初升高衔接教材

1、中学初高中数学衔接教材目录引 入 乘法公式第一讲 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3 分组分解法1. 4 十字相乘法（重、难点）1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c（a 的0）因式分解 第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2 2 二次函数2.2.1 二次函数 y ax2bxc 的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲 三角形的 “四心 ”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式（a b）（a b） a2 b2 ；（2）完

2、全平方公式(ab)2 a2 2abb2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式(a22b)(a2 ab b2)3 ab3；（2）立方差公式(a22b)(a2 ab b2)3 ab3；（3）三数和平方公式(ab c)2 a2 b22 c2(ab bc ac)（4）两数和立方公式(ab)3 a3 3a2b3ab2b3；（5）两数差立方公式(ab)3 a3 3a2b3ab2b3对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例1计算：(x 1)22(x 1)(x2 x 1)(x2 x1)解法一： 原式=(x22 2 21) (x 1) x=(x21)(x4 x2 1)6 =x1解法二

3、： 原式=(x1)(x2 x 1)(x 1)(x2x 1)=(x31)(x3 1)6 =x1例2已知 abc4， ab bc ac 4，求 a2 b2 c2 的值解：a2 b22 c2(a b c)2 2(ab bcac) 8 练习1填空：1212111）ab2(ba) (）；94232）(4m)216m24m (）；(3 )(a2b c)22 a4b2c2 (）选择题：1mx1）2 若xk 是一个完全平方式，则k 等于（）2（A）2 m（B）12 m12 ( C) m212 ( D)m243162）不论a， b为何实数，2 ab2 2a4b 8 的值（）（A）总是正数（B ）总是负数（C）可

4、以是零（D）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有： 十字相乘法、提取公因式法、 公式法、分组分解法， 另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x2 3x2；（ 2） x24x 12；22（3） x （a b）xy aby ； （4） xy 1 x y 解：（1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成 1 与 2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为 3x ，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x 3x2（x1）（x 2）说明：x 两个 x 用（2）3）分解1 与本例类1 似的二次三1 项式时，1 1

5、x 来表示（如2 图 111 由图图11111 3，得 x24x12（x2）（x6） 由图 114，得图 11 22以直接将2 图 x1 6 x 图 1 13图111中ay的1by145x5x5x5x22x (a b)xy aby (x ay)(x by)4) xy 1 x y xy(xy) 1（x1） （y+1） （如图 115所示） 课堂练习 一、填空题：1、把下列各式分解因式：1) x22) x23) x24) x22( 5) xa 1 x a 。( 6) x2 11x 18 。(7)6x2 7x 2 。(8) 4m2 12m 9 。2(9)5 7x 6x2 。22(10) 12x2 x

6、y 6y2 22、 x 4x x 3 x3、2 若 x axbx2 x 4 则 ab。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1) x227x 6( 2) x24x3（3）x26x 8 ( 4)2 x7x5) x215x 44 中，有相同因式的是（）A、只有（ 1）（2）B 、只有（ 3）（4）C、只有（ 3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（ 5）2、2分解因式 a2 8ab33b 得（ ）A、 a 11a3B 、 a 11ba3bC、 a 11ba3ba11b a3b3、a b 28 a b20 分解因式得（）A、ab10ab2B 、 ab5ab4C

7、、ab2ab10D、 ab4ab54、若多项式2x2 3xa 可分解为 x 5xb，则a、b的值是（）A、a 10 ，b2B、 a 10 ， b2C、a10 ， b 2D、10ab5、2D、10，A、3或 9B、 3C、 9D、 3 或 9三、把下列各式分解因式21、 6 2p q 11 q 2p 33 2 22、 a 5a b 6ab23、 2y2 4y 6424、 b4 2b2 8其中 a 、b 为整数，则m的值为（）10bxax2 若 x mx2提取公因式法4 xyz中各项的公因式是例 2 分解因式：1) a2 b5a 5 b(2) x3 93x23x解：（1）a2b5a5b=a(b 5

8、)(a1)（2）x3 9 3x23x(x33x2)(3x 9) =x2(x3)3(x 3)=(x3)(x2 3)或x3 9 3x2 3x (x33x23x1) 8 (x 1)38(x1)3 23 (x1)2(x1)2(x 1) 2222 （x 3）（x2 3） 课堂练习： 一、填空题：2、mxyn y xx y ?_3、222mxyn y xxy1、多项式 6x2 y 2xy24、m x y zn y z x x y z ? _ 。5、m x y zx y z x y z ?。6、13ab 2 2x(2) a2 4ab 4b2 6a 12b 9 5关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0

