湖南省衡阳市耒阳市浔江中学2020年高二数学理期末试卷含解析

1、湖南省衡阳市耒阳市浔江中学2020年高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，且，则的最大值是   （a）           （b）            （c）          

2、;    （d） 参考答案：c略2. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）a都是奇数       b都是偶数c中至少有两个偶数   d中至少有两个偶数或都是奇数参考答案：d略3. 已知函数f(x)的导函数为，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ）a. b. c. d. 参考答案：a【分析】构造函数，求导，由，得在上单调递增，再根据求解.【详解】令因为，且，所以在上单调递增，因为，所以.故选：a【点睛】本题主要考

3、查导数与函数的单调性及其应用，还考查了构造函数的方法，属于中档题.4. 幂函数yxa，当a取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)设点a(1,0)，b(0,1)，连接ab，线段ab恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图象三等分，即有|bm|mn|na|.那么，( )a1       b2           c3  d无法确定参考答案：a5. 已知数列an中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（&#

4、160;   ）.a. (,1)(3,+)  b. (,21,+)c. (,13,+)  d. 1,3 参考答案：c由，得，即，又，所以，即，即，要使对于任意的恒成立，则对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，令，则，解得或；故选c. 6. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83则x+y的值为（）a7b8c9d10参考答案：b【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【分析】利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可【解

5、答】解：由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，总分又等于85×7=595所以x=5乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3x+y=8故选b7. 对一切实数x，不等式x2+a|x|+10恒成立，则实数a的取值范围是(     )a（，2）b2，+）c2，2d0，+）参考答案：b【考点】基本不等式；函数恒成立问题；二次函数的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】当x=0时，不等式x2+a|x|+10恒成立，当x0时，则有 a

6、（|x|+） 恒成立，故a大于或等于（|x|+） 的最大值再利用基本不等式求得 （|x|+）得最大值，即可得到实数a的取值范围【解答】解：当x=0时，不等式x2+a|x|+10恒成立，当x0时，则有 a=（|x|+），故a大于或等于（|x|+） 的最大值由基本不等式可得 （|x|+）2，（|x|+）2，即（|x|+） 的最大值为2，故实数a的取值范围是2，+），故选b【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题8. 某人从湖里捞一网鱼，共条，做上记号后放入湖中，数日后再捞一网，共条，若其中做记号的鱼有条，估计湖中全部鱼的数量为（&#

7、160;  ）  参考答案：b略9. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率是（    ）a.        b.        c.        d. 参考答案：b10. 已知点p是抛物线x=y2上的一个动点，则点p到点a（0，2）的距离与点p到y轴的距离之和的最小值为（）a2bc1d +1参考答案：c【考点】

8、抛物线的简单性质【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可【解答】解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）依题点p到点a（0，2）的距离与点p到y轴的距离之和的最小值，就是p到（0，2）与p到该抛物线准线的距离的和减去1由抛物线的定义，可得则点p到点a（0，2）的距离与p到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：1=故选：c二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 参考答案：12. 已知点与圆，是圆上任意一点，则的最小值是      参考答案：513. 为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个

9、学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下： 则表中的           ，           。参考答案：6        0.45  略14. 椭圆（为参数）的焦距为_.参考答案：6【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距【详解】将变形为，平方相加消去参数可得：，所以，c3

10、，所以，焦距为2c6故答案为6【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键15. 设x，y满足的约束条件，则z=x2+y2的最小值为        参考答案：1【考点】简单线性规划【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+y2的几何意义，即原点o（0，0）到直线3x+4y5=0的距离求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，z=x2+y2的最小值为原点o（0，0）到直线3x+4y5=0的距离，等于故答案为：1【点评】本题考查简单

11、的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16. 在一万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，那么钻到石油层的概率是                      。参考答案：17. 14曲线c是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线c过坐标原点；曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则的面积不大于.其中所有正

12、确的结论的序号是            .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆e： +=1（ab0）过点，且离心率e为（1）求椭圆e的方程；（2）设直线x=my1（mr）交椭圆e于a，b两点，判断点g与以线段ab为直径的圆的位置关系，并说明理由参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆e的方程（2）设点a（x1，y1），b（x2，y2），ab中点为h（x0，y0）直线方程

