|复导纳的模；复导纳的模；j j 导纳角。导纳角。关系：关系： arctg | | 22 GBBGY或或G=

5、|Y|cosj j B=|Y|sinj j |Y|GBj j 导纳三角形导纳三角形uiUIYj jj jj j YjBG | 电路为电路为容性容性，i 领先领先 u；电路为电路为感性感性，i 落后落后 u；电路为电电路为电阻性阻性，i 与与 u 同相。同相。jYjBGLCjGIUY)1(LC 1 0, 0 j jBLC 1 0, 0 j jBLC 1 0, 0 j jB同直流电路相似：同直流电路相似：ZZ1Z2+ +- - - - U1 U2 U I , :UZZUZZkkkk串联串联 21UUU9-2 阻抗（导纳）的串联和并联阻抗（导纳）的串联和并联21ZZIUZ IZIZ21 IZZ)(2

6、1 UZZIZU111同直流电路相似：同直流电路相似： IY+- - UY1Y21 I2 I , :IYYIYYkkkk并联并联IYYYIYYY21112121 IIIIYYUYI222 IYYUYI111例例：已知：已知 Z1=10+j6.28 , Z2=20- -j31.9 , Z3=15+j15.7 。ZZZZZZZZ321213abZ1Z2Z3ab求求 Zab。9 .312028. 610)9 .3120)(28. 610(2121jjjjZZZZZ ooo 5 .4045.3961.5765.3713.3281.1186. 289.10 j 6 .359 .3156188925 86

7、. 289.107 .1515o3ab .j.jjZZZ。，求各支路电流和电压，求各支路电流和电压，例：已知例：已知1021/3141001010005 . 010 UsradVUFCRHLRS R2R1+- -+- -Lj Cj 1SU I1 I2 I10 U 0100SU设：设： 10001021RRZZ， 157jLjZL 5 .3181jCjZC CRLRZZZZZ/21 5 .3181000)5 .318(100015710jjj 132102j 3 .52167ZUIS 3 .521670100 3 .526 . 0。，求各支路电流和电压，求各支路电流和电压，例：已知例：已知102

8、1/3141001010005 . 010 UsradVUFCRHLRS R2R1+- -+- -Lj Cj 1SU I1 I2 I10 U 10001021RRZZ， 157jLjZL 5 .3181jCjZC 7057. 021IZZIR 3 .526 . 0I 3 .52167Z 20182. 02IZZIC 201822210IZUR1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；2. 选定一个参考相量（设初相位为零）。选定一个参考相量（设初相位为零）。URICUURj L1/j CULICIRIR+- -RU+- -LICILU 9-3. 电路的

9、相量图电路的相量图 用途：用途：定性分析定性分析利用比例尺定量计算利用比例尺定量计算例例 选选 为参考相量为参考相量RU 串联电路选电流，串联电路选电流， 并联电路选电压。并联电路选电压。R2R1+- -+- -Lj Cj 1SU I1 I2 I10 U画出该电路的相量图。画出该电路的相量图。 01010UU设设10 U1 I2 I I1RU LU SU 9-4 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较： GuiRiuui : 0 :KVL 0 :KCL :或或元件约束关系元件约束关系电阻电路电阻电路 : 0 :KVL 0

10、:KCL : UYIIZUUI或或元件约束关系元件约束关系正弦电路相量分析正弦电路相量分析可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的用于正弦稳态的相量分析相量分析中。中。列写电路的回路电流方程和节点电压方程列写电路的回路电流方程和节点电压方程例例1. 解解：+_susiLR1R2R3R4CSI+_R1R2R3R4Lj cj 1SU1I2I4I3I回路法回路法:SUIRILjRILjRR 3221121)()( 0)()(331124

11、31 IRILjRILjRRR 01)1(42312332 ICjIRIRICjRR SII 4SI+_R1R2R3R4Lj cj 1SU1nU2nU3nU节点法节点法:SnUU 1011)111(33122321 nnnURURURRLjR SnnnIUCjURUCjRR 1233431)11( 例例2、列出该电路的节点电压、列出该电路的节点电压方程和回路电流方程。方程和回路电流方程。1Z3Z4Z5Z3 I3 I 3SU 2SU + + 选结点选结点为参考结点。为参考结点。21SnUU 3351125111)11( IUZUZUZZnnn 332513354311)111(ZUUZUZUZZ

