应用多元统计chPPT学习教案

1、会计学1应用多元统计应用多元统计ch2第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验推广到多元,考虑统计量因离差阵第1页/共40页3第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验由定义3.1.5可知利用T 2与F分布的关系，检验统计量取为第2页/共40页4第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1 例3.2.1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、钠的含量(X2)和钾的含量(X3)(数据见表3.1).试检验 H0:=0=(4,50,10)， H1: 0 . 第3页/共40页5第

2、三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1 解 记随机向量X= (X1,X2,X3),假定XN3(,) . 检验 H0: 0， H1：0 .取检验统计量为926.6816.107372.3498.3795190.190708.54, )965. 9 ,40.45,64. 4(AX由样本值计算得:第4页/共40页6第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1第5页/共40页7第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1 对给定=0.05,按传统的检验方法,可查F分布临界值表得=F3,17(0.05)=3.2

3、,比较由样本值计算得到的F值及临界值,因F值=2.90453.2,故H0相容. 利用统计软件进行检验时,首先计算p值(此时检验统计量FF(3,17)： p=PF2.9045=0.06493 .因p值=0.064930.05=,故H0相容.在这种情况下，可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为 =P F3.2|=X =0.3616(假定总体均值=10,取1=X).第6页/共40页8第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 在数理统计中关于总体参数的假设检验,通常是利用最大似然原理导出似然比统计量进行检验.在多元统计分析中几乎所有重要的检验都是利用最大似然原理给

4、出的.下面我们回顾下最大似然比原理.作出判断,这就是假设检验问题.称H 0 为原假设(或零假设)，H 1为对立假设(或备择假设). 设p维总体的密度函数为f(x,),其中是未知参数，且(参数空间)，又设0是的子集,我们希望对下列假设：第7页/共40页9第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 从总体X抽取容量为n的样本X(t)(t=1,n).把样本的联合密度函数记为L(X;),并称它为样本的似然函数.引入统计量第8页/共40页10第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 是样本X(t)(t=1,n)的函数,常称为似然比

5、统计量.由于0是的子集,即分子分母,从而01. 直观考虑,若H0成立时,值应近似为1.如果取值太小(即分子分母),由最大似然原理,说明H0为真时观测到此样本X(t)(t=1,n)的概率比H0为不真时观测到此样本X(t)(t=1,n)的概率要小得多.故有理由认为假设H0不成立,所以从似然比统计量出发,以上检验问题的否定域为 (X (1),X (n),第9页/共40页11第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 按传统计的检验方法,是由显著性性水平确定的临界值,它满足在H0成立时有： P(X (1),X (n)=. 为了得到,必须研究似然比统计量的抽样分布.在

6、一些特殊的情况下,的精确分布可以得到;但很多情况得不到的精确分布. 第10页/共40页12第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 当样本量很大且满足一定条件时,-2ln的抽样分布与2分布十分接近.下面不加证明地给出一条很有用的结论.近似服从自由度为f 的2分布,其中 f =的维数-0的维数. 定理3.2.1 当样本容量n很大时，第11页/共40页13第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 我们来导出当未知时检验均值向量=0 的似然比统计量，并讨论它的分布. 在第二章2.5中已经导出：以上比式的分母当=X,=A/n时

7、达最大值，且最大值为 设样本的似然函数为L(,).检验均值向量=0 的似然比统计量为第12页/共40页14第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 比式的分子当 A0时达最大值，且最大值为故 以下来推导似然比统计量与T2的关系：第13页/共40页15第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 利用分块矩阵行列式的性质(见附录4推论4.1)有:第14页/共40页16第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 所以 即 22111Tnn第15页/共40页17第三章 多元正态总体参数的假设检

8、验3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 其中 否定域:其中 注意以上“ ” 仅代表拒绝域相同第16页/共40页18第17页/共40页19).,() 1() 1,()()(2212pnpFTpnpnFnpTXSXnT或者第18页/共40页20则均值向量的置信度为1-的置信域为FpnpnXSXnT) 1()()(12该置信域是一个中心在X上的椭球.第19页/共40页21FpnpnXSXnT) 1()()(0102则在显著性水平下，H0相容；若0没有落入该置信域内，则否定H0.可见在多元统计中，讨论均值向量的假设检验问题实质上也等价于求均值向量的置信域.第20页/共40页22FpnpnXSX

9、n) 1()()(1在实际应用中,我们往往更需要考察的线性组合的联立置信区间. 对任意的p维常向量a,考虑a的置信区间,便能够得到所要的联立置信区间.比如取a=ei=(0,1,0), i =ei(i=1,p)第21页/共40页23考察i (i=1,p)的的联立置信区间.下面的定理给出有用的结论. 定理3.2.2 假设X(t)(t=1,2,n)为来自 p元正态总体Np(,)(0未知)的随机样 本，则对所有的向量a,区间SaaFpnnpnddXadXa)() 1(,其中包含a的概率为1-(其中F满足(3.2.1)式).第22页/共40页24第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的

