概率论与数理统计 3.5条件分布与条件期望

1、一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 设随机变量（设随机变量（X，Y）的的为为 (X, Y) PXxi , Y yj pij (i , j1, 2, )X和和Y的的分别为分别为1 (1, 2,.)iiijjP Xxppi 1 (1, 2,.)jjijiP Yyppj 3.5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望定义定义 设设 (X, Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量,若对固定的若对固定的 j, 有有则称则称|i jijPP XxYy ., (1,2,.)ijijjjP Xx YypiP Yyp =为为Y yj 的的条件下条件下, ,X的条件分布律的条件分布律。P

2、Y yj pj 0|j ijiPP YyXx 为为X xi 的的条件下条件下, ,Y的条件分布的条件分布. .类似地类似地,对固定的对固定的i, 若若PX xi pi 0 , 则称则称., (1,2,.)jiijiiP YyXxpjP Xxp = = =注注 条件分布律也满足条件分布律也满足一般概率一般概率分布律的性质分布律的性质.|(1) |0, |0;i jijj ijiPP XxYyPP YyXx (2) |1.ijjiijP XxYyP YyXx 注注 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X, Y)的的.例例1 若（若（X ，Y）的联合概率分布为）的联合概率分布为 YX012pi01

3、0.20.10.10.20.30.10.60.4pj0.30.30.4求随机变量求随机变量Y在条件在条件X = xi 下的条件分布下的条件分布解解 由定义可得：由定义可得： 在在X = 0的条件下，的条件下，Y的条件分布为的条件分布为 1110.21000.63pP YXp 1210.11100.66pP YXp 1310.31200.62pP YXp 在在X = 1的条件下，的条件下，Y的条件分布为的条件分布为 0.11010.44P YX 0.21110.42P YX 0.11210.44P YX (|)|)iXjjijxxFx YyP Xx YyP Xx Yy 定义定义 设设 (X, Y

4、)为二为二维维离散离散型型随机变量随机变量,给定给定Y yj 条件下，条件下，二、条件分布函数二、条件分布函数1.离散型随机变量的条件分布函数离散型随机变量的条件分布函数X X 的的而在给定而在给定X = xi 条件下条件下Y的的 条件分布函数为条件分布函数为( |)|)jYiijiyyFy XxP Yy XxP YyXx 例例1 若（若（X ，Y）的联合概率分布为）的联合概率分布为 YX012pi010.20.10.10.20.30.10.60.4pj0.30.30.4求在求在Y=1的条件下，的条件下，X的条件分布函数的条件分布函数例如在例例如在例1中：中：(|1)|1XFx YP Xx Y

5、 解：解：先求先求 在在 Y=1的条件下，的条件下，X的的条件分布列条件分布列0,1)0.110|110.33P XYP XYP Y 1,1)0.221|110.33P XYP XYP Y 则则在在Y=1条件下，条件下，X的条件分布函数为的条件分布函数为001 =|=1=, 0131, 1 ， iixxxP Xx Yxx 00( , ),limlim( )xyyyYyp u v dudvP Xx yYyP yYypv dv 2. 连续型随机变量的条件分布函数连续型随机变量的条件分布函数设设 (X, Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,给定实数给定实数 y，总有总有PY=y=0,一个自

6、然的想法是，将条件概率一个自然的想法是，将条件概率 看成是看成是|= P Xx Y y +0 时的极限，即时的极限，即0|= =|P Xx Y ylim P Xx yYy 这里有这里有+0|= =lim|P Xx Y yP Xx yYy ( , )yyp u v dudv 利用积分中值定理，可推得利用积分中值定理，可推得0( , )|= = lim( )xyyyYyp u v dudvP Xx Y ypv dv 102( ,)= lim()xYp udup ( , )=( )xYp u ydupy ( , )(|)= |=( )xXYp u yFx YyP Xx Yydupy 定义定义 设设

7、(X, Y)为二为二维连续型维连续型随机变量随机变量,给定给定Y y条件下，若条件下，若( )0Ypy , 则则X的条件分布函数与条件密度函数分别为的条件分布函数与条件密度函数分别为( , )(|)= (| )=( )Yp x yp x Yyp x ypy 注注 时，时，X的条件分布函数与条件密度函数均不存在的条件分布函数与条件密度函数均不存在.( )=0Ypy类似地可定义类似地可定义在在X=x 条件下条件下Y的条件分布函数与条件密度函数，的条件分布函数与条件密度函数，( , )( |)|( )yYXp x vFy XxP Yy Xxdvpx 即当即当 时，时，( )0Xpx ( , )( |

8、)( |)( )Xp x yp y Xxp y xpx 注注 时，时，Y的条件分布函数与条件密度函数均不存在的条件分布函数与条件密度函数均不存在.( )=0Xpx例例2 已知已知(X, Y)的联合密度函数为的联合密度函数为22211( , )40其他x yxyp x y (1) 求条件概率密度求条件概率密度(|)p y x(2) 求条件概率求条件概率 11.33P YX 1 1解解( )( , )Xpxp x y dy 212211140 xx ydyxothers 2421(1)1180 xxxothers ( , )( |)( )Xp x yp y xpx 故当故当1x1时时,有有2224

9、214121(1)80其他x yxyxx 242110其他yxyx 1143211()3ydy 21819180103y 13111( |)333P YXp y Xdy 例例2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在单位圆在单位圆22( , )/1Dx yxy内服从内服从均匀分布均匀分布,求求(|) (|) .与 p y Xxp x Yy 解解 因为因为,DS所以所以221 1( , )0 xyp x y其他22111 11( )( , )0 其他xxXdyxpxp x y dy 22 1 110 xx 其他于是于是,当当 -1x1时时( , )( |)( )Xp x yp y Xxpx2221 112 10 xyxx其他同理可得同理可得,当当 -1 y 0)0, 0 xXxexpxx而随机变量而随机变量Y在在( 0,X)上具有均匀分布，求上具有均匀分布，求Y的密度的密度 解解 由题设由题设,显然，显然，X只在只在( 0,+)内取值，且内取值，且Y 在条件在条件“X=x”下的条件分布为（下的条件分布为（0, x）区间上的均匀分布）区间上的均匀分布.( ).Ypy