《基本不等式》参考课件2

1、3.4 基本不等式基本不等式2baab思考：这会标中含有怎思考：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？abab22+ +问问2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三是全等三角形，它们的面积和是角形，它们的面积和是S S= =问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,则正方形的面积则正方形的面积为为S=S=，问问3 3：S S与与S S有什么样的关系？有什么样的关系？

2、 22ab2ab2222a + b 2aba + b 2ab从图形中易得，从图形中易得，s ss s, ,即即问题问题1 1：s,s, S有相等的情况吗？有相等的情况吗？何时相等？何时相等？ 图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一缩为一个点，这时有个点，这时有 22=2ababu形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成

3、立222aba b此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证 （特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab2 2a0 ,b0 ,(,)002ababab 当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式aba b2算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数基本不等式的几何解释：基本不等式的几何解释：半弦半弦CD不大于半径不大于半径ABEDCab1. 基本不等式：基本不等式：.2abba a=b基本不等式的变形：基本不等式的变形：知识要点：知识要

4、点：（当且仅当（当且仅当_时取时取“”号）号）0,0,2.ababab如果则（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“”号）号）.2baab 或或.)2(2baab 或或如果如果a0，b0，那么，那么 例例1、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最最短篱笆是多少？短篱笆是多少？（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积最大面积是多少？是多少？

5、例例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为其容积为4800立方米，深为立方米，深为3米，如果池底米，如果池底每平方米的造价为每平方米的造价为150元，池壁每平方米的元，池壁每平方米的造价为造价为120元，元，怎样设计水池能使总造价最怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？低？最低总造价是多少？例例1.(1) 已知已知 并指出等号并指出等号成立的条件成立的条件.10,2,xxx求证(2) 已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.abbaab寻找, 0(3) 已知已知 能得到什么结论能得到什么结论? 请说明理由请说明理由.abb

6、aab,0应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系 (2) 已知已知 能得到什么结论？请能得到什么结论？请说明理由。说明理由。10,xxx练习练习2：若：若 ，则（，则（ ）（1）（）（2）（）（3）B练习练习1：设：设a0，b0，给出下列不等式，给出下列不等式其中恒成立的其中恒成立的 。21) 1 (aa4)1)(1)(2(bbaa4)11)()(3 (baba2111) 4(22aa,lglg, 1baPba)2lg(),lg(lg21baRbaQQPRA、RQPB、QPRC、RQPD、例4、 求函数 的最小值4522xxy构造积为定值，利用基本

7、不等式求最值思考：求函数 的最小值)3(31xxxy构造和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知 ，求 的最大值 10 x21xx练习：已知 且 ，则最大值是多少？0, 0yx2052 yxyxlglg2、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。练习：练习：1、当、当x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。21xx1)0, 0(232yxyx61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小值是（的最小值是（ ）A、10 B、 C、 D、4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（ ）A、 B、C、 D、) 0,(55xRxxxy)1

8、01 (lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5 yxyx333664318DC应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件： a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大2baab（ a0，b0） 重要变形重要变形22220,0,22ababababababab若则，当且仅当时取等号。基础知识基础知识（由小到大）（由小到大）（1）把）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？写成两个正数的积，当这两个正数取什么

9、值时，它们的和最小？（2）把）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ab=36当a=b=6时，和a+b最小为122abab2()2ababa+b=18当a=b=9时，积ab最大为81不等式不等式2abab是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是解决是解决最大（小）值最大（小）值问题的有力工具。问题的有力工具。【应用练习】;1, 0)1(1的的最最值值求求已已知知：例例xxx . 21xx1x2121:时时原原式式有有最最小小值值即即当当且且仅仅当当解解

10、xxxx;1, 0)2(的的最最值值求求已已知知xxx 有有最最值值，并并求求其其最最值值。为为何何值值时时，函函数数当当函函数数若若xxxyx,31, 3)3( 结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值为为时时，函函数数有有最最大大值值，即即当当且且仅仅当当54,313 xxx. 21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 时时有有最最大大值值即即当当且且仅仅当当、解解xxxx一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a，b，我们有，我们有abba222当且仅当a=b时等号成

