2020年高考数学(文)二轮专项复习专题07立体几何

1、专题07 立体几何立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系.本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体 的结构，三是空间向量与立体几何.在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究 ；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证 明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题.§ 7-1点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】1 .空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：有公

2、共点：相交，记作： a A b = A,其中特殊位置关系：两直线垂直相交.无公共点：平行或异面.平行，记作：a/ b.异面中特殊位置关系：异面垂直.(2)空间直线与平面：有公共点：直线在平面内或直线与平面相交.直线在平面内，记作：a .直线与平面相交，记作：an =A,其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交.无公共点：直线与平面平行，记作： a /.(3)空间两个平面：有公共点：相交，记作： n =l,其中特殊位置关系：两平面垂直相交.无公共点：平行，记作： /.2 .空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此

3、平面内.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果一条

4、直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（3）我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：直坡"直线直线/平面 T' 平面/平面直线±直线.宜城±平面 平面X平面【复习要求】1 . 了解四个公理与等角定理；2 .理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 【例题分析】例1如

5、图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别是AB, AAi的中点.求证：（I）E、C、Di、F四点共面；（n）CE、DA、DiF三线共点.A E 8P【分析】对于（I）中证明" E、C、Di、F四点共面”，可由这四点连接成两条直线，证 明它们平行或相交即可；对于 （II）中证明" CE、DA、DiF三线共点”，可证其中两条相交直 线的交点位于第三条直线上.证明：（I ）连接 DiC、AiB、EF.- E, F分另是AB, AAi的中点，_ i EF/AiB, EF AB，2又 AiDi/ BC, AiDi = BC, AiDiCB是平行四边形. - AiB/

6、DiC, EF / DiC, E、C、Di、F四点共面.i”（n ）由（I ）得 EF/CDi, EF -CDi,2 直线CE与直线 DiF必相交，记 CE A DiF = P, .PCDiF 平面 AiADDi, PCCE 平面 ABCD, 点P是平面AiADDi和平面 ABCD的一个公共点.,平面 AiADDiA 平面 ABCD = AD,PC ad, .CE、DA、DiF三线共点.【评述】i、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据：（i）证明多点共面常用公理 2及其推论；(2)证明多点共线常用公理 3,即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上；(3)证明多线共面，首先由其中两

7、直线确定平面，再证其余直线在此平面内.2、证明a, b, c三线交于一点的主要依据：(1)证明a与b相交，c与b相交，再证明两交点重合；(2)先证明a与b相交于点P,再证明PCc.例2 在四锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M, N分别是AB, PC的中 点，求证：MN /平面PAD.出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.证明：方法一，取PD中点E,连接AE, NE.底面ABCD是平行四边形，M, N分别是AB, PC的中点, 1 ”.MA/CD, MA -CD.2E是PD的中点，. 一 1” .NE/CD, NE -CD.2 .MA/ NE,且 MA = NE, .

8、AENM是平行四边形，MN / AE.又AE 平面PAD, MN 平面PAD, .MN/平面 FAD.方法二取CD中点F,连接MF, NF. MF / AD, NF / PD, 平面 MNF /平面PAD, .MN/平面 PAD.【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法:证明线线平行：a"c, b“c,a / a, a 3a / 3a_L a, b_L aaCl 3= bn a= a,n 3= ba / ba / ba / ba/ b(2)证明线面平行:a A a=a / ba/ 3ba, a aa 3a /aa / aa /a(3)证明面面平行:aCl 3=a /3, b/

9、 3a± a, a± 3a/,3 Ha, ba, a Ab = Aa/ 3a/ 3a/ 3a /3例 3 在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AAi = AC, ABXAC,求证：AiC±BCi,【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明AiC垂直于经过BCi的平面即可.证明：连接ACi.''' ABC AiBiCi是直三棱柱，AAi,平面 ABC, ABXAAi.又 AB± AC, .AB,平面 AiACCi, AiCXAB.又 AAi = AC,，侧面AiACCi是正方形， AiCXACi.由，得

10、AiC,平面ABCi, AiCXBCi.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABLAC”都要将其向“线面垂直”进行转化.例4 在三棱锥 P-ABC中，平面PABL平面 ABC, ABXBC, API PB,求证：平面PAC ，平面PBC.【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可 以通过“线线垂直”进行转化.证明： 平面 PABL平面 ABC,平面 FABA平面 ABC = AB,且 ABXBC,BC，平面 PAB, APXBC.又 API PB, .APL平面 PBC,又AP 平面PA

