Chp连续函数的运算与初等函数的连续性黄PPT学习教案

1、会计学1Chp连续函数的运算与初等函数的连续连续函数的运算与初等函数的连续性黄性黄200000lim( ),lim( ),(1)lim ( )( );(2)lim ( )( );( )(3)lim,0.( )xxxxxxxxxxf xAg xBf xg xABf xg xABf xABg xB设设 则则 其其中中 一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性还记得函数极限的四则运算吗还记得函数极限的四则运算吗?0( )f x0( )g x0( )f x0( )g x0( )f x0( )g x0( )f x0( )g x0( )g x第1页/共10页3定理定理1 1.)0)()()(),()(),

2、()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如，我们已，我们已证证,),(cos,sin内连续内连续在在xxsin1tan, cot,costan11sec, csc .cossinxxxxxxxxx故故在在其其定定义义域域内内连连续续第2页/共10页4Oxy y = f 1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180 而成, 故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x = f 1(y) 与 y = f (x)的图形相同,连续性保持. 从而, 单调性、)(1yfx)(xfy )

3、(1xfy第3页/共10页5定理定理2 2 单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续函数必有单调的连续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy结论：结论：反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第4页/共10页6xy2211O增加单调 ) 1 , 1 (arcsinCxy22xy11O增加单调 ) 2 ,2 (sinCx

4、y例例如如第5页/共10页7).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若证证,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx0()f gxD .)(成立成立恒有恒有 auax则则,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx 0lim( ).xxfx 第6页/共10页8在定理在定理3 的条件下的条件下, 极限符号可与极限符号可与连续函

5、数符号交换顺序连续函数符号交换顺序.00lim ( )( )lim( )xxxxfxf afx定理定理3 3的结论的结论10 lim sin(1) xxx 求求例如例如解解10sinlim(1) xxx 原原式式sin e 第7页/共10页9 000000( )( )( ),(,),( ),(),( ), ( ).fgyfxyf uuxxDxxxuyf uuyfxxx 设设函函数数由由和和复复合合而而成成在在点点连连续续且且而而函函数数在在点点连连续续则则复复合合函函数数在在点点也也连连续续注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy问：这个条件有必要吗？答：这个条件不能少！第8页/共10页10, uy 尽管u = cos x 1 是在定义域内的定义域是一个孤立点集D = x | x = 2k , k