备考2022数学专题17 二次函数的面积问题（解析版）

1、决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题17二次函数的面积问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点a，与y轴交于点b（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点p为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点p作轴，垂足为c，交于点d，求的最大值，并求出此时点p的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于m，n两点，若点a是线段的中点，求抛物线的解析式【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）【分析】（1）先根据函数关系式求出a、b两点的坐

2、标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出ab的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点d作轴于e，则求得ab=5，设点p的坐标为，则点d的坐标为，ed=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示pd，配方求得最大值，即可求得点p的坐标；（3）设平移后抛物线的解析式，将l的解析式和直线ab联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点a为的中点，可求得m的值，即可求得l的函数解析式【详解】（1）在中，令，则，解得，令，则，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，抛物线顶点坐标为（2）如图，过点d作轴于e，则，设点p的坐标为，则点d的坐标为，而，由二次函

3、数的性质可知：当时，的最大值为， （3）设平移后抛物线的解析式，联立，整理，得：，设，则是方程的两根， 而a为的中点，解得：抛物线的解析式【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质【变式1-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点c点是x轴上的一动点，轴，交直线于点m，交抛物线于点n （1）求这个二次函数的表达式；（2）若点p仅在线段上运动，如图1求线段的最大值；若点p在x轴上运动，则在y轴上是否存在点q，使以m，n，c，q为

4、顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有满足条件的点q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），存在，【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；分mn=mc和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可【详解】解：（1）把代入中，得 解得（2）设直线的表达式为，把代入得，解这个方程组，得 点是x轴上的一动点，且轴 ，此函数有最大值又点p在线段上运动，且当时，有最大值 点是x轴上的一动点，且轴 （i）当以m，n，c，q为顶点的四边形为菱形，则有mn=mc，如图，c（0，-3）mc= 整理得， ，解得，当时，cq=mn=，oq=-

5、3-()=q(0，)；当m=时，cq=mn=-，oq=-3-(-)=q(0，)；(ii)若，如图，则有整理得， ，解得，当m=-1时，mn=cq=2，q（0，-1），当m=-5时，mn=-100（不符合实际，舍去）综上所述，点q的坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏【变式1-2】如图1，已知抛物线y=x2+mx+m2的顶点为a，且经过点b（3，3）（1）求顶点a的坐标（2）若p是抛物线上且位于直线ob上方的一个动点，求opb的面

6、积的最大值及比时点p的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿射线oa方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线oa交于c，d两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段cd的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）（1，1）；（2）p（32，34）；（3）2.【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）过点p作y轴的平行线交ob与点q，求出直线bp的解析式，表示出点q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得p点坐标；（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与oa的解析式，可得c、d点的横坐标，根据勾股

7、定理，可得答案【详解】解：（1）把b（3，3）代入y=x2+mx+m2得：3=32+3m+m2，解得m=2，y=x2+2x=（x+1）2+1，顶点a的坐标是（1，1）；（2）过点p作y轴的平行线交ob与点q.直线ob的解析式为y=x，故设p（n，n2+2n），q（n，n），pq=n2+2n（n）=n2+3n，sopb=（n2+3n）=（n）+，当n=时，sopb的最大值为此时y=n2+2n=，p（，）；（3）直线oa的解析式为y=x，可设新的抛物线解析式为y=（xa）2+a，联立，（xa）2+a=x，x1=a，x2=a1，即c、d两点间的横坐标的差为1，cd=【点睛】本题考查了待定系数法求函数

8、解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数（1）图象经过点时，则_；（2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（3）以抛物线的顶点a为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（m，n两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）4；（2）m2；（3）的面积是与m无关的定值，samn.【解析】【分析】（1）将点代入二次函数解析式即可求出m；（2）求出二次函数的对称轴为xm，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而

