弹性力学基本概念和考点汇总

1、基本概念：(1) 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定(2) 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直丁改两面交线的切应力是互等的(大 小相等，正负号也相同)。(3) 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。(4) 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行丁板面并且不沿厚度变化的 面力或约束。同时，体力也 平行与板 面并且不沿 厚度方向变化。这 时，bz = 0, Ezx = 0, Ezy = 0，由切应力互等,bz = 0, Exz = 0, Tyz = 0 ,这样只剩下平行丁 xy面的三个平面应力分量，即bx,by, Ly =

2、Tyx ,所以这种问题称为平面应力问题。设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行丁横截 面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行丁横截面且不沿长度变化， 由对称性可知，必=0,命=0，根据切应力互等，7xz=0,Eyz=0。由胡克定律， ：zx =0, ：zy =0 , 乂由丁 z方向的位移w处处为零，即耳z=0。因此，只剩下平行 丁 xy面的三个应变分量，即取,&y,：xy ,所以这种问题习惯上称为平面应变问题。(5) 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。(6) 圣维南原理；(提边界条件)如果把物体的一小部分边界上的面力，变换

3、为分布不同但静力等效的面力(主失相同，主矩也相同)，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处 所受到的影响可以忽略不计。(7) 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称丁某一轴(通过该轴的任一平面都是对称面)，则所有的应力、变形和位 移也就对称丁这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。平衡微分方程:(1) 平面问题的平衡微分方程;mfx=。日剧(记)三 fy=0:x:y(2) 平面问题的平衡微分方程(极坐标)： - . 1 "二.fr . fnT0己pP料 p K1 V2 :T = 0P 梆 cP P1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分

4、量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。2、平衡方程也反映了应力分量与体力(自重或惯性力)的关系。二、几何方程；(1) 平面问题的几何方程；.:u.xxy（记）-y(2) 平面问题的几何方程(极坐标).ucP-v - u.二-：.1 '，二2 - -1 -2 :" :1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。(刚体位移)三、物理方程；(1) 平面应力的物理方程；1=E ；x - 七 y1=匚（ _心x ）（I己）xyxy(2)平面应变的物理方程;2±J1 xyxy(3) 极坐标的物理方程(平面应力)

5、(4) 极坐标的物理方程(平面应变)1-W,、r = - '、)EI -"1-W ;=E (专_二;-)2(1 )四、边界条件；(1) 几何边界条件；U =u s在su上;fx -（记）fy平面I可题：s _v s =v V(2) 应力边界条件；匕 m.yx =平面问题：s(Ihy +my =（3）接触条件；光滑接触：（7 ） = （。；）n为接触面的法线方向非光滑接触：2n ）=（4）n为接触面的法线方向Un = L（4）位移单值条件；U / U2*（5）对称性条件：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用， 都是对称丁某一轴（通过该轴的任一平面都是

6、对称面），则所有的应力、变形和 位移也就对称丁这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。一、概念1 .弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材 料力学。3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、 形变和位移及其分布情况等。 .4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围 更为广泛5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法 6弹性力学研究问题、在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界 上考虑边界条件，求解微

7、分方程得出较精确的解答;.7. 弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。8. 几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。9. 物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。10. 平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。12. 边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界 条件、应力边界条件和混合边界条件。13. 圣维南原理主要内容： 如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失

8、量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都 等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因 为主失量和主矩都等于零的面力， 与无面力状态是静力等效的， 只能在近处产生显著的应力。15. 求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。16. 弹性力学的基本原理：解的唯一忤原理、解的叠加原理、圣维南原理°会推导两种平衡微分方程17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数(2)

9、由式(2-24),根据应力函数求得应力分量(3) 在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件，分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。(或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表 达式中的待定系数18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形 的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部 分或全部应力分量的函数形式(2) 按式(2-24)，由应力推出应力函数f的一般形式(含待定函数项)；(3) 将应力函数f代入相容

