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文档简介
1、湖南省衡阳市耒阳市浔江中学2020年高二数学理期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知,且,则的最大值是 (a) (b) (c)
2、; (d) 参考答案:c略2. 用反证法证明某命题时,对结论:“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为( )a都是奇数 b都是偶数c中至少有两个偶数 d中至少有两个偶数或都是奇数参考答案:d略3. 已知函数f(x)的导函数为,对恒成立,则下列不等式中一定成立的是( )a. b. c. d. 参考答案:a【分析】构造函数,求导,由,得在上单调递增,再根据求解.【详解】令因为,且,所以在上单调递增,因为,所以.故选:a【点睛】本题主要考
3、查导数与函数的单调性及其应用,还考查了构造函数的方法,属于中档题.4. 幂函数yxa,当a取不同的正数时,在区间0,1上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)设点a(1,0),b(0,1),连接ab,线段ab恰好被其中的两个幂函数yx,yx的图象三等分,即有|bm|mn|na|.那么,( )a1 b2 c3 d无法确定参考答案:a5. 已知数列an中,.若对于任意的,不等式恒成立,则实数a的取值范围为(
4、160; ).a. (,1)(3,+) b. (,21,+)c. (,13,+) d. 1,3 参考答案:c由,得,即,又,所以,即,即,要使对于任意的恒成立,则对于任意的恒成立,即对于任意的恒成立,令,则,解得或;故选c. 6. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83则x+y的值为()a7b8c9d10参考答案:b【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数【分析】利用平均数求出x的值,中位数求出y的值,解答即可【解
5、答】解:由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+(8+9+5+x+0+6+2)=590+x,又甲班学生的平均分是85,总分又等于85×7=595所以x=5乙班学生成绩的中位数是80+y=83,得y=3x+y=8故选b7. 对一切实数x,不等式x2+a|x|+10恒成立,则实数a的取值范围是( )a(,2)b2,+)c2,2d0,+)参考答案:b【考点】基本不等式;函数恒成立问题;二次函数的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】当x=0时,不等式x2+a|x|+10恒成立,当x0时,则有 a
6、(|x|+) 恒成立,故a大于或等于(|x|+) 的最大值再利用基本不等式求得 (|x|+)得最大值,即可得到实数a的取值范围【解答】解:当x=0时,不等式x2+a|x|+10恒成立,当x0时,则有 a=(|x|+),故a大于或等于(|x|+) 的最大值由基本不等式可得 (|x|+)2,(|x|+)2,即(|x|+) 的最大值为2,故实数a的取值范围是2,+),故选b【点评】本题主要考查函数的恒成立问题,基本不等式的应用,求函数的最值,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题8. 某人从湖里捞一网鱼,共条,做上记号后放入湖中,数日后再捞一网,共条,若其中做记号的鱼有条,估计湖中全部鱼的数量为(
7、160; ) 参考答案:b略9. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率是( )a. b. c. d. 参考答案:b10. 已知点p是抛物线x=y2上的一个动点,则点p到点a(0,2)的距离与点p到y轴的距离之和的最小值为()a2bc1d +1参考答案:c【考点】
8、抛物线的简单性质【分析】先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义转化求解即可【解答】解:抛物线x=y2,可得:y2=4x,抛物线的焦点坐标(1,0)依题点p到点a(0,2)的距离与点p到y轴的距离之和的最小值,就是p到(0,2)与p到该抛物线准线的距离的和减去1由抛物线的定义,可得则点p到点a(0,2)的距离与p到该抛物线焦点坐标的距离之和减1,可得:1=故选:c二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 参考答案:12. 已知点与圆,是圆上任意一点,则的最小值是 参考答案:513. 为了解某地高一年级男生的身高情况,从其中的一个
9、学校选取容量为60的样本(60名男生的身高,单位:cm),分组情况如下: 则表中的 , 。参考答案:6 0.45 略14. 椭圆(为参数)的焦距为_.参考答案:6【分析】消参求出椭圆的普通方程,即可求出椭圆的焦距【详解】将变形为,平方相加消去参数可得:,所以,c3
10、,所以,焦距为2c6故答案为6【点睛】本题考查椭圆的参数方程,考查椭圆的性质,正确转化为普通方程是关键15. 设x,y满足的约束条件,则z=x2+y2的最小值为 参考答案:1【考点】简单线性规划【专题】作图题;转化思想;数形结合法;不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域,由z=x2+y2的几何意义,即原点o(0,0)到直线3x+4y5=0的距离求得答案【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,z=x2+y2的最小值为原点o(0,0)到直线3x+4y5=0的距离,等于故答案为:1【点评】本题考查简单