12、ZSnnn 33313ZUUUISnn 回路电流方程：回路电流方程：1Z3Z4Z5Z3 I3 I 3SU 2SU + + + U1lI 2lI 3lI 2334143)(SSllUUIZIZZ UUIZSl221 UIZIZZll14354)(332 IIIll 13lII 例例3、求图示电路的戴维宁等效电路。求图示电路的戴维宁等效电路。+ 2 Ir3SI 2 I1SU 1Z2ZOCU +OCU 1、求开路电压、求开路电压22222)( IrZIZIrUOC1nU 311121)11(SSnIZUUZZ 221 IZUn213112ZZIZUISS 213112)(ZZIZUrZUSSOC 例

13、例3、求图示电路的戴维宁等效电路。求图示电路的戴维宁等效电路。+ 2 Ir3SI 2 I1SU 1Z2ZeqZ2、求等效阻抗、求等效阻抗213112)(ZZIZUrZUSSOC 122001ZZrZIUZeq 2220 IZIrU12220ZIZII + 2 Ir2 I1Z2Z+0 U0 I已知：已知：Z=10+j50 , Z1=400+j1000 。?90o1相相位位差差和和等等于于多多少少时时，问问：SUI11111)1( IZIZIZIZUS例例4.解解： I1 I1 IZZ1+_S Uo1190 , 相位差为相位差为实部为零实部为零，关系：关系：和和分析：找出分析：找出eqeqSSZI

14、ZUUI )501050(10410)1( 11jZZIUS 41 010410 ，令令.90 1000 o1故故电电流流领领先先电电压压jIUS 例例5、图示电路，图示电路，US=380V，f=50HZ，电容可调，当，电容可调，当C=80.95 F 时，电流表时，电流表A的读数最小，其值为的读数最小，其值为2.59A，求图中电流表，求图中电流表A1的读数。的读数。j L1 ICj 1R+- -CI ISU AA1SU CI 1 I IAfCUCUISSC66. 92 AI59. 2 AIIIC1059. 266. 922221 最小最小 I例例5、图示电路，图示电路，US=380V，f=50

15、HZ，电容可调，当，电容可调，当C=80.95 F 时，电流表时，电流表A的读数最小，其值为的读数最小，其值为2.59A，求图中电流表，求图中电流表A1的读数。的读数。j L1 ICj 1R+- -CI ISU AA1221RLRLZLjZRCjLjRCjY 059. 20380IUS，则，则设设 9066. 9SCUCjI :11，则，则设设j j IIj j 19066. 9059. 2I66. 9sin59. 2cos11 j jj jII 75101j jAI 75381IUZSRLLR9-5 正弦电流电路中的功率正弦电流电路中的功率无源一端口网络吸收的功率无源一端口网络吸收的功率(

16、u, i 关联关联)cos(2)( )cos(2)( iutItitUtuj j j j 1. 瞬时功率瞬时功率 (instantaneous power)2cos(cos )sin(2)cos(2)(iuiutUIUItItUuitpj j j j j j 无无源源+ui_第一种分解方法；第一种分解方法；第二种分解方法。第二种分解方法。iuj jj jj j )( 2sinsin)( 2cos1cos )(uutUItUItp j j 第一种分解方法：第一种分解方法：O t第二种分解方法：第二种分解方法： p有时为正有时为正, 有时为负有时为负p0, 电路吸收功率电路吸收功率p0, j j

17、0 , 感性，感性， 滞后功率因数滞后功率因数X0, j j 0，表示网络吸收无功功率，表示网络吸收无功功率(感性感性）；）；Q 0，故，故电感吸收无功功率电感吸收无功功率。j jcosUIPR UIUI 0cosRURI22 0sin j jUIQR090coscos UIUIPLj jUIUIQL j jsinLULI 22 iuC+- -对电容，对电容，i领先领先 u 90, 故故PC =0，即电容不，即电容不消消耗耗功率。由于功率。由于QC 0，故，故电容发出无功功率电容发出无功功率。6. 电感、电容的无功补偿作用电感、电容的无功补偿作用LCRuuLuCi+- -+- -+- - i