11、C, 平面PAC，平面 PBC.【评述】 关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法:证明线线垂直：a±c, b / c,a± ab aa± ba±b(1)证明线面垂直:a±m, a±na / b, b± aall 3, a，t3aX 3,aA 0= lm, n a, mCn=Aa3, alla± aa± aa± aa± a(1)证明面面垂直:例5 如图，在余三棱柱 ABCAiBiCi中，侧面AiABBi是菱形，且垂直于底面 ABC, ZAiAB = 60° , E, F 分别

12、是 ABi, BC 的中点.(I)求证：直线EF/平面AiACCi;(II)在线段AB上确定一点G,使平面EFGL平面ABC,并给出证明.证明：(I )连接AiC, AiE.侧面AiABBi是菱形，E是ABi的中点，.E也是AiB的中点，又F是BC的中点，EF / AiC. AiC 平面 AiACCi, EF 平面 AiACCi,直线 EF /平面 AiACCi.(2)解：当"G 1时，平面EFGL平面ABC,证明如下：GA 3连接EG, FG.侧面AiABBi是菱形，且/ AiAB=60° ,AiAB是等边三角形.一 ，一BG iE 是 AiB 的中点， -,EGXAB.

13、GA 3平面 AiABBi，平面 ABC,且平面 AiABBi n平面 ABC = ABEG，平面 ABC.又EG 平面EFG, ,平面 EFG，平面ABC.练习71、选择题:1.已知m, n是两条不同直线,是三个不同平面，下列命题中正确的是()(B)若 m， , n±(D)若 m /, m /(A)若 m /, n / ，则 m / n(C)若 ± ,，则/2.已知直线m, n和平面(A)n±(C)n±,且 m± n, m±,，则(B) n /，或 n(D) n /，或 n3 .设a, b是两条直线，、 是两个平面，则ab的一个充分

14、条件是()(A)a± , b/ ,±(B)a± , b± ,/(C)a , b± ,/(D)a , b/,±4 .设直线m与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是()(A)在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面垂直(C)与直线m垂直的直线不可能与平面平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面垂直二、填空题：5 .在三棱锥 P ABC 中，PA PB J6 ,平面 PABL平面 ABC, PAX PB, ABXBC, /BAC=30° ,贝U PC =.6 .在直四棱柱 ABCD AiBiC

15、iDi中，当底面 ABCD满足条件 时，有AiC±BiDi.(只 要求写出一种条件即可)7 .设， 是两个不同的平面， m, n是平面 ， 之外的两条不同直线，给出四个论断：m,n ±n，m，以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题 .8 .已知平面 ，平面 ， n =l,点AC , A l,直线 AB/ l,直线 AC±l,直线 m/,m/ ,给出下列四种位置： AB/ m；AC，m；AB/ ; AC± ,上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是 .三、解答题：9 .如图，三棱锥 PABC的三个侧面均为边长是 1的等边三角

16、形，M, N分别为PA, BC 的中点.(I )求MN的长；(II)求证：PAXBC.10 .如图，在四面体 ABCD中，CB=CD, ADXBD,且E、F分别是 AB、BD的中点.求 证：(I )直线EF /平面ACD ;(II)平面EFCL平面 BCD.11 .如图，平面ABEFL平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，/BAD = / FAB。_1 1 一=90 , BC/ AD, BC AD,BEAF,BE AF , G, H 分别为 FA, FD 的中点.22(I)证明：四边形 BCHG是平行四边形；(n)C, D, F, E四点是否共面？为什么？(m)i AB=BE,证

17、明：平面 ADEL平面 CDE.§ 7 2空间几何体的结构【知识要点】1 .简单空间几何体的基本概念:韵堤与底面耳垂H 始3tH校拄-斜棱柱1晚与底血前贡底瓦是正者劝帮十3 户<£雄柱*正棱柱.(2)特殊的四棱柱:人一底面是不行凶也够工H j 健检与底曲藤宜上底面是姐盛校柱- 平行六面体''直平打六面体-长方休正四棱柱正力体(3)其他空间几何体的基本概念:几何体基本概念正棱锥底向是止多面形，并且顶点在底向的射影是底向的中心正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台圆柱以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转形成的曲面围成的几何体圆锥