9、减小，可求出m的取值范围；（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到amn的面积是与m无关的定值【详解】解：（1）将点代入可得：，解得：m=4；（2）二次函数的对称轴是：xm，当x2时，函数值y随x的增大而减小，m2；（3）的面积是与m无关的定值；如图：顶点a的坐标为（m，m24m8），amn是抛物线的内接正三角形，mn交对称轴于点b，tanambtan60°，abbmbn，设bmbna，则aba，点m的坐标为（ma，am24m8），点m在抛物线上，am24m8（ma）22m（ma）4m8，整理得：，解得：a或a0（舍去），amn是边长为的正三角形

10、，ab=3，samn，与m无关.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点m在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键【变式2-1】（2020·湖南九年级其他模拟）若抛物线l：yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与直线l：yax+b满足a2+b22a（2cb），则称此直线l与该抛物线l具有“支干”关系此时，直线l叫做抛物线l的“支线”，抛物线l叫做直线l的“干线”（1）若直线yx2与抛物线yax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；（2）若抛物线yx2+bx+c的“支线”与y的图

11、象只有一个交点，求反比例函数的解析式； （3）已知“干线”yax2+bx+c与它的“支线”交于点p，与它的“支线”的平行线l：yax+4a+b交于点a，b，记abp得面积为s，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）y或y；（3）是定值，理由见解析【分析】（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值（2）由题意a1，1+b22（2cb） ，可得抛物线yx2+bx+c的“支线”为yx+b，由，消去y得到x2+bx+4c0，由抛物线yx2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，可知0，得b216c0 ，由解方程组即可解决问

12、题（3） 的值是定值不妨设a0，如图所示，yax2+bx+c与它的“支线”交y轴于c，直线yax+4a+b与y轴交于点d，a（x1，y1），b（x2，y2），由 ，消去y得到ax2+（ba）x+c4ab0，推出x1+x2，x1x2 ，推出|x1x2| ，把 2a（2cb）代入上式化简4，由abpc，可得sspabscabscdbscda cd 48 ，由此即可解决问题【详解】解：（1）由题意a1，b2，12+（2）22（2c+2），解得c，抛物线的解析式为yx22x+，yx22x+ （x1）2，a10，x1时，y有最小值，最小值为（2）由题意a1，1+b22（2cb） 抛物线yx2+bx+c的

13、“支线”为yx+b，由，消，消去y得到x2+bx+4c0，抛物线yx2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，0，b216c0 由可得b2， 或， 反比例函数的解析式为y或y（3）是定值理由如下：不妨设a0，如图所示，yax2+bx+c与它的“支线”交y轴于c，直线yax+4a+b与y轴交于点d，a（x1，y1），b（x2，y2），由 得到ax2+（ba）x+c4ab0，x1+x2，x1x2 ，|x1x2| 把a2+b22a（2cb）代入上式化简得到|x1x2|4，abpc，sspabscabscdbscdacd|bxax|4a|48|a|，8，的值是定值 【点睛】本题考查了二次函数综合题、

14、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积【变式2-2】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线yx2bxc过点a（1，0），点b（3，0）与y轴交于点c在x轴上有一动点e（m，0）（0m3），过点e作直线lx轴，交抛物线于点m（1）求抛物线的解析式及c点坐标；（2）当m1时，d是直线l上的点且在第一象限内，若acd是以dca为底角的等腰三角形，求点d的坐标；（3）如图2，连接bm并延长交y轴于点n，连接am，om，设aem的面积为s1，mon的面积为s2，若s12s2

15、，求m的值【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若acd是以dca为底角的等腰三角形，则可以分cdad或acad两种情况，分别求解即可；（3）s1ae×ym，2s2onxm，即可求解【详解】解：（1）将点a、b的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx22x3，当x0时，y3，故点c（0，3）；（2）当m1时，点e（1，0），设点d的坐标为（1，a），由点a、c、d的坐标得，ac，同理可得：ad，cd，当cdad时，即，解得a1；当acad时，同理可得a（舍去负值）；故点d的坐标为（1，1）或（1，）；（3）e（m，0），则设点m（m，