11、的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题16. 在一万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假如在海域中任意一点钻探,那么钻到石油层的概率是 。参考答案:17. 14曲线c是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论:曲线c过坐标原点;曲线c关于坐标原点对称;若点p在曲线c上,则的面积不大于.其中所有正
12、确的结论的序号是 .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知椭圆e: +=1(ab0)过点,且离心率e为(1)求椭圆e的方程;(2)设直线x=my1(mr)交椭圆e于a,b两点,判断点g与以线段ab为直径的圆的位置关系,并说明理由参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】解法一:(1)由已知得,解得即可得出椭圆e的方程(2)设点a(x1,y1),b(x2,y2),ab中点为h(x0,y0)直线方程
13、与椭圆方程联立化为(m2+2)y22my3=0,利用根与系数的关系中点坐标公式可得:y0=|gh|2= =,作差|gh|2即可判断出解法二:(1)同解法一(2)设点a(x1,y1),b(x2,y2),则=, =直线方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y22my3=0,计算=即可得出agb,进而判断出位置关系【解答】解法一:(1)由已知得,解得,椭圆e的方程为(2)设点a(x1y1),b(x2,y2),ab中点为h(x0,y0)由,化为(m2+2)y22my3=0,y1+y2=,y1y2=,y0=g,|gh|2=+=+=,故|gh|2=+=+=0,故g在以ab为直径的圆外解法二:(1)同解法一(2
14、)设点a(x1y1),b(x2,y2),则=, =由,化为(m2+2)y22my3=0,y1+y2=,y1y2=,从而=+y1y2=+=+=00,又,不共线,agb为锐角故点g在以ab为直径的圆外19. 在abc中,已知tana=,tanb=(1)若abc最大边的长为,求最小边的长;(2)若abc的面积为6,求ac边上的中线bd的长参考答案:【考点】正弦定理;余弦定理【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形【分析】(1)利用tanc=tan(a+b)=1,求出内角c的大小,可得ab=,bc为所求,求出sina,再利用正弦定理即可求出最小边的边长(2)由已知及(1)可得sinb=,sina=,
15、sinc=,由正弦定理可得sabc=absinc=(2rsina)×(2rsinb)×sinc=6,解得r的值,从而可求b=6,a=4,利用余弦定理即可求得bd的值【解答】解:(1)c=(a+b),tana=,tanb=,tanc=tan(a+b)=1,又0c,c=;abc最大边为ab,且ab=,最小边为bc,由tana=,sin2a+cos2a=1且a(0,),得sina=,bc=ab?=即最小边的边长为(2)由tanb=,sin2b+cos2b=1且b(0,),得sinb=,由(1)可得:sina=,sinc=,由已知及正弦定理可得:sabc=absinc=(2rsin
16、a)×(2rsinb)×sinc=6,整理可得:r2×××=6,解得:r=2,b=ac=2rsinb=6,a=2rsina=4,由余弦定理可得:bd=【点评】本题考查正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式的应用,考查和角的正切公式,考查学生的计算能力和转化思想,属于中档题20. p为椭圆上一点,f1、f2为左右焦点,若f1pf2=60°(1)求f1pf2的面积;(2)求p点的坐标参考答案:【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程【专题】计算题【分析】(1)先根据椭圆的方程求得c,进而求得|f1f2|,设出|pf1|=t1,|pf2|
17、=t2,利用余弦定理可求得t1t2的值,最后利用三角形面积公式求解(2)先设p(x,y),由三角形的面积得,将代入椭圆方程解得求p点的坐标【解答】解:a=5,b=3c=4(1)设|pf1|=t1,|pf2|=t2,则t1+t2=10t12+t222t1t2?cos60°=82,由2得t1t2=12,(2)设p(x,y),由得4,将代入椭圆方程解得,或或或【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质解答的关键是通过解三角形,利用边和角求得问题的答案21. (本题满分10分)已知函数,(1)若的最小值为2,求值;(2)设函数有零点,求的最小值。参考答案: 22. 如图,
18、在四棱锥pabcd中,底面abcd为直角梯形,且adbc,abc=pad=90°,侧面pad底面abcd,若pa=ab=bc=,ad=1(i)求证:cd平面pac(ii)侧棱pa上是否存在点e,使得be平面pcd?若存在,指出点e的位置,并证明,若不存在,请说明理由参考答案:见解析【考点】直线与平面平行的判定;空间图形的公理【专题】计算题;空间位置关系与距离【分析】(i)由面面垂直的性质证出pa底面abcd,可得pacd在底面梯形abcd中利用勾股定理和余弦定理,利用题中数据算出cd2+ac2=1=ad2,从而accd最后利用线面垂直的判定定理,即可证出cd平面pac;(ii)取pd的中点f,连结be、ef、fc利用三角形的中位线定理和已知条件bcad且bc=ad,证出四边形befc为平行四边形,可得becf最后利用线面平行判定定理,即可证出be平面pcd【解答】解:(i)pad=90°,paad又侧面pad底面abcd,pa?侧面pad,且侧面pad底面abcd=ad,pa底面abcdcd?底面abcd,pacd在底面abcd中,abc=bad=90°,pa=ab
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