“加法原理与乘法原理”教学案例

1、“加法原理与乘法原理”教学案例一、教学设计1、教学内容分析。两个基本原理一课是 排列、组合、二项式定理一章的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已知的数学知识联系很少，它是在人们大量的实践经验的基础上归纳抽象出来的基本规律。而且，在日常工作和生活中，只要涉及到安排调配、统筹规划等问题，就离不开它。因此，它具有广泛的应用性，是培养学生数学应用意识和实践能力的良好素材。同时，两个原理也是推导排列数、组合数计算公式的理论依据，是分析排列、组合应用题的基本思路。正确使用两个基本原理的前提是使学生分清楚两个基本原理使用的条件：分类用加法原理，分步用乘法原理。单是这一点，学生是很容易理解的，问题在于怎样合理

2、的分类、分步，特别是在分类、分步时怎样才能做到既不重复，又不遗漏。在实际应用中，常用到观察、分析、归纳、类比、总结等方法，因此，也是帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯的好素材。2、数学情境的创设。数学问题源于情境，因此情境创设的优劣将直接影响问题的提出和提出问题的质量。贴近学生生活数的学情境，能够激发学生强烈的兴趣，促进学生发现其中的问题，提出问题，并乐于去解决问题。所以，创设情境是运用“情境问题”这一教学模式上好一堂课的关键。我上这一堂课的时间是 2002 年 6 月 4 日上午第四节课，当时的背景是 2002 年韩日足球世界杯刚刚开幕，中国队进入了决赛阶段，并且当天

3、下午就要打第一场比赛，也是中国队在本届世界杯上，最有希望赢球的一场比赛。据估计，班上 80 % 的学生是球迷，对足球有着浓厚的兴趣。因此，我设置了以下情境：中国队进入韩日世界杯决赛阶段，就有了小组出线乃至夺冠的机会和可能，圆了众多球迷 44 年的心愿。对于中国队的第一场比赛，每个人都有不同的看法和预测。请说说你的看法和预测，你最关心什么？这个情境正是学生最关注的“谁能夺冠”及“中国队能否出线”的内容，也正好是作为引出两个基本原理的实例。 3、课堂教学目标根据教学大纲的要求，结合数学情境的创设，确定本节课的素质教育目标是：1）、知识教学目标：理解和掌握加法原理与乘法原理。2）、能力训练目标：通过

4、分析、探究将足球赛的现实情境问题转化为加法原理与乘法原理的数学问题来解决，培养学生从具体到抽象的思维方法，使学生获得“数学化”的体验。3）、情感、态度目标：通过对中国队能否小组出线与夺冠可能性的讨论，激发学生的学习兴趣和爱国热情，培养学生正确地面对成功、失败与挫折的良好心态。二、教学过程（一）、创设情境。师：中国队进入韩日世界杯决赛阶段，就有了小组出线乃至夺冠的机会和可能。对于本次世界杯足球赛，每个人可能有不同的看法和预测。那么，大家最关心的是什么呢？今天下午，中国队将进行本届世界杯上的第一场比赛：中国哥斯达黎加。这节课，我们先来聊一下足球赛。（通过聊足球赛来激发学生的学习兴趣）（时间控制在

5、5 分钟之内）学生1：中国队能进入世界杯的决赛阶段，我是非常高兴的，我希望中国队在本次世界杯上能取得很好的成绩，最好能进入决赛，爆出一个大冷门。师：同学1说出了我们大家的希望，希望中国队能发挥他们的水平，赛出中国队的风格来。学生2：对于本次世界杯，中国队的实力还达不到和世界强队竞争的水平，所以我只希望中国队能进一个球，能赢一场比赛，也就不枉进了一回世界杯。师:看来这位同学对中国队的现状是作了一些实力分析，态度比较保守。学生3：足球是圆的，在比赛场上是什么情况都有可能发生的，只要中国队能赢一场平一场，那么，就可以进入 16 强，我最关心的是“谁能夺冠”及“中国队能否出线”。师：“夺冠”、“出线”

6、可能是在座各位最关心的问题了。（在黑板上板书“夺冠”、“出线”）（二）、提出问题。师：在足球场上，要想赢球，是和教练的事前战术布置、球员的技术发挥、比赛双方的实力对比、天气情况等各种外在、内在的因素密不可分的。比赛场上，什么情况都有可能发生。所以不能说中国队就完全没有出线、乃至夺冠的可能。夺冠问题如果排除各种外在、内在的因素，单单从夺冠的可能性来说，这次世界杯的冠军会有多少种不同的可能？出线问题中国所在的 C 组，分别以第一名、第二名身份出线的两队，有多少种不同的可能？（三）、解决问题。师：这节课我们就来解决这两个问题。1、夺冠问题。（由学生分组讨论解决方法）（时间控制在 15 分钟之内）小组

7、1：将球队按所在的赛区可以分为 6 类，即 6 个赛区：直接晋级的 3 支，亚洲队 2 支，非洲队 5 支，欧洲队 14 支，北美洲队 3 支，南美洲队 5 支，由于无论哪一个赛区中的哪一支球队都有夺冠的可能。所以一共有 N = 3 + 2 + 5 + 14 + 3 + 5 = 32种不同的夺冠可能。师：上面这种方法可以归纳为我们所说的“加法原理”：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法， 在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法。那么，完成这件事共有 N = m 1 + m 2 + + m n 种不同的方法。小组2

