锐角三角函数

1、1.1 锐角三角函数（第1课时）第一章 直角三角形的边角关系直角三角形直角三角形三边关系三边关系两锐角关系两锐角关系勾股定理勾股定理互余互余复习回顾复习回顾边角关系边角关系30角所对的角所对的直角边等于斜直角边等于斜边的一半边的一半 自学指导1认真阅读认真阅读P2P2P4P4，思考下列问题，思考下列问题v如何判断梯子的陡与缓？如何判断梯子的陡与缓？v正切的含义是什么？正切的含义是什么？v梯子的倾斜度与梯子的倾斜度与tanAtanA有何关系？有何关系？三分钟后完成问题探究一三分钟后完成问题探究一 梯子,地面与墙之间就形成一个直角三角形。墙AC和地面BC看成是直角边，梯子AB看成是斜边。梯子与地面

2、的夹角称为倾斜角从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度从梯子的低端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度AC CB 梯子在上升变陡过程中，倾斜角的大小有无变化？如何变 ？ 水平宽度水平宽度1 12 2倾斜角倾斜角越大越大梯子越梯子越陡陡 实例:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲组甲组乙组乙组 实例:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？9m8m如图，三部梯子的倾斜程度一样，通过测量发现其中两部梯子的数据如下，请你用上面的方法分析当倾斜角相等时，铅直高度和水平宽度之间有何关系。12 34 2

3、3 25请你判别下列哪部梯子最陡在RtABC中,如果 锐角A确定,那么A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫做 A的正切记作:tanAtanA=梯子的倾斜程度与tanA的关系tanA越大，梯子越陡， A越大BAC斜边A的对边BCA的邻边AC在RtABC中一一. . 去假存真去假存真( (抢答）抢答）1. 如图 (1)( ). ACBCA tanABCABC7m10m(1)(2)4如图 (2)( ). BCACA tan2如图 (2)( ). ABBCA tan3如图 (2)( ). 710tanB错错对对错错错错反馈练习一反馈练习一w例1 下图表示两个自动扶梯的几何模型,那一个自动扶梯比较陡?w

4、解解: :甲梯中甲梯中乙梯中乙梯中.1255135tan22.2184tan tan tan甲梯更陡甲梯更陡4 m8 m甲甲梯甲梯ABC乙5 m13 m乙梯乙梯DEFv1.tanA是在直角三角形中定义的,A是一个锐v角（注意数形结合，构造直角三角形）.v2.tanA是一个完整的符号,表示A的正切,习惯v省去“”号（注意tanA不表示tan乘以A).v3.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比. 4.tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角v形的边长无关.v5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,v则这两个锐角相等.请你用不同的符号表示下列图形中两个锐角的正

5、切阅读P5下面的内容，思考下面问题v什么是坡度（坡比）？v坡度和坡角的联系与区别是什么？2分钟后完成问题探究二自学指导2w斜坡的倾斜程度常用坡度表示.例如，有一山坡在水平方向上每前进80m就升高60m,山坡的坡度1.1.坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角()()叫叫坡角坡角2.2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即坡度等于坡角的正切。即坡度等于坡角的正切。3.3.坡度越大坡度越大, ,坡面越陡。坡面越陡。603tan.1005i100m60m例：例： 如图，为拦水坝的横截面，其中如图，为拦水坝的横截面，其中ABAB面的坡

6、度面的坡度i i ，若坝高，若坝高BC=20BC=20米，求坝面米，求坝面ABAB的长。的长。320解解: :在在RtRtABCABC中中,BC=20,BC=20米米 坡度坡度i i： 则则AC= AC= 米米. . 又又ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2 AB= AB=20202 2+( )+( )2 2=40=40米米331ACBC3203:1在在RtABC中中, 如果如果 锐角锐角A确定确定,那么那么A的对边与邻边的比的对边与邻边的比 随之确定随之确定,这个比叫做这个比叫做 A的正切的正切.记作记作:tanAtanA=A的对边的对边A的邻边的邻边BACA的对边的对边A的邻

7、边的邻边tanA越大，梯子越陡，越大，梯子越陡， A越大越大课堂小结课堂小结：第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数（第2课时）复习引入 2、在RtABC中，C90， tanA ，AC10求BC,AB的长。A10BC1、如图，RtABC中，tanA = ，tanB= 。 433、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为A，A越大，梯子越 ；tanA的值越大，梯子越 。4、当RtABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？B1B2AC1C2探究活动1：如图（1）RtAB1C1和RtAB2C2的关系是 。 （2） 。（3）如果改变B2在斜边

8、上的位置，则 。的的关关系系是是A AB BC CB B和和A AB BC CB B2 22 22 21 11 11 1的的关关系系是是A AB BC CB B和和A AB BC CB B2 22 22 21 11 11 1思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值_，根据是_。它的邻边与斜边的比值呢？归纳概念在RtABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦,记作sinA,即在RtABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作cosA,即锐角A的正弦,余弦,正切和余切都叫做A的三角函数.ABCA的对边A的邻边斜边sinA=斜边A的对边cosA=

9、斜边A的邻边温馨提示v（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,A是一个锐角；v（2）sinA，cosA中常省去角的符号“”。但BAC的正弦和余弦表示为: sinBAC，cosBAC。1的正弦和余弦表示为: sin1，cos1；v（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；v（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A” ；v（5）sinA，cosA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系。铅直高度水平宽度倾斜角探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关

10、系吗？是怎样的关系？A探究新知探索发现：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关cosA越 ,梯子越陡.sinA越大,梯子 ;探究3：如图:在RtABC中,C=900,AB=20, sinA=0.6，求BC和cosB.20ABC解:在RtABC中, 6.020sinBCABBCA126 . 020 BC0.62012ABBCcosB思考:通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明。在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦。小结规律： 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦。 即sinA=cosB

11、1、如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定2、已知A,B为锐角(1)若A=B,则sinA sinB;(2)若sinA=sinB,则A B.ABCc=及时检测3、如图, C=90CDABACBD.sinB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ACCDABADBCAC归类提升 类型一： 已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1 在RtABC中,C=90, AC=3,AB=6,求B的三个三角函数值。 类型二： 利用三角函数值求线段的长度例2 如图，在RtABC中,C=90,BC=3,sinA

12、= ,求AC和AB。135 类型三： 利用已知三角函数值，求其它三角函数值例3 在RtABC中，C=90，BC=6，sinA= ，求cosA、tanB的值。53 类型四： 求非直角三角形中锐角的三角函数值例4 如图:在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.1、锐角三角函数定义： sinA= ， cosA= ， tanA= ；总结延伸ABCA的对边A的邻边斜边2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA， 是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示A的正切，习惯省去“”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位； （4）sinA，cosA，tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）两锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等。3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形。ADBC E FCABDABCD随堂小测（8min）31、如图,分别求,的三个三角函数值。2、在等腰ABC中, AB=AC=13,BC=10,求sinB,c