11、立证明：证明：abba2222)(ba0abba222特别的，如果a0，b0，我们用ab,分别代替a，b，可得abba22baab（ a0，b0）基本不等式基本不等式分析法证明基本不等式分析法证明基本不等式要证2abab只要证2abab要证，只要证要证 ，只要证20abab2()0ab显然， 是成立的，当且仅当a=b时， 中的等号成立运用基本不等式证明：一利用基本不等式证明不等式一利用基本不等式证明不等式44441. 14;114.0,0,1abcdabcdababab 例 （ ）证明不等式： （2）已知：且， 求证：44422222244224422442244422222244422222

12、2222222()2222)2()(), ,abca bb cc aabc abcaba bbcb ccaa cabca bb cc aabca bb cc aa bb cc aabc abca b c成立证明：三式相加得（即同理可证：又互不相等，所以等号不成立所以444222222, ,()a b cabca bb cc aabc abc举一反三：若是互不相等的正数，求证:122. 10( )3120( )30,0,41,42,2490,0,1,xf xxxxf xxxaba babxxxxyxyxy 例 （）若，求的最小值。 (2)若，求的最大值。 （3）已知且求 的最大值。 （4）已知求

13、的最小值。 （5）已知且求的最小值。二、利用基本不等式求函数的最值二、利用基本不等式求函数的最值例例: :某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, ,其容积为其容积为4800m4800m3 3, ,深为深为3m.3m.如果池底每平方米如果池底每平方米的造价为的造价为150150元元, ,池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元, ,怎样设计水池能使总造价最低怎样设计水池能使总造价最低? ?最低总最低总造价是多少造价是多少? ?分析分析: :水池呈长方体形水池呈长方体形, ,它的高是它的高是3m,3m,底面的长底面的长与宽没有确定与宽没有确定. .如

14、果底面的长与宽确定了如果底面的长与宽确定了, ,水池的总造价也就确定了水池的总造价也就确定了. .因此应当考察底因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解解: :设底面的长为设底面的长为xm,xm,宽为宽为ym,ym,水池总造价为水池总造价为z z元元. .根据题意根据题意, ,有有: :由容积为由容积为4800m4800m3 3, ,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质, ,可得可得即即 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时, ,

15、等号成立等号成立 所以所以, ,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方的正方形时总造价最低形时总造价最低, ,最低总造价为最低总造价为297600297600元元. .4800z150120(2 3x2 3y)3240000720(xy) 240000720(xy)240000720 2 xyz240000720 2 1600z297600 设计一副宣传画，要求画面面积为设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm4840cm2 2，画面，画面的宽与高的比为的宽与高的比为a(a1)a(a1)，画面的上下各留出，画面的上下各留出8cm8cm的的空白，左右各留空白，左右各

16、留5cm5cm的空白，怎样确定画面的高与的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？4 48 84 40 03 30 02 25 5S S = =( (x x + + 1 10 0) )( (+ + 1 16 6) )= = 5 50 00 00 0 + + 1 16 6( (x x + +) )x xx x3 30 02 25 55 50 00 00 0 + + 1 16 62 2x x= = 6 67 76 60 0 x x3 30 02 25 5只只有有x x = =即即x x = = 5 55 5取取 = = x x4 48 8

17、4 40 05 55 5= = 8 88 8, ,a a = = 0， 0，若，若 是是 与与 的等比中项，则的等比中项，则ab3a3b3ba11得最小值为（得最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（2009年天津理年天津理6）Ba2.（2009山东理山东理12T)设设 满足约束条件满足约束条件 若目标函数若目标函数yx, , 0y, 0 x, 02yx, 06yx3byaxz （ 0， 0）的最大值为的最大值为12，则，则 的最小值为（的最小值为（ ）bb3a2 A. B. C. D. 4 62538311略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)点选把

18、把（4 4，6 6）代代入入z z = = a ax x+ +b by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A1. 1. 两个不等式两个不等式（1 1）（2 2） 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立注意：注意：1.1.两公式条件，前者要求两公式条件，前者要求a,ba,b为实数；后者要求为实数；后者要求a,ba,b为正数。为正数。 2.2.公式的正向、逆向使用的条件以及公式的正向、逆向使用的条件以及“