9、)的因式分解39a2x xy y 4x 5y 6=(2x xyb2x课堂练习：用分组分解法分解多项式( 1) x2 分解因式得 。7计算 992 99=、判断题： (正确的打上“” ，错误的打上“×” )221、 2a2b 4ab2 2ab a b ()2、am bm m m a b ()3 2 23、3x3 6x2 15x 3x x 2 2x 5 ()4、 xn xn 1 x n 1 x 1 ()3：公式法例 3 分解因式：(1)4 a16( 2)3x2y2x2 y解： (1) a=(2x y)(x y) (4x 5y) 6 =(2x y 2)(x y 3) 162 2 2 = 4

10、 (a )(422a2)(4 a2) (42 a)(2a)(2a)(2) 3x 2y22x y =(3x2y x y)(3x2yxy)(4x y)(2x 3y)课堂练习一、 a2 2ab b222， a b ，3 a3b3 的公因式是 _ 。、判断题： (正确的打上“” ，错误的打上“×” )24222221、x0.01x0.1x0.1x 0.1 ()93332、9a28b23a 24b23a4b3a4b ()3、25a216b5a4b5a4b ()2 2 2 24、 x y x y x y x y ( ) 225、 ab c a b c a b c ( )五、把下列各式分解2 2

11、2 11、 9 m n m n2、 3x32 2 4 23、 4 x2 4x 24、 x4 2x2 12y2) (4x 5y) 6y2 a2 b2 2ax 2by4分组分解法1)x2xy3y3x(2) 2x2 xy y 2 4x5y 6(2)2x2xy2 y4x225y 6=2x (y 4)x y5y 6=2x2(y4)x(y2)(y 3) =(2x y 2)(xy 3) 例4或若关于 x 的方程 ax2 bx c 0（a 0） 的两个实数根是 x1、 x2 ，则二次三项式 ax2 bx c（a 0）就可分解为 a（x x1）（x x2）.例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：解： （

12、1）令 x22x1=0，则解得 x11 2， x2 12， x22x1=x ( 1 2)x ( 1 2)=(x 1 2)(x1 2) （2）令 x24xy4y2=0，则解得 x1( 2 2 2) y ，x1 ( 2 2 2)y ，1) x2 2x 1；2) x2 4xy 4y2 x2 4xy 4y2=x 2（1 2）yx 2（1 2） y 练习1选择题：多项式 2x2 xy 15y2 的一个因式为（ ）（A） 2x 5y（B） x 3y2分解因式：（1）x26x8；（3）x22x1；1分解因式：（ 1） a3 1；（ 3） b2 c2 2ab 2ac 2bc ；2在实数范围内因式分解：2（1）

13、 x2 5x 3 ；（3） 3x2 4xy y2；222 3 ABC三边 a，b， c满足 a2 b2 c2 4分解因式： x2x（a2 a）第二讲(C) x 3y(D) x 5y(2)8a3b3；(4)4(x y 1) y(y 2x) 习题 1 242(2) 4x4 13x2 9 ；22(4) 3x2 5xy 2y2 x 9y 42) x2 2 2x 3 ；4) (x2 2x)2 7(x2 2x) 12 ab bc ca ，试判定 ABC 的形状函数与方程2.1 一元二次方程情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，2 2 2如求方程的根（ 1） x2 2x 3 0（2） x2

14、 2x 1 0 （3） x2 2x 3 0 我们知道，对于一元二次方程 ax2bx c0（a0），用配方法可以将其变形为b 2 b2 4ac（x ） 2 2a 4a2因为 a0，所以， 4a2>0于是（1）当 b24ac>0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根b b2 4acx1， 2；2a（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数 根bx1x22a（3）当 b24ac<0 时，方程的右端是一个负数， 而方程的左边 （x b ）22a 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2 bxc0（a0）

15、的根的情况可以由 b2 4ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式 ， 通常用符号 “来”表示综上所述， 对于一元二次方程 ax2bx c 0（ a0），有（1）当 >0 时，方程有两个不相等的实数根b b2 4ac x1 ，2；2a（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根b x1 x2 ；2a（3）当 < 0 时，方程没有实数根例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实 数根，写出方程的实数根（1）x23x30；（2）x2ax10；（3）x2ax （a1）0；（4）x2 2xa0解：（1）324

