高二数学双曲线讲义

1、. . jz* 高二年级数学科辅导讲义第讲学生： 授课教师：授课时间：11.23 一、知识点讲解1双曲线的定义：平面与两个定点21, ff的距离的差的绝对值等于常数小于|21ff的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：apfpf2|21与apfpf2|12|221ffa表示双曲线的一支。|221ffa表示两条射线；|221ffa没有轨迹；2双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0,0( 12222babyax)0,0(12222babxay图形顶点)0,(),0,(21aaaa),0(),0(21abab对称

2、轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cfcf),0(),0(21cfcf焦距)0(2|21ccff222bac离心率) 1(eace离心率越大，开口越大渐近线xabyxbay专题双曲线目标掌握双曲线的定义；双曲线的图像和几何性质；重 难 点求双曲线的标准方程；求离心率；焦点三角形问题；常 考 点求双曲线的标准方程；求离心率；焦点三角形问题；x o f1 f2 py a2 a1 x o f1 pb2 b1 f2 y . . jz* 通径22ba3双曲线的渐近线：求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的1 为 0，即得02222byax，因式分解得到0 xyab。

3、与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；4等轴双曲线为222tyx，其离心率为24常用结论： 1双曲线)0, 0( 12222babyax的两个焦点为21,ff，过1f的直线交双曲线的同一支于ba,两点，那么2abf的周长 = 2设双曲线)0, 0( 12222babyax左、右两个焦点为21,ff，过1f且垂直于对称轴的直线交双曲线于qp,两点，那么qp,的坐标分别是| pq二、例题讲解。例 1、如图，1f和2f分别是双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点，a和b是以o为圆心，以1fo为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且abf2是等边三角形，那么双曲线

4、的离心率为a3b5c25d31例 2、设p为双曲线22112yx上的一点，12ff，是该双曲线的两个焦点，假设12|:| 3: 2pfpf，那么12pf f的面积为a6 3b12c.123d24xyof1f2p2r. . jz* 例 3、中心在原点，顶点a1、a2在 x 轴上，离心率e=321的双曲线过点p(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线 l 经过 a1pa2的重心 g，与双曲线交于不同的两点m、n，问是否存在直线l,使 g 平分线段mn ，证明你的结论同步练习1.如果双曲线2422yx1 上一点 p到双曲线右焦点的距离是2,那么点 p到 y 轴的距离是(a)364(b)362(c)6

5、2(d)322.双曲线 c22221(xyaab0,b0),以 c 的右焦点为圆心且与c 的渐近线相切的圆的半径是aa (b)b (c)ab(d)22ba3.以双曲线221916xy的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是a221090 xyxb2210160 xyxc2210160 xyxd221090 xyx4.以双曲线222xy的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是22430 xyx22430 xyx22450 xyx22450 xyx5.假设双曲线22221xyaba 0,b0上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，那a1a2mngpoyx. . jz* 么双

6、曲线离心率的取值围是( ) a.(1,2) b.(2,+) c.(1,5) d. (5,+) 6.假设双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2 那么那么双曲线的离心率是a3 b5 c3d57.双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1f、2f，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yp在双曲线上 .那么12pfpfa. -12 b. -2 c. 0 d. 4 填空题8.过双曲线221916xy的右顶点为a，右焦点为 f。过点 f 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 b，那么 afb 的面积为 _ 9.双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1

7、2(,0),( ,0)fcfc， 假设双曲线上存在一点p使1221sinsinpf fapf fc，那么该双曲线的离心率的取值围是10.过双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于,mn两点，以mn为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，那么双曲线的离心率为_ 11.点p在双曲线221169xy上，并且p到这条双曲线的右准线的距离恰是p到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么p点的横坐标是_ 12.12,ff是双曲线221169xy的两个焦点，pq是过点1f的弦，且pq的倾斜角为，那么22|pfqfpq的值是 _ . . jz* 13.( 6,0),(6,0)bc是a

8、bc的两个顶点，角,a b c满足1sinsinsin2bca，那么顶点a的轨迹方程是 _ 解答题14.如图，在以点o为圆心，|4ab为直径的半圆adb中，odab，p是半圆弧上一点，30pob，曲线c是满足|mamb为定值的动点m的轨迹，且曲线c过点p. 建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程；设过点d的直线 l 与曲线c相交于不同的两点e、f. 假设oef的面积不小于2 2，求直线l斜率的取值围. 15.双曲线 c 的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为2 55。1求双曲线c 的方程；2如图， p 是双曲线c 上一点， a，b 两点在双曲线c 的两条

9、渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设1,23appb，求aob面积的取值围. . jz* 选择题： 1. a 2. b 3. a 4. b 5. b 6. d 7. c 填空题：8. 32159. (1,12)10. 2 11. 64512. 16 13. 221(3)927xyx17.解： 以o 为原点， ab、od 所在直线分别为x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系，那么a-2， 0 ，b 2，0 ，d(0,2),p1 ,3 ，依题意得ma -mb= pa -pb =221321)32(2222）（ ab 4. 曲线 c 是以原点为中心，a、b 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a，虚半轴长

10、为b，半焦距为c，那么 c2，2a22，a2=2,b2=c2-a2=2. 曲线 c 的方程为12222yx. 解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，那么依题意可得ma-mb= pa-pbab 4. 曲线 c 是以原点为中心，a、b 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为abyax(122220， b0. 那么由411322222baba）（解得 a2=b2=2, 曲线 c 的方程为.12222yx. . jz* ()解法 1：依题意，可设直线l 的方程为ykx+2，代入双曲线c 的方程并整理得1-k2x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线c 相交于不同的两点e、f，0)1(64)4(012

11、22kkk133kkk -3,-1 -1，1 1，3 . 设 ex，y ，f(x2,y2)，那么由式得x1+x2=kxxkk16,14212,于是ef2212221221)(1()()(xxkxyxx.132214)(1222212212kkkxxxxk而原点 o 到直线 l 的距离 d212k，s def=.132213221122121222222kkkkkkefd假设 oef 面积不小于22,即 soef22，那么有解得.22, 022213222422kkkkk综合、知，直线l 的斜率的取值围为-2，-1(1-,1) (1, 2). 解法 2：依题意，可设直线l 的方程为ykx+2，代

12、入双曲线c 的方程并整理，得 1-k2x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线c 相交于不同的两点e、f，22210( 4 )46(1)0kkk133kk. . jz* .k -3，-1 -1，1 1，3 . 设 e(x1,y1),f(x2,y2),那么由式得x1-x2=.132214)(22221221kkkxxxx当 e、f 在同一去上时如图1所示，s oef;21212121xxodxxodssodeodf当 e、f 在不同支上时如图2所示 . odfoefsssode=.21)(212121xxodxxod综上得 s oef,2121xxod于是由 od 2 及式，得s oef=.132222kk假设 oef 面积不小于2则有即,22,2oefs.22,02213222422kkkkk解得综合、知，直线l 的斜率的取值围为-2，-1 -1，1 1，2. 18. 由题意知，双曲线c 的顶点 0，a到渐近线2 505axby的距离为，所以222 55abab所以2 55abc由2222 5525125abcacbaccab得所以曲线c的方程是2y421x设直线ab 的方程为,ykxm由题意知2,0km. . jz* 由2,),222yk