16、m22m3），设直线bm的表达式为ysxt，则，解得：，故直线bm的表达式为yx，当x0时，y，故点n（0，），则on；s1ae×ym×（m1）×（m22m3），2s2onxm×ms1×（m1）×（m22m3），解得m2±（舍去负值），经检验m2是方程的根，故m2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏【考点3】二次函数的面积最值问题【例3】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点a（0，1）和c，顶点为d，直

17、线ac与抛物线的对称轴bd的交点为b（，0），平行于y轴的直线ef与抛物线交于点e，与直线ac交于点f，点f的横坐标为，四边形bdef为平行四边形（1）求点f的坐标及抛物线的解析式；（2）若点p为抛物线上的动点，且在直线ac上方，当pab面积最大时，求点p的坐标及pab面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点q，同时在抛物线上取一点r，使以ac为一边且以a，c，q，r为顶点的四边形为平行四边形，求点q和点r的坐标【答案】（1）（，）；yx2+2x+1 （2）（，）； （3）q，r或q（，10），r（）【分析】（1）由待定系数法求出直线ab的解析式为yx+1，求出f点的坐标，由平行四边形的性

18、质得出3a+1a8a+1（），求出a的值，则可得出答案；（2）设p（n，n2+2n+1），作pp'x轴交ac于点p'，则p'（n，n+1），得出pp'n2+n，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线ac和抛物线解析式求出c（，），设q（，m），分两种情况：当aq为对角线时，当ar为对角线时，分别求出点q和r的坐标即可【详解】解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），a（0，1），b（，0），设直线ab的解析式为ykx+m，解得，直线ab的解析式为yx+1，点f的横坐标为，f点纵坐标为+1，f点的坐标为（，），又点a在抛物线上，c1，对称轴为：x

19、，b2a，解析式化为：yax22ax+1，四边形dbfe为平行四边形bdef，3a+1a8a+1（），解得a1，抛物线的解析式为yx2+2x+1；（2）设p（n，n2+2n+1），作pp'x轴交ac于点p'，则p'（n，n+1），pp'n2+n，sabpobpp'n，当n时，abp的面积最大为，此时p（，）（3），x0或x，c（，），设q（，m），当aq为对角线时，r（），r在抛物线y+4上，m+4，解得m，q，r；当ar为对角线时，r（），r在抛物线y+4上，m+4，解得m10，q（，10），r（）综上所述，q，r；或q（，10），r（）【点睛】本题是

20、二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键【变式3-1】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线ab相交于a，b两点，其中，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点p为直线ab下方抛物线上的任意一点，连接pa，pb，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点c，点d为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点e，使以点b，c，d，e为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点e的坐

21、标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【分析】（1）将点a、b的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设，求得解析式，过点p作x轴得垂线与直线ab交于点f，设点，则，即可求解；（3）分bc为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）抛物线过，（2）设，将点代入过点p作x轴得垂线与直线ab交于点f设点，则由铅垂定理可得面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25，则平移后的抛物线表达式为：yx25，联立上述两式并解得：，故点c（1，4）；设点d（2，m）、点e（s，t），而点b、c的坐标分别为（0，1）、（1，4）；当

22、bc为菱形的边时，点c向右平移1个单位向上平移3个单位得到b，同样d（e）向右平移1个单位向上平移3个单位得到e（d），即21s且m3t或21s且m3t，当点d在e的下方时，则bebc，即s2（t1）21232，当点d在e的上方时，则bdbc，即22（m1）21232，联立并解得：s1，t2或4（舍去4），故点e（1，2）；联立并解得：s-3，t-4±，故点e（-3，-4）或（-3，-4）；当bc为菱形的的对角线时，则由中点公式得：1s2且41mt，此时，bdbe，即22（m1）2s2（t1）2，联立并解得：s1，t3，故点e（1，3），综上，点e的坐标为：（1，2）或或或（1，3）