16、15;1×33<0，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a24×1×（ 1）a2 4> 0，所以方程一定有 两个不等的实数根x1a a2 4x2a a2 423）由于该方程的根的判别式为a24×1×（a1）a24a4（a2）2，所以， 当 a2 时， 0，所以方程有两个相等的实数根x1x2 1； 当 a2时， >0， 所以方程有两个不相等的实数根x1 1， x2a13）由于该方程的根的判别式为224×1×a44a4（1a），所以当 >0，即 4（1a） >0，即 a<1 时，方程有两个

17、不相等的实数根x1 1 1 a ， x2 1 1 a ；当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x2 1； 当 <0，即 a>1 时，方程没有实数根说明：在第 3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分类 讨论 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法， 在今后的解题 中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2 bxc0（a0）有两个实数根x1b b2 4ac2abb2 4acx22a则有b b2 4ac x1 x22a

18、b b2 4ac bx1x22ab b2 4ac2a b2 4ac b2 2a2b b2a a2(b2 4ac)4a24ac c4a2 a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax2 bxc 0（ a0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1 x2 b ，x1·x2 a c 这一关系也被称为 韦达定理 a特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2 是其 两根，由韦达定理可知x1x2p，x1·x2q，即p （x1x2）， q x1·x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2（x1x2）xx1·x20，由于 x1

19、，x2 是一 元二次方程 x2pxq0的两根，所以， x1，x2 也是一元二次方程 x2（x1x2）x x1·x20因此有以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2（x1x2）xx1·x202例 2 已知方程 5x2 kx 6 0的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再 由方程解出另一个根 但由于我们学习了韦达定理， 又可以利用韦达定理来解题， 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项， 于是可以利用两根之 积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值解法一：

20、2 是方程的一个根， 5×22 k×2 60， k 7 所以，方程就为5x2 7x 6 0，解得 x1 2，x2所以，方程的另一个根为 3 ，k的值为 75解法二： 设方程的另一个根为 x1，则 2x1 由 （ 3 ） 2 k ，得 k755所以，方程的另一个根为 3 ，k的值为 75例 3 已知关于 x 的方程 x2 2（m2）xm2 4 0 有两个实数根，并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值分析： 本题可以利用韦达定理， 由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到 关于 m 的方程，从而解得 m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的 方程有两

21、个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1，x2 是方程的两根，由韦达定理，得2 x1x22（m2），x1·x2m2422 x1 x2 x1·x2 21，2（x1x2）23 x1·x2 21，即 2（m2）23（m2 4）21，化简，得 m2 16m170，解得 m 1，或 m17当 m 1 时，方程为 x26x50， >0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230x2930，3024×1×293<0，不合题意，综上， m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对 应的 m的范围，然后再由“两个

22、实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m的值， 取满足条件的 m 的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的 判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根例 4 已知两个数的和为 4 ，积为 12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数 也 可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一： 设这两个数分别是 x，y，则 x y 4，xy 12由，得 y4x，代入，得x（4x） 12，即x2 4x120，x1 2， x26x1 2,x2 6,或y1 6,y2 2.因此，这两个数是 2 和 6

23、解法二： 由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120的两个根解这个方程，得x12，x26所以，这两个数是 2和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现， 解法二（直接利用韦达定理来解题） 要比解法一简捷若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x 3 0 的两根求| x1x2|的值；求 12 12 的值；x1 x2 x13x23x1和 x2分别是一元二次方程 2x2 5x30的两根，3， x1x21 2 2例5（1）2）（3） 解： x1 x21）2 2 2 2 5 2 | x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2()224( 25 6449 ，4| x1x

24、2| 722）3）5 2 3 ( 2)2 2 ( 2) ( 32) x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1 x2) 2 (5 )×(5 )23×( 3)22 x12 x2112 2 2 2 x1 x2 x1 x2(x1 x2)2 2x1x2(x1x2 )221582549943x1x23 37说明：一元二次方程的 两根之差的绝对值 是一个重要的量，今后我们经常会 遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则x1b b24acb b24ac2a， x22a|

