【PPT精品课件】金融工程-06_Options_Prici

1、第六章第六章期权定价期权定价1教学内容教学内容1.股价过程股价过程2.BSM随机微分方程随机微分方程3.风险中性定价风险中性定价4.B-S期权定价公式期权定价公式5.标的资产支付连续红利情况下的期权定价标的资产支付连续红利情况下的期权定价6.欧式指数期权、外汇期权和期货期权欧式指数期权、外汇期权和期货期权2期权期权马尔科夫过程马尔科夫过程(Markov process)1. 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关2. 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径刻

2、的概率分布不依赖于股价过去的路径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性3期权期权Wiener过程过程(布朗运动布朗运动)定义定义1. 瞬时增量为瞬时增量为增量的均值等于增量的均值等于0增量的标准差等于增量的标准差等于zt 2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的在任意两个微小时间段内的改变量是独立的Wiener过程是过程是Markov过程过程t 4期权期权Wiener过程过程(布朗运动布朗运动)基本性质基本

3、性质1. Wiener过程过程(长时间段内长时间段内)的增量的增量增量的均值等于增量的均值等于0增量的标准差等于增量的标准差等于2. 在任意时间段内的期望路径长度为无穷大在任意时间段内的期望路径长度为无穷大3. 在任意时间段内，在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无取某一给定值的期望次数等于无穷大穷大 10Niiz TztNTt T5期权期权广义广义Wiener过程过程1. x是广义是广义Wiener过程，如果过程，如果漂移速度漂移速度a是常数是常数b是常数是常数2. x是广义是广义Wiener过程过程增量增量 的均值等于的均值等于标准差为标准差为dxadtbdz 0 x Tx b T

4、aT6期权期权Ito引理引理1. x是是Ito过程，如果过程，如果2. Ito引理：引理：G是是x与与t的函数，在一定的正则条件下，的函数，在一定的正则条件下，因此，因此，G也是也是Ito过程过程22212GGGGdGabdtbdzxtxx ,dxa x t dtb x t dz7期权期权Ito引理引理应用于股票远期价格应用于股票远期价格1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为标的资产为不分红的股票，则远期价格为2. 运用运用Ito引理，得到，引理，得到，00rTFS e r TtFSe dFr FdtFdz8期权期权股价过程股价过程1. 股价过程：几何布朗运动股价过程：几何布朗运动 ， ：

5、单位时间内股票价格的期望收益率：单位时间内股票价格的期望收益率 ：股价的波动率：股价的波动率 .2. S为股价过程，则为股价过程，则dSdtdzSdSSdtSdz ,SttS 222212GGGGdGSSdtSdzStSS9期权期权股价过程股价过程对数正态分布对数正态分布1. 股价对数过程，股价对数过程，2. 称股价呈对数正态分布称股价呈对数正态分布 2ln2dGdSSdtdzlnGS 20ln,2TSSTT 20lnln,2TSSTT 0TTE SS e 2220var1TTTSS ee10期权期权股价过程股价过程收益率分布收益率分布1. 股票收益率股票收益率(长时间尺度长时间尺度)2. 与

6、瞬时期望收益率的差异与瞬时期望收益率的差异3. 约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时期望收益率期望收益率0TTSS e 01lnTSTS 或或者者，2,2T ,SttS 11期权期权BSM随机微分方程随机微分方程假设假设1. 股价过程为股价过程为Ito过程过程2. 卖空无限制卖空无限制3. 没有交易成本、税收，证券是无限可分的没有交易成本、税收，证券是无限可分的4. 衍生工具在到期之前不产生红利衍生工具在到期之前不产生红利5. 不存在套利机会不存在套利机会6. 证券可以连续交易证券可以连续交易7. 所有期限的无风险利率同为常数所有期限的无

7、风险利率同为常数12期权期权BSM随机微分方程随机微分方程推导推导1. f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数2. 离散形式离散形式dSSdtSdz222212ffffdfSSdtSdzStSSSS tS z 222212fffffSStS zStSS 13期权期权BSM随机微分方程随机微分方程推导推导3. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可以消除掉以消除掉Wiener过程。过程。1个单位衍

8、生工具空头，个单位衍生工具空头， 份股票份股票4. 把上述投资组合的价值记作把上述投资组合的价值记作fS ffSS 222212ffffSStStS 14期权期权BSM随机微分方程随机微分方程推导推导5. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的6. 股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现在边界条件上在边界条件上欧式买权：当欧式买权：当t=T时，时，欧式卖权：当欧式卖权：当t=T时，时，rt 222212fffStrfSttSS 222212fffrSSrftSS maxfSX maxfXS1

9、5期权期权BSM随机微分方程随机微分方程应用于股票远期应用于股票远期股票远期的价格满足股票远期的价格满足BSM方程方程 r TtfSKe 22,1,0r TtfffrKetSS 222212r T tfffrSSrKerSrftSS 16期权期权BSM随机微分方程随机微分方程1. BSM的任何解的任何解 都是某种可以交易的衍生工具都是某种可以交易的衍生工具的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会2. 如果如果 不满足不满足BSM方程，它是某种衍生工具的方程，它是某种衍生工具的价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利

