ch复合函数求导PPT学习教案

1、会计学1ch复合函数求导复合函数求导第1页/共31页重点重点: 复合函数求复合函数求导导难点难点: 特殊函数求特殊函数求导导第2页/共31页定理定理1:,)(,)()(,)(0000且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数xxfyxuufyxxu 即即 因变量对自变量因变量对自变量求导求导, ,等于等于因变量对中间变因变量对中间变量量求导求导, ,乘以中间变量对自变量乘以中间变量对自变量求导求导.(.(链式法链式法则则) ).()(000 xufdxdyxx 一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则1 1、复合函数求导、复合函

2、数求导第3页/共31页证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故)1(,)(0uuufy 则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf .)1(0式式成成立立式式仍仍成成立立，于于是是求求导导公公时时，当当 u 第4页/共31页推推广广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例1 1.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydx

3、dy xucos1 xxsincos xcot 第5页/共31页例例3 3.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx第6页/共31页xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 二、二、初等函数求导初等函数求导第7页/共31页2211)(

4、arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 第8页/共31页3.3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则利用上述公式及法则可完全解决可完全解决初等函

5、数初等函数求导问题求导问题.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函初等函数的导数仍为初等函数数.第9页/共31页xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh ,11)sinhar(2xx 11)arcosh(2 xx211)artanh(xx 第10页/共31页)11(1122xxxxy 211x 练习练习.),1ln(2yxxy 求求设设2211 )1ln(xxx 该导数非常重要，以后将多次用到该导数非常重要，以后将多次用到第11页/共31页例例4 4.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axa

6、xaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a该导数在学积分时将用到该导数在学积分时将用到第12页/共31页例例5 5.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 第13页/共31页;)(,)1(dxxfdyx 是自变量时是自变量时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有导数有导数设函数设函数dttxfdy)()( ,)(dxdtt dxxfdy)( 结论结论：的

7、微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( dttxf)()( 第14页/共31页例例解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 第15页/共31页导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(),()(. 10000它是无穷小它是无穷小实际上实际上定义域是定义域是它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxfdyx

8、fxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .,)(.)(,()()()(,)(,()()(,. 20000000000的的近近似似高高所所构构成成的的曲曲边边三三角角形形与与直直线线微微分分亦亦可可理理解解为为曲曲线线的的纵纵坐坐标标增增量量方方程程在在点点处处的的切切线线在在点点是是曲曲线线而而微微分分处处切切线线的的斜斜率率点点在在是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看yyxxxfyxxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 第16页/共31页定义定义: :.0),(数数所确定的函数称为隐函所确定的函数称为隐函由方程由方程 yxF.)(形式称为显函数形式称为显

9、函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :利用复合函数求导法则直接对方程两边求导利用复合函数求导法则直接对方程两边求导.三、特殊函数求导三、特殊函数求导第17页/共31页例例6 6.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第18页/

10、共31页例例7 7.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.第19页/共31页.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如

11、,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t第20页/共31页),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)( ,)(),( ttytx且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx第21页/共31页例例8 8解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacoss

12、in 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即第22页/共31页例例9 9解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可可由由切切线线的的斜斜率率来来反反映映时时刻

13、刻的的切切线线方方向向轨轨迹迹在在时时刻刻的的运运动动方方向向即即在在tt第23页/共31页)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttxtvdtdxvtt cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 第24页/共31页观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :

14、 先先在方程两边在方程两边取对数取对数, 然后利用隐函数然后利用隐函数的求导方法求出导数的求导方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu第25页/共31页例例1010解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设第26页/共31页例例1111解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第27页/共31页一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(l