10、方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达 形式；(4) 将应力函数f代入式(2-24),由应力函数求得应力分量(5) 根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全5.平面问题的应力边界条件为(。xym)s = fx(s)(xyl；ym)s = fy(s)填空7.圣维南原理的三个积分式h/2h/2 -x)xndy 1fx(y)dy 1-h/2h/2h/2h/2x)x”ydy 1 =fx(y)ydy 1一 h/2 h/2h/2h/2 -(xy)x= idy 1 = -fy(y)dy 1_h/2 xy x 1h/2 y '计算理解如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个

11、积分边界条件变为h/2/ x)x=idy 1= Fnh/2W x)x=i ydy 1=Mh/2/2( xy)xdy 1= Fs8.艾里应力函数Bx=£_xl_fxx, % = i_ fyy, Txy = _ 尝楠(x，y)登y2'ex2'泌 y计算、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中， 每小题2分，共10分）1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求 解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。A. 相容方程B.近似方法C.边界条件 D.附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ） 的力系代替，则仅在

12、近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。A.几何上等效B.静力上等效C.平衡D.任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（B ）。A. 平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B. 平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C. 平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D. 平衡方程相同，物理方程、几何方程不同在研究方法方面：材力考虑有限体 V的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV的平，结果比较精确 4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为 粤+2工X十g=0,一 x:x :y :yc 、兀 qx2 i' , y3 + q

13、y + qy2 ； y3 6、设有函数=存4广3厂1M2h（1）判断该函数可否作为应力函数？ （ 3分）（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系 （见题九图）中能解决什么问题（l >>h）。（15分）解：（1）将4代入相容方程+2 :2 +三善=0，显然满足。因此，该函数可以作为;x:x :y:y应力函数。(2)应力分量的表达式:2-2,3 八技弋6qx y4qy3qy；:y2 h3h33h孙6qx ih2 2一ny 一 h3 4 y考察边界条件：在主要边界y=± h/2上，应精确满足应力边界条件° y=&厘一1h 内身=0在次要边

14、界x=。上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:h/2h/2n,nPr/2V d*y=°（奇函数）广代）ydy=h/2-h/2x=0h/2票 ydy = 0 3hh/242xy x£dy =0在次要边界x= l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:h/2h/2"x x±dy = *2零+普-翌dy=°(奇函数)h/2h/2"xx±ydy、26ql2y .h3qi2京）一成#%（8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数中求解，应力函数中必须满足哪些条件？答：（1）相容方程： 寸中=。

15、（2 ）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，S = %）:'Sx +myx = fx，（在 s=Sj上）m；y 1 xy S = fy（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。二.问答题（36）1.（12分）试列出图5-1的全部边界条件， 在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚5 =1）1对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发 生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力； 而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力 偶和铅直面力。所以，能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均

16、布荷载q的问题。2009 2010 学年第二学期期末考试试卷（A ）卷一.名词解释（共10分，每小题5分）1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。 4. 弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面。1. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题

17、各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量Qx,汀y注xy存在，且仅为x,y的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，夕卜力沿z轴无变化，只有平面应变分量3x ,8 y J xy存在，且仅为x,y的函数。图5-1解：在主要边界 y = ± h/2上，应精确满足下列边界条件:Sy Lh2 =qx/1，(TyxLh2 = °；(心 y

18、)=恂 2 = °，h yx )52 = q12h 2q| 2“Ox xydyM - Fsl -七 -.0 2qlh23,c0,能满足相谷万程，并求出应力分量（不计在次要边界x=0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件, 时，h 2h 2h 2L.2(OxLdy = -FN , L.2 0xLydy=-M , RhxyLdyFs在次要边界x = l上，有位移边界条件：（u=° , （v Lt = 0。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：h 2上2 J xdy =Fn qlh 2q|上2-图5-2.：4：.-4：、.-4.力解：（1）相容条件：将 =c