18、tOuLuCpLpC当当L发出功率时，发出功率时，C 刚好吸收功率，则与外电路交换刚好吸收功率，则与外电路交换功率为功率为pL+ +pC。因此，。因此，L、C的无功具有互相补偿的作用。的无功具有互相补偿的作用。0)90cos(cos UIUIPCj jUIUIUIQC )90sin(sinj j2CU 例例. 三表法测线圈参数。三表法测线圈参数。已 知已 知 f = 5 0 H z ， 且 测 得， 且 测 得U=50V，I=1A，P=30W。求求R, L的值。的值。30130 222 IPRRIP解解：RL+_U IZVAW*50150| IUZ403050|)(|222222RZLLRZH

19、127. 040 L9-6 复功率复功率1. 复功率复功率功率”来计算功率，引入“复和为了用相量IUiuIIUUj jj j , U IVA , 单位单位为复功率为复功率记记 IUSUI负负载载+_)cos(iuUIPj jj j Re)(iujeUIj jj j )eeRe(iujjIUj jj j )Var( , sin jsincos )()( 乏乏单位单位无功功率无功功率其中其中则则UIQQPjUIUISUIUIIUSiuiu j jj jj jj jj jj j有功，无功，视在功率的关系有功，无功，视在功率的关系：有功功率有功功率: P=UIcosj j 单位单位：W无功功率无功功率

20、: Q=UIsinj j 单位单位：var视在功率视在功率: S=UI 单位单位：VA22QPS j jSPQj jZRXj jUURUXRX+_+_+_URUXU功率三角形功率三角形阻抗三角形阻抗三角形电压三角形电压三角形 电压、电流的有功分量和无功分量电压、电流的有功分量和无功分量：(以感性负载为例以感性负载为例)RX+_+_+_URUXU Ij j I URU XU 的无功分量的无功分量为为称称的有功分量的有功分量为为称称 sin cosUUQUIIUUUPUIIUXXRR 的无功分量的无功分量为为称称的有功分量的有功分量为为称称 sin cosIIQUIUIIIPUIUIBBGGj j

21、 I UBI GI GB+_GI IBI U )( : 22 YUYUUYUUIUSZIIIZIUSS 也可以表示为以下式子也可以表示为以下式子复功率复功率复功率守恒定理复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即的复功率之和为零。即 00 0)( 0 011111bkkbkkbkkkbkkkbkkQPjQPIUS),( )(22112121212121IUSIUSSSSUUUSSIUIUIUUIUS 一般情况下：一般情况下： bkkSS1+_+_+_U1U2UI不不等等于于视视在在功功率率守守恒恒。复复功功率率守守恒恒， 已知

22、电路如图，求各支路的复功率。已知电路如图，求各支路的复功率。V )1 .37(236)155/()2510(010oojjU例例. +_U100o A10 j25 5 - -j15 1I2IVA1 .37(236 oojS 发发VA 1920768)25101(236 *2*121jjYUS 吸吸VA 33451113*222jYUS 吸吸2、功率因数的提高功率因数的提高设备容量设备容量 S (额定额定)，向负载供给多少有功功率，向负载供给多少有功功率，要由负载的阻抗角决定。要由负载的阻抗角决定。P=Scosj jS75kVA负载负载cosj j =1, P=S=75

23、kWcosj j =0.7, P=0.7S=52.5kW一般用户：一般用户： 异步电机异步电机 空载空载cosj j =0.20.3 满载满载cosj j =0.70.85日光灯日光灯 cosj j =0.450.6 (1) 设备不能充分利用电网提供的功率，造成能量浪费；设备不能充分利用电网提供的功率，造成能量浪费；(2) 当输出相同的有功功率时，线路压降损耗大。当输出相同的有功功率时，线路压降损耗大。功率因数低带来的问题功率因数低带来的问题j jcosUIP j jcosUPI UIUP,cosj j一定，则：一定，则：一定，一定，解决办法解决办法：对于感性负载，并联电容，提高功率因数：对于