18、以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转形成的曲面 围成的几何体圆台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成 的曲面围成的几何体球面半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球球面所围成的几何体2.简单空间几何体的基本性质:几何体性质补充说明棱柱(i)侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)两个底向与平行于底向的故囿是全 等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面) 是平行四边形(i)直棱柱的侧棱长与图相等，侧面 及对角面都是矩形(2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和正棱锥(i)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角 形(2)棱锥的高、斜高和斜高在底

19、面上的射 影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧 棱和侧棱在底面上的射影也组成一个 直角三角形球(i)球心和球的截面圆心的连线垂直于 截回(2)球心到截面的距离d,球的半径R,面圆的半径r满足rJr2d2(i)过球心的截面叫球的大圆，不过 球心的截面叫球的小圆(2)在球面上，两点之间的最短距 离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离)3 .简单几何体的三视图与直观图：(1)平行投影：概念：如图，已知图形 F,直线l与平面 相交，过F上任意一点 M作直线MMi平 行于1,交平面 于点Mi,则点Mi叫做点M在平面 内关于直线l的平行投影.如果图形 F上的所有点在平面内关于直线

20、l的平行投影构成图形 Fi,则Fi叫图形F在 内关于直线l的平行投影.平面 叫投射面，直线l叫投射线.平行投影的性质：性质1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线；性质3.平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；性质4.与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；性质5.在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.(2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图.(3)三视图：正视图左视困僻视窗正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影.三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面.若投射面水平

21、放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方， 叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图.将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图.画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”4 .简单几何体的表面积与体积：(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：S直棱柱侧面积= ch,其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高.S正棱锥形面和1ch ,其中c为底面多边形的周长，hz为正棱锥的斜高2 1 ,

22、 S正棱台侧面积 一(c c)h ,其中c , c分力1J是梭台的上、下底面周长，hz为正梭台2的斜高.S圆柱侧面积=2 Rh,其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高.S圆锥侧面积=Rl, 其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长.S球=4 R2,其中R是球的半径.(2)柱体、锥体、台体和球的体积：V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.1 -一 -V锥体 -Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的局.V台体 1h(S <SS S),其中S- S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体的高.V球 4#3,其中R是球的半径.3【复习要求】1. 了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征

23、；2 .会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图;3 .理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式.【例题分析】例1如图，正三棱锥 PABC的底面边长为a,侧棱长为b.D(I)证明：PAXBC;的表面积;的体积.(n )求三棱锥 P ABC(出)求三棱锥 P-ABC【分析】对于(I)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(II)则要根据正 三棱锥的基本性质进行求解.证明：(I )取BC中点D ,连接AD , PD. P-ABC是正三棱锥， .ABC是正三角形，三个侧面 PAB, PBC, PAC是全等的等腰三角形. D 是 BC 的中点，BCLAD,

24、且 BCLPD, BC，平面 PAD, PAXBC.(n)解:在RtA PBD 中，PD x PB2 BD2 174b2婀 pd 4 4b2 a2. 三个侧面 PAB, PBC, PAC是全等的等腰三角形,，三棱锥P ABC的侧面积是3a ,4b2 a2.4.ABC是边长为a的正三角形，三棱锥 P-ABC的底面积是，三棱锥P-ABC3a的表面积为43a 4b243a /(a412b2 3a2)(出)解：过点P作PO,平面ABC于点O,则点O是正 ABC的中心,-1OD -AD3- 3a 、. 3a在 RtAPOD 中,PO PD2 OD233 3江 3，三棱锥 P ABC 的体积为-7pV3b

25、2a2 % '3。2 a .34312【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt POD,其中含有棱锥的高 PO;如RtAPBD,其中含有侧面三角形的高PD,即正棱锥的斜高；如果连接 OC,则在RtAPOC中含有侧棱.熟练运用这几个直角三角形，对解决正 棱锥的有关问题很有帮助.2、正n(n= 3, 4, 6)边形中的相关数据:正三角形止方形正六边形边长aaa对角线长缶长：2a；短：J3a边心距<3 Taa2巨T a面积心2 Taa23代22 a外接圆半径百 方a后Taa例2 如图，正三棱柱 ABC AiBiCi中，E是AC的中点.(I)求证：平面