25、x1x2|bb2 4acb b24ac2 b2 4ac2a2a2a|a|b2 4ac|a|于是有下面的结论：若 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其|a|中 b24ac） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时， 可以直接利用上面的结论 例 6 若关于 x的一元二次方程 x2 xa 4 0 的一根大于零、 另一根小于零， 求实数 a 的取值范围解： 设 x1，x2是方程的两根，则 x1x2 a 4<0， 且 （ 1）24（a4）>0 由得由得a<4，17a< 4 a 的取值范围是a<4练1习 选择题： （ 1）方程 x2

26、（A ）有一个实数根 （C）有两个相等的实数根2 3kx 3k2 0 的根的情况是B） D）有两个不相等的实数根没有实数根（ 2）若关于 x 的方程 mx2 （2m 1）xm0 有两个不相等的实数根，则实数 范围是1 m<41 m< ，且 m04A）C）1（ B ） m >4D） m> 1 ，且 m04的取值）2填空 :1）1 若方程 x23x10 的两根分别是 x1 和 x2，则x1x23方程 mx2 x 2m 0（ m0）的根的情况是 以 3 和 1 为根的一元二次方程是24（2）（3）已知 a2 8a 16 |b 1| 0，当 k 取何值时，方程 kx2 axb

27、0 有两个不相等的实 数根已知方程 x23x10的两根为 x1和 x2，求（x13）（ x23）的值习题 2.1A 组1选择题 : 1）已知关于 x（ A ） 32）下列四个说法：方程方程的方程 x2 kx2 0 的一个根是 1，则它的另一个根是（ D）B)3C）2方程x22x7 0 的两根之和为x22x7 0 的两根之和为2，两根之积为 7；2，两根之积为 7；3 x27 0 的两根之和为 0，两根之积为7 ；33 x22x 0 的两根之和为 2，两根之积为 0方程 其中正确说法的个数是 （A）1 个（B）2个（C）3个3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a 0 的一个根是 （ A

28、） 0（ B ） 1（ C） 1）4个（D）则 a 的值是（）（ D） 0，或 12填空 :2）3）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2， 元二次方程（ 4）试判定当 m取何值时， 关于 x的 数根有两个相等的实数根没有实数根 求一个一元二次方程，则 | x1 x2|m2x2（2 m 1） x10 有两个不相等的实使它的两根分别是方程Bx27x10 各根的相反数选择题 : 若关 于 x 的方程x2 (k2 1) x k10 的两根 互为相 反数， 则 k 的值为（）（A ）1，或 1填空 :1）若 m， n 是方程 于2）如果 a， b 是方程是B)1x2 2005x 1 0C）1D)

29、0的两个实数根，则x2x 10 的两个实数根，那么代数式m2n mn2 mn 的值等a3 a2bab2b3 的值34123451231）方程 kx2 4x 10 的两根之和为 2，则 k方程 2x2x40 的两根为 ， ，则 22已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是 2，则它的另一个根是已知关于 x 的方程 x2kx 20 1）求证：方程有两个不相等的实数根； 2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2（x1 x2）x1x2，求实数 k 的取值范围 一元二次方程 ax2bx c0（a0）的两根为 x1和 x2求： 1）| x1x2|和 x1 x2 ；2 2）x13x23关于 x的

30、方程 x24xm0 的两根为 x1，x2满足 | x1x2|2，求实数 m 的值 C 组选择题：1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程角三角形的斜边长等于（ A ） 3B)32）3）4）2x2 8x 70 的两根，C）6若 x1，x2是方程 2x24x10的两个根，则 x1 x2 的值为 x1A)6B)4x2C)3如果关于x 的方程x2 2（1m）xm20 有两实数根 ，A）112B）1 2C) 1已知a，b， c 是 ABC的三边长，那么方程D)9D) 3，则 D ） 则这个直2 的取值范围为 （） 1ccx2 （a b）x 0 的根的情况是4（A）（C）填空：若方程 x28xm0

31、的两根为 x1，x2，且 3x12x218，则 m已知 x 1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk10的两个实数根没有实数根 有两个相等的实数根B） D）有两个不相等的实数根 有两个异号实数根31）是否存在实数 k，使（2x1x2）（ x12 x2） 成立若存在， 求出 k的值；若不存在，2 说明理由；（2）求使 x1 x2 2 的值为整数的实数 k的整数值；x2 x13）若 k 2，x1 ，试求的值x22m24已知关于 x 的方程 x2 （m 2）x 0 4（ 1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（ 2）若这个方程的两个实数根 x1，x2满足 |x2|

