分式方程竞赛题

1、第一讲 分式方程（组）的解法（或缩小）分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本 方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大 未知数的取值范围，故必须验根.例1解方程解 令y= x + 2x 8，那么原方程为去分母得y(y 15x) + (y + 9x)(y 15x) + y(y+ 9x) = 0,y2 4xy 45x2= 0,(y + 5x)(y 9x) = 0, 所以 y= 9x 或 y= 5x.由 y= 9x 得 x2 + 2x 8 = 9x,即 x2 7x 8 = 0,所以 Xi= 1, X2= 8;由 y

2、= 5x,得 x2 + 2x 8 = 5x,即卩 x2 + 7x 8= 0，所以 X3= 8, X4= 1 . 经检验，它们都是原方程的根.例2解方程x24x172xx272 18 = 0 + 4x72x 72x2 4x18 = 0x2 4xx 1则原方程可化为7218= 0yy2 18y+ 72 = 0,所以 y1 = 6 或 y2= 12.当y= 6时,x2 4x=6x2+ 4x= 6x 6,故x2 2x+ 6= 0，此方程无实数根.当 y= 12 时，x_ =12 , x2+ 4x= 12x 12,故 x2 8x+ 12 = 0,故 x2 8x+ 12= 0, x 1所以X1 = 2或X

3、2= 6.经检验，冷=2, X2= 6是原方程的实数根.例3解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为51+ 一x 1(323x 2)整理得xx23x 2去分母、整理得x + 9= 0, x = 9.经检验知，x = 9是原方程的根.例4解方程分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简原方程化为(x 6)(x 7) (x 2)(x 3)'所以(X+ 6)(x + 7) =(X+ 2)(X+ 3).9解得x=- 一 .2一经检验x=- M是原方程的根.2例5解方

4、程1 1+x(x 1) x(x 1)1 =11(x 9)(x 10) = 121，故可考虑把一个分式分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简.原方程变形为1111I1111x 1 x x x 1 x 9 x 1012整理得去分母得x2 + 9x- 22 = 0,解得 X1= 2 , X2= 11 .经检验知，X1= 2, X2=- 11是原方程的根.例6解方程a分析与解分式方程如比利式-bc-，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑d用合比定理化简原方程变形为(2x2 3x 2) (2x2 3x 2) _ (2x2

5、5x 3) (2x2 5x 3)2 = 22x 3x 22x 5x 34x24x22 = 22x 3x 2 2x 5x 3所以x= 0 或 2X2 3x 2 = 2x2 + 5x 3.1解得x= 0或x=81经检验，x= 0或X=都是原方程的根.8例7解方程分析与解形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简.原方程变形为22即 6x 2 = 2x 2 .8x8x当XM0寸，解得x= ±1.经检验，x= ±1是原方程的根，且 x= 0也是原方程的根.说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.a鬥时，X11 一这类特殊类

6、型的方程可以化成一兀二次方程，因而至多有两个根.显然 a31，即 x 133x1 13，所以 x1 =3, x2=-.1=a与X2=就是所求的根例如，方程a例8解方程解将原方程变形为x2 x 1 x212 3- = + x21 x2 x 13 2x2x 1x21则原方程变为23解得 y1 2，y2 2.2当x当 2X2时，x2当=2 时，x= 1；经检验X= 1及X=5均是原方程的根.2例9解关于x的方程x-，则原方程变为a解设y= -b x1所以y1=2或y2= 2 .得 X2= b 2a.ax由 =2，得 X1= a 2b；b x将X1 = a 2b或x2 = b 2a代入分母b+ x,得

7、a b或2(b a),所以，当 a和 时，X1 = a2b 及 X2=b 2a都是原方程的根当 a= b时，原方程无解.例10如果方程只有一个实数根，求 a的值及对应的原方程的根.分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2 2x+ (a + 4) = 0.原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根,= 4 4 2(a+ 4)= 0.71解得a=-.此时方程的两个相等的根是X1 = x2=-.220或2.(2) 方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为(i)当x= 0时，代入式得 a+4 = 0，即a =-4这时方程的另一个根是

8、x= 1(因为2x2 2x=0, x(x-1) = 0, xi = 0或x2= 1.而xi= 0是增根).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.(ii )当x= 2时，代入式，得2 X4 2 X2 + (a + 4) = 0,即a=- 8这时方程的另一个根是x=- 1(因为2x2-2x-4= 0. (x- 2)(x + 1) = 0，所以xi= 2(增根),X2=- 1).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是71,4, 8,其对应的原方程的根一次为，1 , 122练习一1. 填空:(1)方程x 101的一个跟是10,则另一个跟是 x 82(2)如果方程 匚_空=巴有等值异号的根，那么 m=ax c m 11 k 5 k 1(3) 如果关于x的方程p+<£=y 有增根x= 1,则k=x x x x x 1(4) 方程口 +=1°的根是x 1 x 132.