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1、利用增根的性质解题利用增根的性质解题河北张家口市第十九中学 贺峰我们知道，在解分式方程时可以会产生增根，分式方 程的增根是由于把分式方程化为整式方程时，方程两边所 乘的最简公分母为零造成的，因此分式方程的增根具有以 下两条性质：(1) 能使分式方程的最简公分母为零；(2) 是由分式方程化为整式方程的根。借助分式方程的增根的这两条性质，可以帮助我们解决一 些与分式方程有关的问题，现举几例，供同学参考：R I I II 斤例1、如果关于X的方程=丁有增根1,X X X I X -TX求a的值.分析：已知方程有增根1,若直接代入原方程，则分母为 零，显然不行.题目限定了分式方程有增根1,因此可利 用

2、性质(2)将增根1代入原分式方程所化成的整式方程 即可解题。解：方程两边都乘以xCy+1)(x1),约去分母，得 x+l= (a1) Xjf(巴一5) (x1)方程有增根1,它必满足化简后得到的整式方程，把x= 1代入这个整式方程得:1 +1 = -1) X 1 - Q5) (1-1)解得0=3。例2、当加为何值时，解关于*的方程帛一詈牯=1时会产生增根？X分析：若分式方程会产生增根，根据性质(1),增根只 能是0或一 1,再利用性质(2),将增根0和一1分别代 入整式方程即可解题。解：方程两边都乘以x(x+l),约去分母，得2/伽+1)=(+1)2要使方程产生增根，则增根只能是& =

3、 0,卫=一1当 & = 0 时，0(加+1) = (0+1)2,解得 2Z7=2, 当卫=1 时，2(加+1) = (1 + 1)',解得刃=1, 当m=_2或刃=1时，解所给方程会产生增根.12 k例3、若分式方程丄+=亠有解，求&的取值范 X X1 XX围.分析：若分式方程有解，即X的值不能使得分式的分母为 零，因此根据性质（1）,本题中的x的值不能为0和 1,再利用性质（2）,将0和1分别代入整式方程解得 k,进而得到k的取值范围.解：方程两边都乘以*匕一1）,约去分母，得xl+2x=k,整理，得3%=&+1原分式方程有解，xHO或xHl当xHO时，力+1HO,解得1, 当 xHl 时，&+1H3,解得 2,&的取值范围是炷一 1且&工一2的一切实数.例4、若关于x的方程%1x2求m的值.分析：若原分式方程无解，则分式方程的分母为零，也就 是说分式方程的解为增根2,利用性质（2）,将增根2 代入原分式方程化成的整式方程后即可求解.解：方程两边都乘以x2,约去分母，得 方程无解，分母/一2 = 0,解得x=2把x=2代入整式方程x=m,得：刃=1 题后注：以上几个题目

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