23、存在，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏【变式3-2】（2020·江苏宿迁·中考真题）二次函数的图象与x轴交于a(2，0)，b(6，0)两点，与y轴交于点c，顶点为e(1)求这个二次函数的表达式，并写出点e的坐标；(2)如图，d是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当bd的垂直平分线恰好经过点c时，求点d的坐标；(3)如图，p是该二次函数图象上的一个动点，连接op，取op中点q，连接qc，qe，ce，当ceq的面积为12时，求点p的坐标【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，

24、3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24)【分析】(1)由于二次函数的图象与x轴交于a(2，0)、b(6，0)两点，把a，b两点坐标代入，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出e点坐标；(2)由线段垂直平分线的性质可得出cb=cd，设d(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案；(3)设cq交抛物线的对称轴于点m，设p(，)，则q(，)，设直线cq的解析式为，则，解得，求出m(，)，me=，由面积公式可求出n的值，则可得出答案【详解】(1)将a(2，0)，b(6，0)代入，得，解得，二次函数的解析式为；，e(4，)；(2)如图1，图2，连接cb，cd，由点c在线段bd的垂

25、直平分线cn上，得cb=cd，设d(4，m)，当时，c(0，3)，=，由勾股定理可得：=，解得m=3±，满足条件的点d的坐标为(4，3+)或(4，3-)；(3)如图3，设cq交抛物线的对称轴于点m，设p(，)，则q(，)，设直线cq的解析式为，则，解得，于是直线cq的解析式为：，当时，m(，)，me=，scqe=scem+sqem=，解得或，当时，p(10，8)，当时，p(，24)综合以上可得，满足条件的点p的坐标为(10，8)或(，24)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解

26、题的关键【考点4】二次函数面积的其它问题【例4】（2020·辽宁鞍山·中考真题）在矩形中，点e是射线上一动点，连接，过点b作于点g，交直线于点f（1）当矩形是正方形时，以点f为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接如图1，若点e在线段上，则线段与之间的数量关系是_，位置关系是_；如图2，若点e在线段的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点e在线段上，以和为邻边作，m是中点，连接，求的最小值【答案】（1）相等；垂直；成立，理由见解析；（2）【分析】（1）证明abebcf，得到be=cf，ae=bf，再证明四边形beh

27、f为平行四边形，从而可得结果；根据（1）中同样的证明方法求证即可；（2）说明c、e、g、f四点共圆，得出gm的最小值为圆m半径的最小值，设be=x，证明abebcf，得到cf，再利用勾股定理表示出ef=，求出最值即可得到gm的最小值【详解】解：（1）四边形abcd为正方形，ab=bc，abc=bcd=90°，即bae+aeb=90°，aebf，cbf+aeb=90°，cbf=bae，又ab=bc，abe=bcf=90°，abebcf（aas），be=cf，ae=bf，fch为等腰直角三角形，fc=fh=be，fhfc，而cdbc，fhbc，四边形behf

28、为平行四边形，bfeh且bf=eh，ae=eh，aeeh，故答案为：相等；垂直；成立，理由是：当点e在线段bc的延长线上时，同理可得：abebcf（aas），be=cf，ae=bf，fch为等腰直角三角形，fc=fh=be，fhfc，而cdbc，fhbc，四边形behf为平行四边形，bfeh且bf=eh，ae=eh，aeeh；（2）egf=bcd=90°，c、e、g、f四点共圆，四边形bchf是平行四边形，m为bh中点，m也是ef中点，m是四边形bchf外接圆圆心，则gm的最小值为圆m半径的最小值，ab=3，bc=2，设be=x，则ce=2-x，同（1）可得：cbf=bae，又abe

29、=bcf=90°，abebcf，即，cf=，ef=，设y=，当x=时，y取最小值，ef的最小值为，故gm的最小值为【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键【变式4-1】（2020·湖北中考真题）已知抛物线y=ax2-2ax+c过点a-1,0和c0,3，与x轴交于另一点b，顶点为d（1）求抛物线的解析式，并写出d点的坐标；（2）如图1，e为线段bc上方的抛物线上一点，efbc，垂足为f，emx轴，垂足为m，交bc于点g当bg=cf时，求efg的面积；（3）

