《用向量法求二面角的平面角》教案

1、第三讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中， 向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。

2、为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。教学目标1使学生会求平面的法向量；2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法.教学难点求解

3、二面角的平面角的向量法.教学过程、复习回顾一、回顾相关公式：1 、二面角的平面角： （范围：0, ）n1 ,n2n1 ,n2n1 ,n2n2n1, n2n1n1n2llcoscos n1 , n2coscos n1 , n2结论：或coscosn1 , n2统一为：n1 n2n1 n22、法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ：（ 1 ）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（ 2 ）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位

4、置关系以及它们之间距离和夹角等问题；向量运算）（ 3 ）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）、典例分析与练习例 1、如图， ABCD 是一直角梯形，ABC 90， SA面 ABCD ， SA AB BC求面 SCD 与面 SBA所成二面角的余弦值 .z分析 分别以 BA, AD , AS 所在直线为 x, y, z 轴，SB建立空间直角坐标系，求出平面SCD 的法向量 n1 ，AD平面 SBA法向量 n2 ，利用 n1 , n2 夹角x求平面 SCD 与平面 SBA 的夹角余弦值。（进行11，AD，2Cy解：如图建立空间直角坐标系Axyz ，则1,0), S(0,0,1)A

5、(0,0,0), C ( 1,1,0), D (0,2AD (0, 1 ,0) ， CD(1, 1 ,0), SD(0,1,易知面 SBA 的法向量为 n11)222y0x1设面 SCD 的法向量为 n2( x, y, z) ，则有2，取 z1 ，得 x 1, y2 ， n2,1)y(1,02z2n1n26cos n1 , n2|3| n1 | n2又 n1 方向朝面内， n2 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角即所求二面角的余弦值为6.3点拨求二面角的方法有两种：（ 1 ）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（ 2 ）根据

6、几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。练习1 ： 正方体ABCDA1B1C1 D1 的棱长为1 ，点 E 、 F 分别为CD 、 DD1 的中点 .求二面角F AE D 的余弦值。解：由题意知， F (0,1,1), E(1 ,1,0) ，则 AF(0,1,1) ,AE(1,1,0)2222设平面 AEF 的法向量为 n (x, y, z) ，则y10nAF0z2，取 y 1，得 xz2znAE01y0A1D1x2n(2,1,2)B1C1FAy又平面 AED 的法向量为 AA1(0,0,1)BEDxCnAA122cosn , AA

7、1| n | AA1 |313观察图形知，二面角FAED 为锐角，所以所求二面角FAED 的余弦值为 23练习 2：如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为 1 的正方形，四边形是矩形，平面AABB平面 ABCD 。试问： 当 AA 的长度为多少时，二面角D A CA 的大小为 60 ？解： 如图建立空间坐标系Axyz ，则DA'(1,0,a)DC(0,1,0)'( x, y,1)设面 DAC 的法向量为 n1DA'n0则1得 n1(a,0,1)DCn10'(1,1,0)易得面 AAC 的法向量 n2向量 n1 , n2 的夹角为 60n1 n2a11由 cos

8、 n1 ,n2a2得 a| n1 |n2 |1 2 2当 AA 时，二面角DA CA 的大小为 60设计说明： 复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况练习 3：正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为，是侧棱AA1 上任意一点当 BC1B1P 时，求二面角 CB1P C1 的平面角的余弦值解：如图建立空间坐标系Oxyz ，设 APa则 A,C, B1, P 的坐标分别为 (0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0, 1,a),BC1 ( 3,1,2)由 BC1 B1 P，得 BC1 B1 P 0即 22( a2)0a1又 BC1 B1CBC1 面CB1PBC1 (3,1,2) 是面 CB1 P 的法向量B1Pn0(1, 3,2 3),设面 C1 B1P 的法