chapter数列的极限PPT课件

1、第1页/共23页教学要求：1. 理解数列极限的概念;2. 掌握用（-N）精确定义验证数列极限;3. 掌握用（-X）精确定义验证函数极限.难点：理解精确定义.第2页/共23页 .数列概念数列概念一一 .数列极限概念数列极限概念二二 .用定义验证数列极限用定义验证数列极限三三 .收敛数列的性质收敛数列的性质四四 )( .的极限的极限时时五五xfx 第3页/共23页按一定顺序排列的无穷多个数,21nxxx .,nnxx或或记为记为称为无穷数列称为无穷数列.项项称为数列的一般项或通称为数列的一般项或通项项第第nxn例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n;,)1( , 1 ,

2、1, 11 n;,)1(,34,21, 21nnn ,333,33, 3 第4页/共23页从函数观点看，数列是以自然数为自变量的整标函数)(nfxn 从几何上看，数列是数轴上的动点.1x2x3x4xnxx数列的单调性: ;,21单增单增则称则称若若nnxxxx .,21单减单减则称则称若若nnxxxx 数列的有界性: .,;, 0无界无界则称则称不存在不存在若这样的若这样的有界有界则称则称都有都有使得对一切使得对一切若存在若存在nnnnxMxMxxM 第5页/共23页1.举例分析 nxnn1)1(1 )1( nxn )2(1)1( )3( nnx问:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数

3、值?如果是,如何确定?nxn问:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,1 1来度量来度量的接近程度可用的接近程度可用与与 nnxx .1,1就越接近就越接近与与越小越小nnxx 第6页/共23页 1nxnnn11)1(1 . 1,1,就越接近就越接近从而从而越小越小越大越大当当可见可见nxnn,10011 nx要要使使;100 n只要只要,100011 nx要使要使;1000 n只要只要,1000011 nx要使要使;10000 n只要只要,1成立成立要使要使 nx).1( Nn只要只要 .1,无限接近无限接近无限增大时无限增大时当当此时达到了此时达到了nxn第7页/共23页2.数列

4、极限的精确定义 , axn及常数及常数设有数列设有数列记为记为收敛于收敛于的极限或称的极限或称是数列是数列则称则称. axxann)( 时时当当或或 naxn注意：;)1(的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn ;, ,)2(都不能说明这种无限性都不能说明这种无限性因为任何一个确定的数因为任何一个确定的数数数就要引进任意小的正就要引进任意小的正接近的无限性接近的无限性与与要描述要描述 axn; ,)3(N确定是否存在确定是否存在对指定的对指定的定定另一方面给定后相对稳另一方面给定后相对稳一方面任意一方面任意具有两重性具有两重性 第8页/共23页;),(,)4(唯一确定唯一

5、确定但并不由但并不由可记为可记为的指定而确定的指定而确定随随 NN(5)数列极限的定义没有给出求极限的方法，只能验证.3.数列极限的几何解释 x1x2x2 Nx1 Nx3x, ),(21Nxxxaa外只有有限项外只有有限项这样在这样在 而在其内有无穷多项. 且随着 越小，N 越大，则在(a ，a )外的项就越多，但不管怎么多都只可能是有限项. 第9页/共23页步骤：)(| )1(naxn 放大并化简放大并化简,| , 0)2( axn要使要使,)( n只要只要),( Nn 解得解得 .1)( , 1)( ,)( NNNNNN或或或或取取(3)得出结论. 第10页/共23页Proof:,11)1

6、( 1nnnn 1)1(lim . 11 nnexnn证明证明,1)1( 1 nnn要使要使,1 n只要只要.1 n即即1)1(lim1nnnn第11页/共23页0sinlim . 2 nnexn证明证明Proof: ,1sin0sinnnnnn ,0sin nn要使要使,1 n只要只要,1 n即即0sinlimnnn第12页/共23页. 1, 0lim . 3 qqexnn其中其中证明证明Proof. .0时结论显然成立时结论显然成立 q, nq只要只要,0 nq要使要使,lnln qn即即,lnlnqn . 0lim nnq,0时时 q,0 nnqq 第13页/共23页32361lim .

7、 4 nnexn证明证明Proof. nnn2310)3(2361 ,5n ,)3(2361 nn要使要使,5 n只要只要.5 n即即32361limnnn第14页/共23页ex5. 0lim , 0lim , nnnnnnyxyx证明证明有界有界设设Proof., 有界有界nx . , , 0MxxMnn 都有都有对于对于 , 0lim nny又又. , , 0, 0MyNnNn 有有时时当当.0 MMyxyxnnnn. 0lim nnnyx第15页/共23页定理1(唯一性) . 极限极限不能收敛于两个不同的不能收敛于两个不同的数列数列nx. ,lim , lim babxaxnnnn 则则

8、即若即若Proof.,lim,limbxaxnnnn , 0 ,2 , , 011 axNnNn有有时时当当,2 , , 022 bxNnNn有有时时当当 则有则有时时当当取取 , ,max 21NnNNN .22)()( axbxaxbxbannnn. ba 第16页/共23页定理2(有界性) 收敛数列必有界. Proof: ,limaxnn 1 , , 0, 1 axNnNn有有时时当当取取, Nn 对对于于aaaxaaxxnnn 1)( 1 , ,., max 1axxMN 取取. , Mxxnn 都有都有对于一切对于一切. 是是有有界界的的nx推论：无界数列必定发散.第17页/共23页

9、.lim ,lim axaxknknn 则则即若即若定理3 .,aaxn于于则它的任一子数列收敛则它的任一子数列收敛收敛于收敛于若数列若数列注意：(1)定理1的几何解释： .,),(, ),(,为极限为极限即不以即不以的有限个点的有限个点内只有内只有则在则在限个点限个点无无的的后的后的内有下标大于内有下标大于在在为极限为极限若数列以若数列以bxbUxNaUann (2)定理2为必要条件定理，反过来，有界数列不一定收敛. 1,)1(1 nnnxx但但为发散数列为发散数列如如?,),()3(为极限为极限是否以是否以则则的无穷多项的无穷多项内有内有在在axxaann ?)4(吗吗是一个很小很小的正数

10、是一个很小很小的正数 (5)极限定义中的N是否唯一? (6)一数列的两个子数列收敛于不同的极限,则数列发散. 一个发散数列可能有收敛的子列. 第18页/共23页定义1. ,),)(是一个确定的数是一个确定的数上上定义在定义在设设Aaxf记为记为时的极限时的极限当当是是则称则称.)(xxfA)()( 时时当当或或xAxf第19页/共23页注意：(1)与数列极限情形相比较，X的作用与数列极限中的N一样，说明x充分大的程度，依赖于 ；所不同的是这里必须考虑比X大的所有实数，而不仅仅是自然数n.(2)几何解释：.)(,之之间间与与的的图图形形全全部部位位于于两两直直线线时时当当 AyAyxfXxxoyA A AX.)3(时的极限定义时的极限定义与与类似地可得出类似地可得出 xx第20页/共23页定义2. ,),()(是一个确定的数是一个确定的数上上定义在定义在设设Axf记为记为时的极限时的极限当当是是则称则称.)( xxfA)()( 时时