8、：按照世界杯的分组来分类，可以分为 8 类，即8 个小组，每组 4 支队，每个小组内的 4 支球队都有夺冠的可能，则一共有 N = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 种不同的可能。小组3：将这 32 支球队看成一类，这一类中有 32 种不同的方法，每一种方法都能独立的完成“夺冠”这件事，所以根据加法原理，一共有 32 种不同的可能。2、出线问题：（时间控制在 20 分钟之内）学生5：为了解决问题可以列出各种可能，以 C 组为例：第一名 第二名 第一名 第二名 土耳其 巴 西巴西 中 国 共3种 哥斯达黎加 中 国 共3种 哥斯达黎加 土耳其 巴 西 巴 西中

9、国 土耳其 共3种 土耳其 中 国 共3种 哥斯达黎加 哥斯达黎加一共有 4 × 3 = 12 种不同的出线可能。师：上面这种方法可以归纳为下面要讲的“乘法原理”：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 1 种不同的方法，做第二步有 m 2 种不同的方法， 做第 n 步有 m n 种不同的方法。那么，完成这件事共有 N = m 1 × m 2 × × m n 种不同的方法。浅析两个基本原理。1、共同点：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数。2、区别：加法原理与分类有关，要求不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独的完成这件事。每类是独立完成

10、事情。乘法原理与分步有关，要求依次完成所有步骤后，才能完成这件事，每步是阶段性的完成事情。所以，应用两个原理的关键在于恰当的分类或分步，使分类或分步不重复，不遗漏。换句话说，类类互斥，步步独立。师：对于刚才的 数学结论是排除了各方面的干扰的，但实际问题中，是要受到各种各样的因素的干扰。所以，不能仅仅根据我们算出来的结论就武断地做出结论，必须具体问题具体分析。认真而又冷静的对待比赛的结果。三、回顾反思这堂课受到听课教师和学生的好评，主要是因为数学情境设置的时机非常适宜。下午就要进行比赛，而上午就上这堂大家都比较感兴趣的课。1、创设情境是上好课的基础。为了创设好的数学情境，教师必须悉心研究教材，了

11、解教材内容体系，了解学生的兴趣爱好、身心发展水平，选择既贴近学生生活，能激起学生学习兴趣，调动学生的求知欲，又紧扣教材知识内容的实际问题作为情境。设置了好的数学情境，因为学生感兴趣，所以能自然的引导学生提出问题，并由学生自己想办法解决问题，充分发挥了学生的主体作用。2、恰当引导学生提出数学问题。对于进行“数学情境与提出问题”课题研究，在上课前需要事先预想学生可能会提出的问题以及可能提出的解决方法，但是也不能忽视学生的发散思维。在讲授过程中并不是每一个环节都能按照教师的预想的步骤进行，对于课堂上的突发性的问题，教师要能自如的应对。比如，在讲授“夺冠问题”加法原理时，有学生突然提出一种分类的方法：

12、按照队员的肤色来分类。在讲课时只是一带而过：“有很多队伍中的队员肤色并不统一，那他们该属于哪一类呢？这是不能确定的。分类必须具有确定性，所以这种分类不能采用。”但是，应该抓住这个契机，在鼓励学生发散思维进行思考的同时，还应该对于学生的不规范的答案进行点拨。“虽然队伍中的队员肤色不统一，但是可以通过增加条件来解决。比如，根据队长的肤色来分类，那么问题就可以解决了。”3、以单元大情境带动数学教学。在教学过程中，学生的思维是活跃的。本课中，学生除了提出“夺冠”与“出线”两个紧扣本课内容的问题外，还提出了其他很多有价值的问题。这些问题虽然不能在本节课中得到解决，但却是学生关心并希望自己能够解决的问题；

13、这些问题为下一步进行排列组合的概念，排列数、组合数公式以及排列组合实际应用问题作了铺垫。比如：1）、每个小组要进行多少场比赛？这个问题可以用来解决求排列数公式的问题。2）、中国队共有 5名运动员可以踢前锋的位置，一场比赛需要2名前锋，可以有多少种出场方式？这个问题可以用来解决求组合数公式的问题。3）、如果赢一场比赛得 3 分，平一场得 1 分，输一场得 0 分，那么中国队所在的 C 组，会有多少种得分情况。4）、如果中国队每个位置都有两名运动员可以替换上场，有多少种出场方式？5）、若甲队员不能踢左前锋，乙队员不能踢右后卫，那么 22 名队员可以有多少种出场方式？这些问题都可以作为排列组合应用题

14、。所以，这节课所创设的“足球赛与排列组合”的数学情境，并不仅仅是一节课的情境，而是可以作为整个“排列组合”这一单元的大情境，使教师从每节课都要找一个合适的数学情境的工作中解脱出来，选择适宜一单元的大情境，正是我校课题组正在思考解决的问题。参考文献：1吕传汉，汪秉彝. 论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习J.数学教育学报，2001，10（4）：9-14.2吕传汉，汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习J.数学教育学报，2002，11（4）：72-76.3吕传汉，汪秉彝等. 数学情境与数学问题M，重庆：重庆大学出版社，2001.225，257.4吕传汉，汪秉彝.中小学数学情境与提出问题教学探究M，贵阳：贵州人民出版社，2002.58-64.（四川省南充市白塔中学 637002）点 评“加法原理和乘法原理”是人们根据日常生活总结出来的基本计数规律，是学习排列组合、概率的基础。同时，也是体现数学源于生活，用于生活的好素材之一。是培养“数学联系生活”的能力和“数学应用”的意识的良好素材。这节课为我们提供了如何应用数学情境，引导学生提出问题，在解决问题的过程中体会数学公式、原理发生发展的过程，进行数学化的范例。1情境创设适当，密切联系学生生活实际，选择在特定时刻特定意义下的“世界杯”足球赛赛势作为情境，适合学生的兴趣爱好。极大