10、检验-两个p元正态总体 当p1时，因 且相互独立，故有 1. 两总体协差阵相等(但未知)时均值向量的检验 设X()(1,n)为来自总体XNp(1),)的随机样本；Y()(1,m)为来自总体Y Np(2),)的随机样本,且相互独立,未知.检验.:,:)2()1(1)2()1(0HH),(),(2)2(12)1(1mNYnNX),)11( ,(2)2()1(1mnNYX第23页/共40页25第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 取检验统计量为 t (n+m-2) (在H0成立时) ,即 第24页/共40页26第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总

11、体均值向量的检验-两个p元正态总体 推广到p元总体,检验统计量的形式类似,可考虑以下检验统计量T2： 其中A1和A2是两总体的样本离差阵.它们是一元统计中的偏差平方和(X(i)-X)2在p元情况下的推广.以下来证明统计量T 2 T 2 (p,n+m-2). 因 ),0()(),)11( ,0(00pHpHNYXmnnmmnNYX下下第25页/共40页27第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 由Wishart分布的可加性知 A1+ A2Wp(n+m-2,)，由T2统计量的定义3.1.5可知 ), 1()()(1)(1nWXXXXApn), 1()()(

12、1)(2mWYYYYApn第26页/共40页28第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 利用T2与F的关系，检验统计量取为 可以证明T2 (或F)统计量是检验以上假设H0的似然比统计量.(见习题3-10)第27页/共40页29第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 利用T2与F的关系，检验统计量取为 可以证明T2 (或F)统计量是检验以上假设H0的似然比统计量.(见习题3-10)第28页/共40页30第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 2. 两总体协差阵不等时均值向

13、量的检验 在一元统计中(p=1时)，当12 22时,检验H0：(1)(2)也没有很好的方法，以下介绍实用中的几种方法. 当n=m时,作为成对数据进行处理.令Z(i)=X(i) -Y(i) (i=1,n)，化为单个p元总体Z的均值检验问题 H0：(1)(2) H0： Z0 利用前面介绍的方法进行检验. 注意：在这里两组样本相互独立的信息没有利用.第29页/共40页31第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 当nm时(不妨设nm)：想法也是化为单个p元新总体的均值检验问题.若只取n对数据按方法处理,又将损失一些信息.改进的办法是利用X(i) (i=1,n)

14、和Y(j) (j=1,m)，构造新总体Z的样本Z(i) ，令可以证明： )2()1()2()1()2()2()2()1()(1)(mnmnnmnmnZE第30页/共40页32第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体所以Z(i) N p(1)-(2),Z) (i1,n)，且相互独立.利用前面介绍的单个正态总体均值向量的检验方法进行检验. 当1 , 2相差甚大时, 可构造近似检验统计量进行检验(见参考文献1). 21mnZ其中第31页/共40页33第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 多个正态总体均值向量的检验问题也称为

15、多元方差分析 . 设有k个p元正态总体Np(t),) (t1,k)，样品 (t1,k,1,nt )是来自Np(t),)的随机样本，检验 H0:(1)(k)，H1:至少存在ij使得(i)(j) (即(1),(k)中至少有一对不等). 当p=1时,此检验问题就是一元方差分析问题,比如比较k个不同品牌的同类产品中一个质量指标X(如耐磨度)有无显著差异的问题,我们把不同品牌对应不同总体(假定为正态总体),这种多组比较问题就是检验问题.)()(tX第32页/共40页34第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 从第i个总体抽取容量为ni的随机样本如下(i=1,k;记n=

16、n1+n2+nk)： 第33页/共40页35第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 从第i个总体抽取容量为ni的随机样本如下(i=1,k;记n=n1+n2+nk)： 第34页/共40页36第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析(p=1) 直观考察,若H0成立(即k个总体均值无显著差异),当总偏差平方和SST固定不变时,应有组间偏差平方和 SSA小,而组内偏差平方和 SSE大,因而比值SSA/SSE应很小. 检验统计量取为 给定显著性水平,按传统检验方法,查F分布临界值表得F满足： PFF,否定域WFF .第35页/共40页

17、37第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 推广到k个p元总体Np(t,) (假定k个总体的协差阵相等，且记为)，记第i个p元总体的数据阵为对总离差阵进行分解： )( )()()(11)()(XXXXTijkinjiji)( )()()()()(11)()()()(XXXXXXXXiiijkinjiiiji), 1()()()()()()1()()(1)(1)(11)(kiXXxxxxXiniipninipiipniiii第36页/共40页38第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 其中 称为组间离差阵. 0)()(1)()(injijXXi因故交叉项=OkinjiikinjiijiijiiXXXXXXXX11)()(11)()()()()()()()(kiiiikiiXXXXnA1)()(1)(kiiiiXXXXnB1)()()(kiiAA1称为组内离差阵. 第37页/共40页39第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 根据直观想法及用似然比原理得到检验H0的统计量为 由Wi