30、如图2，ac与bd的延长线交于点h，在x轴上方的抛物线上是否存在点p，使opb=ahb？若存在，求出点p的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）y=-x2+2x+3，d(1,4)；（2）sefg=1；（3）存在，p1(0,3), p21+52,5+52,p31-52,5-52【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点d坐标；（2）先求出bc的解析式y=-x+3，再设直线ef的解析式为y=x+b,设点e的坐标为m,-m2+2m+3，联立方程求出点f，g的坐标，根据bg2=cf2列出关于m的方程并求解，然后求得g的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；（3）过点a作

31、anhb，先求得直线bd，an的解析式，得到h，n的坐标，进而得到h=45°，设点pn,-n2+2n+3，过点p作prx轴于点r，在x轴上作点s使得rs=pr，证明opsopb，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点p的坐标【详解】（1）把点a（-1，0），c（0，3）代入y=ax2-2ax+c中，a+2a+c=0c=3，解得a=-1c=3，y=-x2+2x+3，当x=-b2a=1时，y=4，d(1,4)（2）y=-x2+2x+3令y=0,x=-1,或x=3b(3,0)设bc的解析式为y=kx+b(k0)将点c(0,3),b(3,0)代入，得b=33k+b=0，

32、解得k=-1b=3，y=-x+3efcb设直线ef的解析式为y=x+b,设点e的坐标为m,-m2+2m+3，将点e坐标代入y=x+b中，得b=-m2+m+3，y=x-m2+m+3y=-x+3y=x-m2+m+3x=m2-m2y=-m2+m+62fm2-m2,-m2+m+62把x=m代入y=-x+3g(m,-m+3)bg=cfbg2=cf2即(m-3)2+(3-m)2=m2-m22+m2-m22解得m=2或m=-3点e是bc上方抛物线上的点m=-3舍去点e(2,3),f(1,2)，g(2,1)ef=12+12=2fg=12+12=2sefg=12×2×2=1（3）过点a作an

33、hb，点d(1,4),b(3,0)ydb=-2x+6点a(-1,0)，点c(0,3)yac=3x+3y=x+3y=-2x+6x=35y=245h35,245设yan=12x+b，把（-1，0）代入，得b=12 y=12x+12y=12x+12y=-2x+6x=115y=85n115,85an2=115+12+852=1652+852hn2=852+1652an=hnh=45°设点pn,-n2+2n+3过点p作prx轴于点r，在x轴上作点s使得rs=prrsp=45°且点s的坐标为-n2+3n+3,0若opb=ahb=45°在ops和opb中，pos=pobosp=

34、opbopsopbopob=osopop2=obosn2+(n+1)2(n-3)2=3（-n2+2n+3)n=0或n=1±52p1(0,3)p21+52,5+52p31-52,5-52【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解【变式4-2】（2020·山东日照·九年级二模）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于点a(2，0)和点b(8，0)，与y轴交于点c(0，8)，连接ac，d是抛物线对称轴上一动点，连接ad，cd，得到acd（1）求该抛物线的函数解析式（2）

35、acd周长能否取得最小值，如果能，请求出d点的坐标；如果不能，请说明理由（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点e，使得ace与acd面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为：yx23x8；（2）acd周长能取得最小值，点d(3，5)；（3）存在，点e(1，4+11)或(1，4+11)【分析】（1）由抛物线过a(2，0)，点b(8，0)和c(0，8)，利用待定系数法可求解析式；（2）求acd周长ad+ac+cd，ac是定值，当ad+cd取最小值时，acd周长能取得最小值，点a，点b关于对称轴直线x3对称，连结bc交抛物线对称轴于d，利用待定系