26、 BECd平面 ACC1A1; (II)求证：ABi/平面 BECi.【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明：(I ).ABC AiBiCi 是正三棱柱，. AAi,平面 ABC, BEXAAi.ABC是正三角形，E是AC的中点，BEXAC,，BE，平面 ACCiAi,又BE 平 面 BECi,平面BEC平面ACCiAi.(II)证明：连接 BiC,设 BCiA BiC = D.BCCiBi 是矩形，D 是 BiC 的中点，DE / ABi.又DE 平面BECi, ABi 平面BECi,.A

27、Bi/平面 BECi .例3 在四棱锥 P-ABCD中，平面 PAD，平面 ABCD, AB/DC, PAD是等边三角形，已知 BD=2AD = 8, AB 2DC 4/5.(I )设M是PC上的一点，证明：平面 MBD，平面PAD;(II)求四棱锥P ABCD的体积.【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从 M是PC上 的动点分析知，MB, MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面 PAD.证明：(I)在4ABD中，由于 AD=4, BD=8, AB 4、后，所以 AD2+BD2=AB2.故 ADBD.又平面PAD，平面 ABCD,

28、平面PAD n平面 ABCD = AD, BD 平面 ABCD,所以BD，平面PAD,又BD 平面MBD,故平面 MBD，平面 PAD.(II )解：过 P作POLAD交AD于O,由于平面 PAD，平面 ABCD,所以POL平面 ABCD.因此PO为四棱锥P-ABCD的高，3又 PAD是边长为4的等边三角形.因此 PO 寸 4 2d3.在底面四边形 ABCD中，AB/DC, AB=2DC,_一 一 . . 一 . . . . . . 4 8 8 5 一.所以四边形 ABCD是梯形，在RtAADB中，斜边AB边上的图为 一 ,即为 4.55梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为S 濡，5

29、85 24.故 251Vp abcd24 2 3 16 3.3例4如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的主视图和左视图在下面画出 (单位：cm)(I )画出该多面体的俯视图；(n)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(出)在所给直观图中连结 BCJ证明：BC/ /平面EFG.【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽” ，根据此原 则及相关数据可以画出三视图.证明：（I）该几何体三视图如下图:C主视图）（左视图）（俯视图） 11284,2、(n)所求多面体体积 V V长方体 V正三棱锥 4 4 6 -(- 2 2) 2 (cm2).一323(出

30、)证明：在长方体 ABCD A'B'C'D'中，连结 AD',则AD' / BC'.因为E, G分别为AA', A'D'中点， 所以AD' / EG,从而EG / BC '.又BC' 平面EFG , 所以BC' /平面EFG .DfCB2,例5 有两个相同的直二梭柱，底面二角形的二边长分力1J是3a, 4a, 5a,图为一，其a中a>0.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四 棱柱，求a的取值范围.个三棱柱的表面积均是 2 x 6a2+ 6+8+

31、10 = 12a2+ 24 .情形：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为:2X (12a2+24)2X6a2= 12a2+48.情形：将两个直三棱柱的侧面ABBiAi重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2X (12a2+24)2X 8=24a2+32.情形：将两个直三棱柱的侧面ACCiAi重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2X(12a2+24)2X 6=24a2+36.情形：将两个直三棱柱的侧面BCCiBi重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2X (i2a2+ 24)2X i0=24a2+ 28在以

32、上四种情形中， 、的结果都比大， 所以表面积最小的情形只能在、中产5依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得24a2+28<i2a2 + 48,解得a2 5,3所以a的取值范围是(0,号5)例6 在棱长为a的正方体 ABCDAiBiCiDi中，E, F分别是BBi, CD的中点，求三 棱车B F-AiEDi的体积.AiEDi,G到平面AiEDi的距离.3 S A|EG A DiF到平面AiEDi的【分析】计算三棱锥FAiEDi的体积时，需要确定锥体的高，即点 距离，直接求解比较困难.利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如VF AED VA EFD1 ,也不易计算，因此可以考虑使用等价转化