19、xy体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢 和主矩。代入相容方程 一 +2 + =0,显然满足。42 - 2 4:x : x : y：y(2)应力分量表达式： sx=M=6cxy, by=0 , Exy=_3cy（10分）试考察应力函数 6=cxy:Vh（3）边界条件：在王要边界y = ±上，即上下边，面力为）2y y =_h 2= ±3chx ,xy y=h2 - - jch2 4在次要边界x =0,x =1上，面力的主失和主矩为"2L.qxq =。+ 22(OxLydy =。+ .-2顼 2 xy x 迫dy =&quo

20、t;%2.c .3一顼 23cy dy = 一了'-*/2+/2H （。顼2、如2上2 ,冷h 2x：tdy =上26为的=。 h 22clh3xldy = Ji26c1y dy2h2 一 2,%3一 2.7- h上2''4x = 0, x = 1上面力的主失量和主矩如解图所示。x&dy = -.上23cy dy = -弹性体边界上的面力分布及在次要边界3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为 P ,在一边侧面上受均布剪力q,如图5-3所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假 设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱

21、的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量CTx =。）0图5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量x =。，（1）假设应力分量的函数形式。x =。（2）推求应力函数的形式。此时，体力分量为fx =。，fy = Pg。将x =。代入应力公式 汀x 有bx =0对x积分，得 =f (x ), :y :v:y(a)中=yf (x )+ fi(x )。( b)其中f (x ), f (x是x的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将式(b)代入相容方程 中二。，得yI兰亦x =0 y 44dx4dx4y值都应

22、该满c d4 f1 x=0 , f=0,两个万dx这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根(全部竖柱内的足)，可见它的系数和自由项都必须等于零。d f4x)dx程要求f (x )= Ax'+ Bx2+Cx , fi(x )= Dx，+ Ex2(c)f (x )中的常数项，f1(x )中的一次和常数项已被略去，因为这三项在中的表达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数、=y Ax3 Bx2 Cx 广Dx" Ex2(d)(4) 由应力函数求应力分量。一 =(e)(f)(g)§xxfx = 0 ,:y：2：.： _yfy =6Axy +2By +6Dx

23、+2E _ Pgy , x2刈=_- _3Ax - 2Bx - C .入yxy(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边 x = ±b/2的主要边界条件：仅 x击=0 , hxy >K2 = 0，"xy=七2 = q。 fI将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：(气)哉2=0 ,自然满足；hxylD.2=3Ab2 + BbC=0( h )39(i)xyx = b2=-4Ab2-Bb-C=q由(h) (i) 得 B =命(j)考察次要边界y = 0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条 件为b 2_b 2Jb2&y)dx

24、= J (6Dx+2Edx=2Eb = 0；y 30上2b 2-y.XdXb 2Db3L，2(6Dx +2E )xdx =匚厂=0 ,D =0b 2上 2 xy ydx一财 *Cdx 二 一号bC =0Aq2，bq qx -b 4由(h) (j) (k)得将所得A、B、C、D、E代入式（e） （f） （g）得应力分量为:x=0, 0 =-6斜)y -电y ，膈=3*2b bb填空题（每个1分，共10X 1=10分）。1. 弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、方程以及 方程；在弹性体的边界上， 还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。假定

25、、2 .弹性力学基本假定包括 假定、假定、 假定和假定。1.平衡微分几何 物理 应力 位移2连续 均匀各向同忤完全弹忤 小变形、单项选择题（每个 2分，共5X 2=10分）。1. 关于弹性力学的正确认识是A 。A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设。C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。2. 所谓完全弹性体”是指 B OA. 材料应力应变关系满足胡克定律。B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。C. 本构关系为非线性弹性关系。D

26、. 应力应变关系满足线性弹性关系。3. 所谓应力状态”是指_B_OA. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。C. 3个主应力作用平面相互垂直。D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。4 .弹性力学的基本未知量没有 _C_OA. 应变分量。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 应力分量。5 .下列关于圣维南原理的正确叙述是DA. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响 比较小。二、计算题(共15分)如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为 的液体，