10、机会 ,fS t ,fS t17期权期权风险中性定价风险中性定价(risk-neutral valuation)1. Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说方程不包含股票收益率，说明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此，明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此，在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地，在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地，可以假设投资者是风险中性的可以假设投资者是风险中性的在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无风险利率风险利率2. 风险中性定价的一般程序风险中性定价的一般

11、程序假设标的资产的期望收益率等于无风险利率假设标的资产的期望收益率等于无风险利率计算衍生工具在到期日的期望支付计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff)把期望支付按无风险利率贴现把期望支付按无风险利率贴现3. 风险中性定价是求解风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该方程的一种人造方法，用该方法求得的解适用于任何投资者方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性不仅限于风险中性的投资者的投资者)18期权期权风险中性定价风险中性定价应用于股票远期应用于股票远期1. 边界条件：边界条件：2. 根据风险中性定价原则，根据风险中性定价原则，TTfSK r T tTfeE SK r T t

12、r T tTeE SeK r T tr T tr T teeSeK r T tSeK19期权期权欧式期权定价欧式期权定价1. 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的世纪的前面前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在作出现在1973年年金融学家金融学家F. Black与与M. Scholes发表了发表了“期权定价

13、与公司负债期权定价与公司负债”的著名论文的著名论文2. 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法3. M. Scholes主要因为这一工作与主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺一道荣膺了了1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖20期权期权BS期权定价公式期权定价公式 012()

14、()rTcS N dXeN d 201()()rTpXeNdS Nd2012lnSrTXdT20212lnSrTXddTT r T tTfeESK 21期权期权欧式期权定价欧式期权定价轶事轶事1. 巧合的是，国际上第一个期权交易所巧合的是，国际上第一个期权交易所芝加哥期权芝加哥期权交易所于交易所于1973年年4月底挂牌营业，略早于月底挂牌营业，略早于B-S公式的公式的正式发表（正式发表（5-6月号）月号）2. 两位作者最先把论文投给两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：金融太多，经济学太少金融太多，

15、经济学太少3. 他们于是向他们于是向经济学与统计学评论经济学与统计学评论投稿，同样在没有得投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝到审稿意见的情况下遭到拒绝4. 在芝加哥人在芝加哥人E. Fama和和M. Miller与与JPE杂志的编辑打杂志的编辑打了招呼以后，了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文才最终发表了这篇论文5. 这一番波折导致他们检验这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先公式的论文发表在先22期权期权BS期权定价公式期权定价公式离散红利离散红利1. 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期权执行价格、期

16、权距离到期的时间、的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、无风险利率以及标的股票的波动率无风险利率以及标的股票的波动率2. 如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用票期权没有分红的保护，因此不能直接利用B-S期权期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办法定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办法是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而得公式中，从而得到欧式期权的价

17、值到欧式期权的价值 23期权期权美式买权的执行问题美式买权的执行问题股票分红股票分红1. 分红前夕：分红前夕：2. 相应的分红数量：相应的分红数量：3. 如果在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价如果在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价值为值为4. 如果在最后一次分红前夕不执行期权，那么，期权的如果在最后一次分红前夕不执行期权，那么，期权的下界告诉我们，下界告诉我们，5. 所以，如果所以，如果 ，即，即 ，那么，在最后一次分红前夕执行，那么，在最后一次分红前夕执行期权不是最优方案期权不是最优方案6. 如果如果 ，可以证明，在股价充分高的，可以证明，在股价充分高的情况下，执行期权是最优

18、方案情况下，执行期权是最优方案120ntttT0,1,2iDin nS tX nr T tnnCcS tDXe nr T tnnnS tDXeS tX 1nr T tnDXe 1nr T tnDXe24期权期权美式买权的执行问题美式买权的执行问题股票分红股票分红1. 一般地，如果一般地，如果 ，那么在第，那么在第I次分红次分红前夕执行期权不是最优方案前夕执行期权不是最优方案2. 总结总结美式买权如果提前执行，通常发生在最后一次分红的美式买权如果提前执行，通常发生在最后一次分红的前夕前夕如果如果 对对i=1,2n ( )成立，成立，那么，提前执行不是最优方案那么，提前执行不是最优方案 11iir

19、 ttiDXe 11iir ttiDXe 1ntT 25期权期权美式卖权的执行问题美式卖权的执行问题股票分红股票分红1. 美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案2. 如果如果 对对i=1,2n ( )成立，成立，那么，卖权不应该提前执行那么，卖权不应该提前执行 11iir ttiDXe 1ntT 26期权期权欧式股票期权欧式股票期权连续红利连续红利1. 下述两种股票在下述两种股票在T时刻的价格分布相同时刻的价格分布相同当前股价为当前股价为 ，支付连续红利，红利率为，支付连续红利，红利率为q当前股价为当前股价为 ，不支付红利，不支付红利2. 定价原则：在定价标的股票支付连续红利的欧式期权定价原则：在定价标的股票支付连续红利的欧式期权时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，只要用只要用 替代当前股价替代当前股价0S0qTS e 0qTS e 27期权期权欧式股票