数学建模入门试题极其答案(共8页)

1、1. 你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。你是否走得越快，淋雨量越少呢？2. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？3. 一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4. 如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？5. 兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/

2、小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？6. 甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7. 设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。10cm8. 一角度为60度的圆锥形漏斗装着10厘米高的水（如右图），其下端小孔的面积为0.5平方厘米，求这些水流完需要多少时间？9. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜坡，计算这种情下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？10. 水管

3、或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 1解：把人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧:顶=1：a:b，选坐标系将人的速度表示为（v,0,0）,即人沿x周方向走，v>0,而设语雨速为（x,y,z）,行走距离为L，则淋雨量Q的表达式为：Q= Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v记q=a|x|+b|z|,则L(),vxQ(v)=L(+1),v>x在qx和q<x两种情形下作图Q/LQ/Lq<xq>x 1q/x 10 q/xvvxx0dx/dt=-x/1

4、0+72.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t的函数小x(t)的函数，则它应满足（时间t以周为单位）X(0)=0 其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。 解该线性方程初始问题得-t/10X(t) =701-由于当t 时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f（t）,即t时刻走的距离为f（t）;同样设从B点到A点的路程为函数g（t）。由题意有f(8)=0,f(18)=|AB|，g（8）=|AB|，g（18）=0；令h（t）= f（t）

5、-g（t），则有h(8)= f(8) - g（8）=- |AB|<0, h(6)=f(6) - g(6)= | AB|>0又注意f（t），g（t）都是时刻t的连续函数，因此h（t）也是时刻t的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t。使h（t。）=0，即f（t。）=g（t。）所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。4.解：设I为平面上任一封闭曲线，p为平面上一点（不妨设p在I内），则存在已过点p的直线，将I所围的面积二等分，如下图aS1S2lp0设l为过点p的一条直线，若S1= S1，则得证，否则设S1 >S2,l与x轴夹角为a，让l逆时针绕p旋转S2 ，

6、S2，则S1，S2随a的变化连续的变化，记其面积为S1a），S2（a）,则记S1（a）= S1, S2（a）= S2,f(a+)<0,且f（a）连续，由连续函数的介值定理知，在（0，）存在使f（）=0，a=对应的直线即为所求。5解：哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。6解：设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点，显然0x60,0y60，若两人相遇则有|x-y|10，这是一个几何概率问题，其中样本空间为A=（x，y）|x60,0y60它构成了空间直角标系中的正方形，相遇空间为yx0606010

7、10gaG=（x，y）, |x-y|10其图形见上图阴影部分，Sa，Sg分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)0.3067. 证明：设第i个人认识的人为s（i），则s（i）0.1.2.3N-1设没有两个人认识的人一样多，则s（1），s（2），互不相等，则s（i）取遍集合0、1、2N-1中的一个值，即至少存在某两个人k1，k2使s（k1）=N-1，s（k2）=0，而对第ki个人，由于（ki）=N-I，故他必然认识第k2人，故s（k）至少为1，与s（k2）=0矛盾，得证。8解：由水力学定律可知Q=dv/dt=0.62S

8、，其中0.62为流量系数S为空口横截面，g为重力加速度，h为从从空口到水面的高度，故有dv=0.31dt，另一方面，在t时间内，水面由h降至h+dh（dh<0）,则仅有dv=-r*r*dh=-/3*h*h*dh, 所以有0.31dt=-/3*h*h*dh，再由h(0)=10,联立求得其解为t=(/3)*(2/5)*1/(0.31(-,当水流完时，h=0，解得t=2/(15*0.31)*9解：设t=0时为开始刹车的时刻，x（t）为从t=0到t时刻所幸的距离，由刹车时所受的制动力为-uW-W*，其中W为车重，故x（t）满足*d（dt/dt）/dt=-uW-W*又由x（0）=0，dx/dt|t=0=v。解得x（t）=-1/2（+）+v。*t故制动时间为tb=v。/(+)因此刹车距离为x(tb)=1/2* v。/(+)同理可得汽车由西驶来时，刹车距离为1/2* v。/(+)10.解：假设管道是直