33、的方法求解.解法i:取AB中点G,连接FG, EG, AiG.- GF / AD /AiDi,GF /平面F到平面AiEDi的距离等于点VF AiEDiVG AiEDiVDi AiEG解法2:取CCi中点H,连接FAi, FDi, FH ,FCi, DiH,并记 FCiA DiH= K.AiDi / EH , AiDi= EH,.Ai, Di , H , E 四点共面.AiDd平面 CiCDDi,FC±AiDi.又由平面几何知识可得FCiDiH,. FC,平面AiDiHE.FK的长度是点 F到平面AiDiHE(AiEDi)的距离.容易求得 FK 305 a, Vf a1ed11Sa1

34、ed1 FK103练习72、选择题：1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为2.(A)2如图是(B)4(C)8个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(A)9(B)103.有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为(D)16(D)124. cm,高为12 cm.现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计).如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m2, 那么为这批笔筒涂色约需涂料()(A)1.23 kg(B)1.76 kg(C)2.46 kg(D)3.52 kg4.某几何体的一条棱长为 J7,在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 1

35、用的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为()(A) 2 2(B) 2 . 3(C)4(D) 2.5二、填空题：5 .如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的每条棱长均为 2, E、F分别是BC、A1C1的中点，则 EF 的长等于.6 .将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=1,则三棱锥D ABC的体积 是.7 . 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 J3,底面周长为3,则这个球的体积为 .8 .平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似

36、地， 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：充要条件：(写出你认为正确的两个充要条件 )三、解答题：9 .如图，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，E是DDi的中点.(I)求证：BDi/平面 ACE;(II)求证：平面 ACE，平面 BiBDDi .10 .已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.6(I)求该几何体的体积 V;(n)求该几何体的侧面积S.11 .如图，已知 ABCDAiBiCiDi是棱长为3的正方体，点 E在AAi上，点F在CCi上, 且

37、 AE= FCi= i.G H(I )求证：E, B, F, Di四点共面;一 一 2,、 一(n)若点 G 在 BC 上，BG ,点 M 在 BB1 上，GMLBF,求证：EM，面 BCCiBi.3习题71.、选择题：关于空间两条直线(A)若 a / b, b(C)若 a /, b/a、b和平面,则 a /,则 a / b,下列命题正确的是(B)若 a II(D)若 a±)b b±a / ba/ b2.正四棱锥的侧棱长为2 33 ,底面边长为2,则该棱锥的体积为(A)88(B)-3(C)6(D)23.已知正三棱柱 ABCAiBiCi的侧棱长与底面边长相等，则直线 角的正弦

38、值等于()ABi与侧面ACCiAi所成4.、6(A)7.i0丁已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 体的体积是()(单位:,3(D)2-cm),可得这个几何20 侧视耳:博视5.40003(A) cm3(C)2000cm3若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,的菱形，则该棱柱的体积等于 ()80003(B) cm3(D)4000cm 3另外两个侧面都是有一个内角为60°(A) -2(B) 2 . 2(C) 3.2(D) 4 2二、填空题：6 .已知正方体的内切球的体积是4W3冗，则这个正方体的体积是 .7 .若正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面边长为1, ABi与底

39、面ABCD成60°角，则直线ABi 和BCi所成角的余弦值是.8 .若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为<3 ,则其外接球的表面积是 .9.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦 AB、CD的长度分别等于2用、4V3,每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 .10 .已知AABC是等腰直角三角形， AB=AC=a, AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使/BDC成直角.在折起后形成的三棱锥A- BCD中，有如下三个结论：直线AD，平面BCD;侧面ABC是等边三角形；三棱锥A-BCD的体积是 a3.24其中正确结论的序号是 三、解答题：.(写出全

40、部正确结论的序号)AB=AAi.MCB11 .如图，正三棱柱 ABCAiBiCi中，D是BC的中点,(I)求证:ADXBiD;(n )求证：AiC /平面 AiBD;(出)求二面角B ABiD平面角的余弦值.i2,如图，三棱锥 P-ABC 中，PAXAB , PAX AC, ABXAC, PA= AC=2, AB= i , M 为 PC的中点.(I)求证：平面PCB，平面MAB;(n )求三棱锥P ABC的表面积.13 .如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，Z ABC = 90° , A1C1、BCi的中点.(I )求证：BCi，平面 AiBiC;(n)求证：MN/平面 AiA