36、数法可求bc解析式，把x=3代入即可求解点d坐标；（3）ace与acd面积相等，两个三角形同底，只要点e与点d到ac的距离相等即可，先求出ac解析式，由面积相等可得deac，利用待定系数法可求de的解析式，与抛物线联立方程组可求解【详解】解：（1）由题意可得：，解得：，抛物线的解析式为：yx23x8；（2）acd周长能取得最小值，点a（2，0），点b（8，0），对称轴为直线x3，acd周长ad+ac+cd，ac是定值，当ad+cd取最小值时，acd周长能取得最小值，点a，点b关于对称轴直线x3对称，连接bc交对称轴直线x3于点d，此时ad+cd有最小值，设直线bc解析式为：ykx8，08k8，

37、k1，直线bc解析式为：yx8，当x3，y5，点d（3，5）；（3）存在，点a（2，0），点c（0，8），直线ac解析式为y4x8，如图，ace与acd面积相等，deac，设de解析式为：y4x+n，54×3+n，n7，de解析式为：y4x+7，联立方程组可得：，解得：，点e（1，4+11）或（1，4+11）【点睛】本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键1（广东梅州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=

38、x2+bx+c过a，b，c三点，点a的坐标是（3，0），点c的坐标是（0，-3），动点p在抛物线上 （1）b =_，c =_，点b的坐标为_；（直接填写结果）（2）是否存在点p，使得acp是以ac为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点p作pe垂直y轴于点e，交直线ac于点d，过点d作x轴的垂线垂足为f，连接ef，当线段ef的长度最短时，求出点p的坐标【答案】（1），（-1,0）；（2）存在p的坐标是或；（3）当ef最短时，点p的坐标是：（，）或（，）【分析】（1）将点a和点c的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点b的

39、坐标；（2）分别过点c和点a作ac的垂线，将抛物线与p1，p2两点先求得ac的解析式，然后可求得p1c和p2a的解析式，最后再求得p1c和p2a与抛物线的交点坐标即可；（3）连接od先证明四边形oedf为矩形，从而得到od=ef，然后根据垂线段最短可求得点d的纵坐标，从而得到点p的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点p的坐标【详解】解：（1）将点a和点c的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b=2，c=3，抛物线的解析式为令，解得：，点b的坐标为（1，0）故答案为2；3；（1，0）（2）存在理由：如图所示：当acp1=90°由（1）可知点a的坐标为（3，0）设ac的解析式为y=kx3将

40、点a的坐标代入得3k3=0，解得k=1，直线ac的解析式为y=x3，直线cp1的解析式为y=x3将y=x3与联立解得，（舍去），点p1的坐标为（1，4）当p2ac=90°时设ap2的解析式为y=x+b将x=3，y=0代入得：3+b=0，解得b=3，直线ap2的解析式为y=x+3将y=x+3与联立解得=2，=3（舍去），点p2的坐标为（2，5）综上所述，p的坐标是（1，4）或（2，5）（3）如图2所示：连接od由题意可知，四边形ofde是矩形，则od=ef根据垂线段最短，可得当odac时，od最短，即ef最短由（1）可知，在rtaoc中，oc=oa=3，odac，d是ac的中点又dfo

41、c，df=oc=，点p的纵坐标是，解得：x=，当ef最短时，点p的坐标是：（，）或（，）2（2020·湖北武汉·九年级一模）已知抛物线yax2bxc的顶点为d (，)，经过点c (0，1)，且与x轴交于a、b两点(a在b的左侧)(1) 求抛物线的解析式：(2) p为抛物线上一点，连cp交od于点q，若scoqspdq，求p点的横坐标；(3)点m为直线bc下方抛物线上一点，过m的直线与x轴、y轴分别交于e、f，且与抛物线有且只有一个公共点 若fcmoef，求点m的坐标【答案】（1）yx23x1；（2）p的横坐标为；（3）点m的坐标为(，)或(2，2)【分析】（1）运用待定系数

42、法求解即可；（2）联立方程组求解即可；（3）根据直线ef与抛物线只有一个公共点求出m点横坐标，设直线cm的解析式为yx1，与抛物线联立，即可求出结论【详解】(1)抛物线的顶点为d (，)，设抛物线的顶点式为ya(x)2，把c (0，1)代入，得a(0)21，解得a 抛物线的解析式为y (x)2 亦即：yx23x1 (2) 连op、dp、cd，由scoqspdq，得socdspdc，则cdop 由c (0，1)、d (，)，可得直线cd为yx1 则直线op的解析式为yx 与抛物线的解析式联立，得点p的横坐标为（舍去负值） (3) 设直线ef为ykxb，与抛物线yx23x1联立，得x2(k3)x1