13、与椭圆方程联立化为（m2+2）y22my3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=|gh|2= =，作差|gh|2即可判断出解法二：（1）同解法一（2）设点a（x1，y1），b（x2，y2），则=， =直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y22my3=0，计算=即可得出agb，进而判断出位置关系【解答】解法一：（1）由已知得，解得，椭圆e的方程为（2）设点a（x1y1），b（x2，y2），ab中点为h（x0，y0）由，化为（m2+2）y22my3=0，y1+y2=，y1y2=，y0=g，|gh|2=+=+=，故|gh|2=+=+=0，故g在以ab为直径的圆外解法二：（1）同解法一（2

14、）设点a（x1y1），b（x2，y2），则=， =由，化为（m2+2）y22my3=0，y1+y2=，y1y2=，从而=+y1y2=+=+=00，又，不共线，agb为锐角故点g在以ab为直径的圆外19. 在abc中，已知tana=，tanb=（1）若abc最大边的长为，求最小边的长；（2）若abc的面积为6，求ac边上的中线bd的长参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）利用tanc=tan（a+b）=1，求出内角c的大小，可得ab=，bc为所求，求出sina，再利用正弦定理即可求出最小边的边长（2）由已知及（1）可得sinb=，sina=，

15、sinc=，由正弦定理可得sabc=absinc=（2rsina）×（2rsinb）×sinc=6，解得r的值，从而可求b=6，a=4，利用余弦定理即可求得bd的值【解答】解：（1）c=（a+b），tana=，tanb=，tanc=tan（a+b）=1，又0c，c=；abc最大边为ab，且ab=，最小边为bc，由tana=，sin2a+cos2a=1且a（0，），得sina=，bc=ab?=即最小边的边长为（2）由tanb=，sin2b+cos2b=1且b（0，），得sinb=，由（1）可得：sina=，sinc=，由已知及正弦定理可得：sabc=absinc=（2rsin

16、a）×（2rsinb）×sinc=6，整理可得：r2×××=6，解得：r=2，b=ac=2rsinb=6，a=2rsina=4，由余弦定理可得：bd=【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于中档题20. p为椭圆上一点，f1、f2为左右焦点，若f1pf2=60°（1）求f1pf2的面积；（2）求p点的坐标参考答案：【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【专题】计算题【分析】（1）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|f1f2|，设出|pf1|=t1，|pf2|

17、=t2，利用余弦定理可求得t1t2的值，最后利用三角形面积公式求解（2）先设p（x，y），由三角形的面积得，将代入椭圆方程解得求p点的坐标【解答】解：a=5，b=3c=4（1）设|pf1|=t1，|pf2|=t2，则t1+t2=10t12+t222t1t2?cos60°=82，由2得t1t2=12，（2）设p（x，y），由得4，将代入椭圆方程解得，或或或【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质解答的关键是通过解三角形，利用边和角求得问题的答案21. （本题满分10分）已知函数，（1）若的最小值为2，求值；（2）设函数有零点，求的最小值。参考答案： 22. 如图，

18、在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，且adbc，abc=pad=90°，侧面pad底面abcd，若pa=ab=bc=，ad=1（i）求证：cd平面pac（ii）侧棱pa上是否存在点e，使得be平面pcd？若存在，指出点e的位置，并证明，若不存在，请说明理由参考答案：见解析【考点】直线与平面平行的判定；空间图形的公理【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（i）由面面垂直的性质证出pa底面abcd，可得pacd在底面梯形abcd中利用勾股定理和余弦定理，利用题中数据算出cd2+ac2=1=ad2，从而accd最后利用线面垂直的判定定理，即可证出cd平面pac；（ii）取pd的中点f，连结be、ef、fc利用三角形的中位线定理和已知条件bcad且bc=ad，证出四边形befc为平行四边形，可得becf最后利用线面平行判定定理，即可证出be平面pcd【解答】解：（i）pad=90°，paad又侧面pad底面abcd，pa?侧面pad，且侧面pad底面abcd=ad，pa底面abcdcd?底面abcd，pacd在底面abcd中，abc=bad=90°，pa=ab