24、感性负载，并联电容，提高功率因数 。分析分析:UILICIj j1j j2LRCUILICI+_。率因数率因数从而提高了电源端的功从而提高了电源端的功的夹角减小了，的夹角减小了，、从相量图上看，从相量图上看，减少。减少。总电流总电流，于于超前超前由于并联电容的电流由于并联电容的电流生任何变化。生任何变化。即负载工作状态没有发即负载工作状态没有发都不变，都不变，功率功率吸收的有功功率和无功吸收的有功功率和无功，原感性负载的电流不变原感性负载的电流不变并联电容后，并联电容后，IUIUICcos 90 补偿容量的确定补偿容量的确定：UILICIj j1j j221sinsinj jj jIIILC

25、)tantan(122j jj j PCUQC补偿容补偿容量不同量不同全全不要求不要求(电容设备投资增加电容设备投资增加,经济效果不明显经济效果不明显)欠欠过过使功率因数又由高变低使功率因数又由高变低(性质不同性质不同)综合考虑，提高到适当值为宜综合考虑，提高到适当值为宜( 0.9 左右左右)。LRCUILICI+_ cos , cos 21j jj jUPIUPIL )tan(tan 21CUUPIC j jj j )tan(tan 212j jj j UPC功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用发电设备的能力。多的负载，充分利

26、用发电设备的能力。再从功率这个角度来看再从功率这个角度来看 :并联并联C后，电源向负载输送的有功功率后，电源向负载输送的有功功率（UILcosj j1=UI cosj j2）不变，但是电源向负载）不变，但是电源向负载输送的无功功率（输送的无功功率（UIsinj j2UILsinj j1）减少了，）减少了，减少的这部分无功功率就是由电容减少的这部分无功功率就是由电容“产生产生”的的无功功率来提供的，使感性负载吸收的无功功无功功率来提供的，使感性负载吸收的无功功率保持不变，因而功率因数得到提高。率保持不变，因而功率因数得到提高。已知：已知：f=50Hz, U=380V, P=20kW, cosj

27、j1=0.6(滞后滞后)。要。要使功率因数提高到使功率因数提高到0.9 , 求并联电容求并联电容C。o1113.53 6 . 0cos 得得由由例例.P=20kW cosj j1=0.6+_CULRCUILICI+_解解：o2284.25 9 . 0cos 得得由由UILICIj j1j j2F 375 )84.25tan13.53(tan3803141020 )tan(tan23212 UPC补偿容量也可以用功率三角形确定：补偿容量也可以用功率三角形确定：j j1j j2PQCQLQ1tan PQL )tantan( )tantan( 212221UPCCUQPQQQCLC 2tanPQ 9

28、-7 最大功率传输最大功率传输讨论正弦电流电路中负载获得最大功率讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。的条件。S UZLZiI+- -Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL2Li2LiSLiS)()( , XXRRUIZZUI ZL= RL + jXL可任意改变可任意改变 2Li2Li2SL2L)()( XXRRURIRP 有功功率有功功率(a) 先讨论先讨论XL改变时，改变时，P 的极值的极值显然，当显然，当Xi + XL=0，即，即XL = - -Xi时，时，P 获得极值获得极值2Li2SL)(RRURP (b) 再讨论再讨论RL改变时，改变时，P的最大值的最大值

29、当当RL= Ri时，时，P获得最大值获得最大值i2Smax4RUP 综合综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：，可得负载上获得最大功率的条件是：ZL= Zi*，即，即RL= RiXL =- -Xi此结果可由此结果可由P分别对分别对XL、RL求偏导数得到求偏导数得到。2Li2Li2SL)()(XXRRURP 共扼匹配共扼匹配 最佳匹配最佳匹配求一端口的戴维宁等效电路：求一端口的戴维宁等效电路：例、图示电路，例、图示电路， 求负载最佳匹配时获得的最大功率。求负载最佳匹配时获得的最大功率。,02AIS SI+_2 2 2 j4 Z I U+_ZeqZ I U+_ocU 024424jj

