2.7第2课时二次根式的运算

1、 2.7 二次根式 第 2 课时二次根式的运算 【上节知识回顾】 1 关于二次根式的概念，要注意以下几点： (1) 从形式上看，二次根式是以根号“ “ ”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步 运算。如 1 丨丄；，丄；J等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算; (2) 当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式(整式或分式)时，虽然最后运算不是 开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式， 而前面与其相乘 的有理数或有理式就叫做二次根式的系数； (3) 二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数， 但其中所含字母的取值必须使

2、得该代数式的值为非负实数； (4) 像“ Jh , U 一”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。 2.二次根式的主要性质 倚二匕 |= $3 A ) (1) &丸,(恋0)； (2)卩二 4(恋0)； ( 3) 以 0)； (4) 积的算术平方根的性质： .-； P = (a0rb 0) (5) 商的算术平方根的性质： ； (6 )若.： i0 ，则上。 【新授】 、二次根式的乘法 一、复习引入 1 .填空 (1) 44 x J9 = _ , J4 辺 9 = (2) .16 x .25 = _ , 16 25 = _ (3) .100 x 36= _ , .100 36=

3、_ . 参考上面的结果，用“ 、或=”填空. .4 x ,9 _ 4 9 , 、,16 x , 25 _ J6 25 , .100 x 36 _ 100 363 .注意 a a(a 0)与Y 的运用。 (1) 例 1 1 .计算: 例 2 2.化简: 般地，对二次根式的乘法规定为 .a 、. b = 、ab . (a a 0 0, b b 0 0) 反过来： jab = Ja 証 (a 0, b 0 0) 例1 1. 计算 (1) ,5 X、7 (2) / X (3) .9 X 27 (4) ,1 X J6 V3 、2 例 2 2 化简 9x2 y2 (5) (1) ,9 16 (2) ,16

4、 81 (3) ,81 100 (4) 54 例 3 3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正: (1)(-4) (一9)P ,2 二、二次根式的除法 1写出二次根式的乘法规定及逆向等式. 2.填空 般地，对二次根式的除法规定: X , 25 =4 ,12 =8.3 9 .16 (2) 16 一 16 (4) 736 = 81 = 规律一9 ； 4 36 (2) 412 X . 25=4 25 25 =4 (a 0 0, 反过b0b0), 書(2) 例 3.已知 j9 =爭 %，且 x为偶数，求(1+x X 的值. 三、分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，

5、我们说这两个代数式 互为有理化因式。对于有理化因式，要注意以下四点： (1) 它们必须是成对出现的两个代数式； (2) 这两个代数式都是二次根式； (3) 这两个代数式的积不含有二次根式； (4) 一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。 单项：,a s =a (单项二次根式的有理化因式是它本身)； 两项：(I a b)(-、b)二 a b (平方差公式)。 在进行二次根式的除法运算时，把分母中的根号化去，叫做 分母有理化分母有理化的 一般方法是：先将分母的二次根式化简， 再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母， 把 分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分.

6、 例 1.判断题：(1) V i 的理化因式是I ： 心一 -L-7.-.I. (3)丿-一 & - - - J J 的有理化因式 例 3 .观察下列各式，通过分母有理化，进行化简: 1 = 1 C 2L1) _三讥三畀 -2 1 (2 1)(/2-1) 2-1 “ 1 =2 J一二 2 =、-32 3 2 (”3 .2)( .3 - .2) 3-2 同理可得： 1亠43， 4 ；3 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 a 把形如 的式子分母有理化，可以应用以下三种方法: Ja例 2. 进1 + + + .2 1 3 2 -4 3 j - * - ) ( J2002 +1) 的值

7、. 、2002 、2001 (1)将分子与分母乘以同一个代数式， 使分母有理化，即a = a=a二去旦二.a ； a / a . a a (2 )逆用关系式(ja2=a(az0 ),把分子与分母中的公因式直接约分，得 (3)逆用关系式a2 = a a _ 0 ,再根据二次根式的除法法则进行约分，即 a = a练习：选择恰当的方法把下列各式的分母有理化: a 四、二次根式的加减 1 计算下列各式. 3 3 -2 -+ 、2 二次根式加减法的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式， 合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。 (2) r.4 +

8、 .20 ) +( -“ 12-5) 例 3.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(x 9x +y2 3 1 厘米/?秒的 速度向点 A 移动； 同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2厘米/秒的速度向点 C 移动.问： 几 秒后 PBQ(1) 一3 ； (2) 40 -32 ；( 3) 14) 、27 4xy (5) 3a 6b ； a + 2b (6) x2 一5 x - . 5 (1) 2、2+3、_2 (2) 2、_8-3、8+5、8 (3) 7 +2、7 +3、一 9 7 (4) 在把同类二次根式分别合并。 例 1.计算： 例 2计算 y )的值. 例 4.如图所示的 Rt ABC 中，/ B=90 ,点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 7 ) -( X2 芒5X 的面积为 35 平方厘米？ PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示) 例 5 .已知 H =2- 口 a b 二X+_亏，并求值. X 1 X , X 1 -、X 五、二次根式运