32、 |x1| 2，求 m的值及相应的 x1，x2 5若关于 x的方程 x2xa0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a的取值范围22二次函数二次函数 yax 2 bx c 的图象和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象， 如作图 （1）y x2 （2） y x2 （3） y x2 2x 3 教师可采用计算机绘图软件辅助教 学问题 1 函数 yax2与 yx2 的图象之间存在怎样的关系为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x2，y 1 x2，y2x2 的图象，通2过这些函数图象与函数 yx2 的图象之间的关系，推导出函数 yax2与 yx2的 图象之间所存在的关系先画出函数

33、 yx2，y2x2 的图象先列表：x32101232 x94101492x2188202818从表中不难看出， 要得到 2x2 的值，只要把相应 的 x2 的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y 2x2的图象（如图 2 1所示），从图 21 我们可以 得到这两个函数图象之间的关系： 函数 y2x2 的图 象可以由函数 yx2 的图象各点的纵坐标变为原来 的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y 1 1 x2，y 2x2 的图象，并研究这两个函数图2象与函数 yx2 的图象之间的关系图 2.2-2通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数 y ax2（a

34、0）的图象可以由 yx2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在 二次函数 yax2（a0）中，二次项系数 a 决定了 图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的 大小问题 2 函数 ya（xh）2k 与 yax2 的图象之间存在怎样的关系 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关 系同学们可以作出函数 y2（x1）21 与 y2x2的图象（如图 22所示），从 函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x2 的图象向左平移一个单位，再向 上平移一个单位， 就可以得到函数 y2（x1）21 的图象这两个函数图象之间 具有 “形状相同，位置不同 ”的特点类似地，还可以通

35、过画函数 y 3x2，y3（x1）21 的图象，研究它们 图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 ya（xh）2k（a0）中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向； h 决定了二次函数图象的左右平移，而且 “h 正左移， h 负右移 ”； k 决定了二次 函数图象的上下平移，而且 “k 正上移，k 负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax2bx c（a0）的图象的方 法：b b b2b2b 2 b2 4ac ，由于yax2bxca（x2bax）ca（x2bax4ba2）c4baa（x ） 2a 4a 所以，yax2bxc（a0）的图象可以看作是将函数

36、yax2 的图象作左右平 移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax2 bxc（a0）具有下列性质：1）当 a> 0 时，函数 y ax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为b 4ac b2），对称轴为直线 x b ；当 x <2ab 时， y 随着 x 的增大而减小；当 2ax>2a 4a 时， y 随着2ax 的增大而增大；当 x b 时，2a函数取最小值 y 4ac b24a2）当 a<0时，函数 y ax 2 bx c图象开口向下； 顶点坐标为 （b 4ac b22a 4a），对称轴为直线 x b ；当 x <2abx 的增大而减小；当 x b 时，2ab2a

37、时， y 随着 x 的增大而增大；当函数取最大值4ac b24ax>b 时， y 随着2a上述二次函数的性质可以分别通过图 22 3和图 224 直观地表示出来因此，在 今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例 1 求二次函数 y3x2 6x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值（或最y小 值），b并指出当 x取何值时，y随xy的 增大（ 而b增,大4a（c或b减2 ）小）并画 出该函数的图象x bA（, ）解： 函数 对称轴是直线 顶点O 当 Ox 当 x<3x26 1 3（x1）24， 象的开口向下；1；1 时，函数 yx取 最大值

38、 y 4； O 时，by 随4a着c xb的2 增大而增大；当 x> 随着 Ax （的增2a大, 而减4a小；）图 2.2-3yD（0,1）Ox 1B x2a 4aA（1,4）b x2 图 2.2-4 C图 2.2 5 1 时， y采用描点法画图，选顶点 A（1，4），与 x 轴交于点 B（2 3 3,0） 和 3C（ 2 3 3 ,0） ，与y轴的交点为 D（0，1），过这五点画出图象（如图 25所示） 3 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直 接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确函数 yax2bxc 图象 作图要领：（1） 确定开口

39、方向：由二次项系数 a 决定（2）确定对称轴：对称轴方程为 x b2a（3）确定图象与 x 轴的交点情况，若 >0则与 x 轴有两个交点，可 由方程 x2bxc=0求出若=0则与 x轴有一个交点，可由 方程 x2bxc=0求出若 <0则与 x轴有无交点。（4）确定图象与 y 轴的交点情况 ,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为（0， c）（5）由以上各要素出草图。 练习：作出以下二次函数的草图1) y x2 x 6 (2) y x2 2x 1 (3) yx2 1例 2 某种产品的成本是 120 元 /件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产 品的日销售量 y（件）之间关系如下表