30、UOC 4522224444jjjZeq 。时，负载获得最大功率时，负载获得最大功率当当22jZZeq WRUPeqOC124)22(422max 9-8 串联电路的谐振串联电路的谐振谐振现象是电路的一种特殊工作状态，该现象被谐振现象是电路的一种特殊工作状态，该现象被广泛地应用到无线电通讯中；另外有的时候我们不希广泛地应用到无线电通讯中；另外有的时候我们不希望电路发生谐振，以免破坏电路的正常工作状态。望电路发生谐振，以免破坏电路的正常工作状态。Lj R+- -Cj 1 I U)1()(CLjRjZ L C 1 )( X 而变化。而变化。也随也随变化，故阻抗变化，故阻抗而而随随变化时，感抗、容抗

31、均变化时，感抗、容抗均当当 )( jZ0 最小。最小。同相，同相，和和，时，时，当当ZIUX 0)(00 这种工作状况称为这种工作状况称为谐振谐振)1()(CLjRjZ 串联谐振条件：串联谐振条件：010)(Im00 CLjZ 或或串联谐振频率：串联谐振频率：LC10 LCf 210 串联谐振频率由电路参数串联谐振频率由电路参数L、C 决定，与电阻无关。决定，与电阻无关。要想改变谐振频率，只需改变要想改变谐振频率，只需改变 L 或或 C 即可。即可。 RCLjRjZ )1()(000 RZZ ,取得最小值取得最小值阻抗模阻抗模RUZUI URRUIRUR 取得最大值。取得最大值。不变，则不变，

32、则若若IU 0 )( IOLj R+- -Cj 1 I U0 CLRUUUU，故，故谐振时，谐振时， UjQURLjILjUL00 UjQUCRjICjUC0011 CLRCRRLUUUUQCL11)()(0000 I ULU RU CU 数数串联谐振回路的品质因串联谐振回路的品质因:Q出现过电压现象。出现过电压现象。时，时，当当,1UUUQCL UIUIP j j cos)(00sin)(0 j j UIQ2002001)()(ICIUQLIIUQCCLL 0)()(0)(0)(0000 CLCLQQQQ，但，但，即：即：P 取得最大值取得最大值PQQjPSCL )(1cos j j功率因数

33、功率因数例、图示电路，正弦电压有效值例、图示电路，正弦电压有效值,20,10,10mHLRVU 值值。和和、电电压压的的频频率率。求求正正弦弦电电压压时时，电电流流当当电电容容QUUuAIpFCCL 1200 Lj R+- -Cj 1 I U LU CU 10IUZjXRZ 22XRZ 221010X 0 X电路发生串联谐振，有电路发生串联谐振，有01 CL sradLC/10515 VLIUUCL10000 1000 RLUUQL 9-9 并联电路的谐振并联电路的谐振 SI+_G UGI LI CI Lj 1Cj )1(1)(LCjGCjLjGjY 联联谐谐振振。同同相相，此此时时电电路路发

34、发生生并并和和时时，当当SIULCB 0100 0)(Im0 jYLC10 LCf 210 谐振条件：谐振条件：谐振频率：谐振频率： SI+_G UGI LI CI Lj 1Cj 输输入入导导纳纳模模取取得得最最小小值值电电路路发发生生并并联联谐谐振振时时，GBGjY 220)( SRIU )(0 谐振时端电压达到最大值谐振时端电压达到最大值RGjZ 1)(0 0 CLSGIIII，并并联联谐谐振振时时，0并不等于并不等于和和但但CLII GICjUCjILGIjLjUISCSL 0000 LI UCI GI SI SI+_G UGI LI CI Lj 1Cj LCGGCLGIIIIQSCSL11)()(0000 会出现过电流现象。会出现过电流现象。支路上支路上就越大，在电感和电容就越大，在电感和电容和和越大，越大，)()(00 CLIIQ。，有有功功功功率率取取得得最最大大值值为为并并联联谐谐振振时时，功功率率因因数数1GICjUCjILGIjLjUISCSL 0000 0,2002 CLCLQQCUQLUQ LRCUILICI+_LjRCjjY 1)()(222222LRLCjLRR 0)(Im0 jY0220200 LRLC LCRLCCLCRL222011 012 LC