41、BBi；(出)求三棱锥 M BCiBi的体积.14 .在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD为矩形，SDL底面 ABCD, AD V2 , DC = SD =2.点 M 在侧棱 SC上，/ABM = 60° .(I )证明：M是侧棱SC的中点；(n )求二面角S-AM-B的平面角的余弦值.C专题07立体几何参考答案练习7-1一、选择题：1. B 2. D 3. C4. B二、填空题：5. 而 6. AC，BD(或能得出此结论的其他条件 )7.、三、解答题：；或、 8.9 . ( I )解：连接 MB, MC. 三棱锥P-ABC的三个侧面均为边长是 1的等边三角形，、3MB MC %

42、 ,且底面 ABC也是边长为1的等边三角形.N 为 BC 的中点，MNXBC.一22. 2在 RtMNB 中，MN VMB2 BN22(n)证明：: M是pa的中点， RAXMB,同理 PAXMC. . MBnMC=M, . PAL平面 MBC,又 BC 平面 MBC, PAX BC.10 .证明：(I).E、F分别是AB、BD的中点，. EF 是 ABD 的中位线，EF/AD.又EF 平面ACD, AD 平面ACD,直线 EF/平面ACD .(n)v EF / AD, AD± BD, ，EF，BD.,. CB = CD, F 是 BD 的中点，CFXBD. CF AEF=F, .

43、.BD，平面 CEF.BD 平面 BCD,.平面 EFC，平面 BCD.B，口111. (I)由题意知，FG = GA, FH = HD, . . GH /AD, GH - AD,2一 ,“1 又 BC/AD, BC AD , GH / BC, GH = BC, 2，四边形BCHG是平行四边形.（n）C, D, F, E四点共面.理由如下：1 一由 BE/AF, BF -AF , G 是 FA 的中点，2得 BE / FG,且 BE= FG. . EF / BG .由（I ）知BG/ CH，.二EF / CH,故EC, FH共面，又点 D在直线FH上, 所以C, D, F, E四点共面.（出）

44、连结EG,由 AB = BE, BE/AG, BE= AG 及/ BAG = 90 ° ,知 ABEG 是正方形，故 BGXEA.由题设知 FA, AD, AB两两垂直，故 AD,平面FABE,BGXAD. .BG,平面 EAD,BGXED.又 EDAEA=E,，BG，平面 ADF .由（I ）知 CH / BG, CHL平面 ADE.由（n ）知F C平面 CDE ,故CH 平面CDE,得平面 ADE，平面 CDE .练习7-2一、选择题：1. B2, D 3. D4. C二、填空题：2J24 冗5. 456. 12-7.8 .答案不唯一，如“两组相对侧面分别平行”；“一组相对侧面

45、平行且全等”；“对角线交于一点”；“底面是平行四边形”等.三、解答题：9 .证明：（I）设ACnBD = O,连结 OE.E是DDi的中点，。是BD的中点，OE/BD1.又 OE 平面 ACE, BD1 平面 ACE,BD1 /平面 ACE.（n ），ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，底面 ABCD是正方形，AC± BD.又 DiDL平面 ABCD, ACXDiD, . AC,平面 BiBDDi, 1. AC 平面 ACE, 平面 ACE,平面 BiBDDi.10.解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的 四棱锥P-ABCD.11 _ _ 八

46、(I )V -Sh (8 6) 4 64.33(n)该四棱锥有两个侧面 PAD、PBC是全等的等腰三角形，且 BC边上的高为：h1 =4也另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2 . 42 (-)25,22因此 S 2(- 6 4 2 - 8 5) 40 24 2.2211.(I)证明：在DD1上取一点N使得DN = 1,连接CN, EN,显然四边形 CFDN是平行四边形，DF/CN .同理四边形 DNEA是平行四边形，EN/AD,且EN=AD.又 BC/AD,且 BC = AD, EN / BC,且 EN=BC,四边形CNEB是平行四边形， CN/BE,D1F/ BE, E, B, F, D1 四点共面.2MB BG n. MB 3(II ) GMXBF, BCFAMBG,，即-3, . MB = 1.BC CF 32. AE= 1,二.四边形 ABME 是矩形，EMXBB1.又平面 ABB1A1,平面 BCC1B1,且 EM 平面 ABB1A1 ,EM，平面 BCC1B1.c G B习题7一、选择题：1. D2. B