40、所示：x /元130150165y/件705035若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润， 每件产品的销售价应定为多少元此时每天的销售利润是多少分析：由于每天的利润日销售量 y×（销售价 x120），日销售量 y 又是销售 价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利 润与销售价 x之间的函数关系， 然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的 最大值解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 ykx（ B）将 x130，y70；x 150，y50 代入方程，有解得 k 1，b200 y x 200设每天的利润为 z（元）

41、，则 z（x+200）（x120）x2320x24000 （x160）21600，当 x160 时，z 取最大值 1600答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元例 3 把二次函数 yx2bxc的图像向上平移 2个单位， 再向左平移 4个单位，得到 函数 y x2 的图像，求 b，c 的值bb2解法一： y x2 bxc （x+ b ）2 c b ，把它的图像向上平移 2个单位，再向左平移 4 24个单位，得到 y （x b2 4）2b2c42的图像，也就是函数yx2 的图像，所以，0,b2解得 b 8， c140,解法二： 把二次函数 y x2 bxc 的图像向上平移

42、 2 个单位，再向左平移 4 个单位， 得到函数 y x2的图像，等价于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 yx2bxc 的图像由于把二次函数 y x2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y （x4）22的图像， 即为 y x2 8x 14的图像， 函数 yx28x14与函数 yx2bxc 表示同一个函数， b 8，c14所以，同学们要说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题， 牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法： 解法一， 是直接利用条件进行正向的思维来解 决的，其运算量

43、相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等 价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选 择恰当的方法来解决问题例 4 已知函数 yx2， 2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函 数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值分析： 本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论解：（1）当 a2 时，函数 y x2的图象仅仅对应着一个点 （2，4），所以，函数的最 大值和最小值都是 4，此时 x 2；（2）当2<a<0时，由图 226可知，当 x 2时，函数取最大值 y4；当 x a 时，函数

44、取最小值 ya2；（3）当 0a<2时，由图 226可知，当 x 2时，函数取最大值 y4；当 x0 时，函数取最小值 y 0；图 2.2 6（ 4）当 a2时，由图 2 2 6可知，当 x a 时，函数取最大值 ya2；当 x 0 时， 函数取最小值 y 0说 明： 在 本例 中，利 用了分 类讨论 的方 法，对 a 的所 有可能情形进行讨论 此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实 数，而是取部分实数来研究， 在解决这一类问题时， 通常需要借助于函数图象来 直观地解决问题练习1选择题：（ 1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A ）y2x2（B） y2x24

45、x2（C）y2x21（D） y2x24x（2）函数 y2（x1）22 是将函数 y2x2（ ）（A）向左平移 1个单位、再向上平移 2 个单位得到的（B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的（ C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的（D）向上平移 2个单位、再向右平移 1 个单位得到的2填空题（ 1）二次函数 y 2x2 mxn 图象的顶点坐标为 （1，2），则 m，n（2）已知二次函数 yx2+（m2）x2m，当 m时，函数图象的顶点在 y 轴上；当m时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m时，函数图象经过原点（3）函数 y 3（x2）25 的图象的开口向 ，对称

46、轴为 ，顶点坐标 为 ；当 x 时，函数取最 值 y；当 x时，y随着 x的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随 x 的变化情况，并画出其图象（1）yx22x3；（2）y16 xx24已知函数 yx22x3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值 或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：（1）x2；（2）x2；（3） 2x1；（4）0x32.2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1一般式： y ax2 bxc（a0）；2顶点式： y a（x h ）2 k （a0）

47、，其中顶点坐标是 （h，k） 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种 表示方式，我们先来研究二次函数 yax2bx c（a0）的图象与 x 轴交点个数当抛物线 yax2bxc（a0）与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2bxc0并且方程的解就是抛物线 yax2 bxc（a0）与 x 轴交点的横坐标（纵坐 标为零），于是，不难发现，抛物线 yax2bxc（a0）与 x 轴交点个数与方程 的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b24ac 有关，由此可知，抛物线 y ax2 bxc（a0）与 x 轴交点个数与根的判别式 b2 4ac 存在下列关系：（1）当 >0 时，抛物线 yax2 bxc（a0）与 x 轴有两个交点；反过来，