chenpc文件下载数理方法柯西定理公式PPT课件

1、 第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分 2.1 2.1 柯西定理柯西定理一、单连通区域上的柯西定理：一、单连通区域上的柯西定理：1 1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。2 2、柯西定理：、柯西定理： 0lf zlDf zdz设是由分段光滑封闭曲线 所围成的闭单连通区域 上的解析函数,则。证明：证明： lf zdz llluivdxidyudxvdyiudyvdxl的正方向：沿该方向走，所围区域始终在左方。l第1页/共18页一、单连通区域上的柯西定理：一、单连通区域上的柯西定理：lsQPPdxQdydxdyxy 斯托克斯公式： ls

2、svuuvf zdzdxdyidxdyxyxy =uvxyf zuvyx为解析函数 0lf zdz第2页/共18页推论：推论：在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有关，与积分路径的形状无关。关，与积分路径的形状无关。ABCDxy 0lf zdz 0ACBBDAf zdzf zdz ACBBDAf zdzf zdz ACBADBf zdzf zdz一、单连通区域上的柯西定理：一、单连通区域上的柯西定理：第3页/共18页思考：思考：zledz一、单连通区域上的柯西定理：一、单连通区域上的柯西定理：02lzdz0coslz dz0第4页/

3、共18页1 1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。复连通区域复连通区域二、复连通区域上的柯西定理：二、复连通区域上的柯西定理：单连通区域单连通区域割线割线2 2、柯西定理：、柯西定理： 0lf zdz 11+0iiiinllinA BB Aif zdzf zdzf zdzf zdz 外i内l外l1内l2内li内AiBiAiBi 1=nllif zdzf zdz外i内第5页/共18页 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。积分等于沿

4、所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。二、复连通区域上的柯西定理：二、复连通区域上的柯西定理：例题：例题：nlIzadznal求为整数 的值，其中 点在闭曲线 所围的区域之内。解：解：10=00nnnzalzadzn（）当时，在 所围区域上解析，则：Ial21nnza （ ）当时，的极点为a，则：=nlzadzI第6页/共18页iz=a+ e20=niied ae2110innied 2102inn 二、复连通区域上的柯西定理：二、复连通区域上的柯西定理：al=nlzadz圆210nlinzadz 综上，其他nZ第7页/共18页 2.2 2.2 柯西公式及其推论柯西公式及其推论一、一、 柯西公

5、式：柯西公式：l在 所围的闭单连通区域上，解析函数： 12lff zdizzl证明：证明： 12lfdiz12iiilf zed zeie圆第8页/共18页一、柯西公式：一、柯西公式：2012iiif zei e die2012if zed 02012f zd f z注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题=-解析函数复变函数积分变量 奇点第9页/共18页一、柯西公式：一、柯西公式：例题：例题：21sin41zzdzz计算积分。解：解：1222sinsin44sin411111zCCzzzzzdzdzdzzzz2222ii2 ixy01C2C11z 或为被积函数的奇

6、点 由复连通区域上的柯西定理，有：第10页/共18页一、柯西公式：一、柯西公式：作业：试计算下列积分的值，其中作业：试计算下列积分的值，其中C C是正向单位圆周是正向单位圆周|z|=1|z|=1。 11_ ;2Cdzz 212_ ;24Cdzzz 13_ ;cosCdzz 14_ ;12Cdzz 25_ ;Cze dz 16_22Cdzizz。002 i044ii0第11页/共18页二、柯西公式的推论：二、柯西公式的推论：1 1、解析函数的高阶导数：、解析函数的高阶导数： 1!1,2,2nnlfnfzdniz证明：证明： 12lff zdiz 212lffzdiz -1-1 !2nnlnffz

7、diz若，则： 1!1,2,2nnlfnfzdniz第12页/共18页二、柯西公式的推论：二、柯西公式的推论：25zzedzzzi例题：计算积分。x5z y1l2l5解：1222=zzlleezizdzdzzzi 被积函数在封闭曲线被积函数在封闭曲线|z|=5|z|=5内有两个极点：内有两个极点：z=0z=0和和z=iz=i 25zzedzzzi 根据复连通区域上的柯西定理，有：根据复连通区域上的柯西定理，有：第13页/共18页20=2 i2 izzzz ieeziz220=2 i2 izzizeeezizii20112i=2 izii4i=2二、柯西公式的推论：二、柯西公式的推论：作业：作业

8、：2232?4201238zliedzlxyyzi e为答案：第14页/共18页二、柯西公式的推论：二、柯西公式的推论：2 2、无界区域上的柯西公式：、无界区域上的柯西公式： lim0,zf zlf z设在闭曲线 及其外部的无界区域上是解析的，并且则有柯西公式： 1=2lff zdiz。证明：证明：zRlRC 20lim0RziiiCfzf zR efdd zR ezzR ez20iiif zR ei R e dR e 第15页/共18页20Rif zR ei d 00limiRf zR e 1=2lff zdiz 1=2RlCfff zddizz3 3、刘维尔、刘维尔(Liouville)(Liouville)定理：定理：二、柯西公式的推论：二、柯西公式的推论： f zzf zf z 如果在全平面除