43、b0，直线ef与抛物线只有一个公共点，x1x2 (k3) 即m点横坐标xm (k3)fcmoef，可得cmef，故可设直线cm的解析式为yx1，与抛物线联立，得：xm (3)于是得： (k3) (3) 解得k1或2点m的坐标为(，)或(2，2)【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数性质，待定系数法求解析式3（2020·广东九年级一模）如图，抛物线yax22xc（a0）与x轴交于点a和点b（点a在原点的左侧，点b在原点的右侧），与y轴交于点c，oboc3（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接bc，点d是直线bc上方抛物线上的点，连接od，cd，od交bc于点f，当scofscdf

44、32时，求点d的坐标【答案】（1）yx22x3；（2）(1，4)或(2，3)【分析】（1）c3，点b(3，0)，将点b的坐标代入抛物线表达式：yax22x3并解得：a1，即可求解；（2）scofscdf32，则offd32，dhco，故codm32，则dmco2，而dmx22x3（x3）2，即可求解【详解】解：（1）oboc3c3，点b(3，0)，将点b的坐标代入抛物线表达式：yax22x3并解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）如图，过点d作dhx轴于点h，交ab于点m，scofscdf32，则offd32，dhco，故codm32，则dmco2，由b、c的坐标得：直线bc的表

45、达式为：yx3，设点d(x，x22x3)，则点m(x，x3)，dmx22x3（x3）2，解得：x1或2，故点d(1，4)或(2，3)【点睛】本题主要考查了二次函数综合，准确计算是解题的关键4（2020·福建南平·九年级二模）已知抛物线y（x+5）（xm）（m0）与x轴交于点a、b（点a在点b的左边），与y轴交于点c（1）直接写出点b、c的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线与直线yx交于点e、f，且点e、f关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）若点p是线段ab上一点，过点p作x轴的垂线交抛物线于点m，交直线ac于点n，当线段mn长的最大值为时，求m的取值范围【答案】（1

46、）b（m，0），c（0，）；（2）；（3）0m【分析】（1）y（x+5）（xm），令x0，则y，令y0，则x5或m，即可求解；（2）设点e，f的坐标分别为（a，），（a，），将点e、f的坐标，代入二次函数表达式即可求解；（3）分5t0、0tm，两种情况分别求解即可【详解】解：（1）y（x+5）（xm），令x0，则y，令y0，则x5或m，故：b（m，0），c（0，）；（2）设点e，f的坐标分别为（a，），（a，），代入，得，解得：（m5）aa，a0，m6，抛物线的解析式为；（3）依题意得a（5，0），c（0，），由m0，设过a，c两点的一次函数解析式是ykx+b，将a，c代入，得解得过a，c两点

47、的一次函数解析式是，设点p（t，0），则5tm（m0），m（t，），n（t，）当5t0时，mn，该二次函数图象开口向下，又对称轴是直线，当时，mn的长最大，此时mn，当0tm时，mn，该二次函数图象开口向上，又对称轴是直线，当0tm时，mn的长随t的增大而增大，当tm时，mn的长最大，此时mn，线段mn长的最大值为，整理得：，由图象可得：mm0，m的取值范围是0m【点睛】本题考查二次函数图象性质、与x轴、y轴交点坐标、一次函数图象性质、原点对称、线段最值、分类讨论法等知识，是重要考点，综合性较强，掌握相关知识是解题关键5（2018·四川眉山·中考真题）如图,已知抛物线y=a

48、x2+bx+c的图像经过点a（0，3)、b（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点a作acx轴交抛物线于点c，aob的平分线交线段ac于点e，点p是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式； （2）若动点p在直线oe下方的抛物线上，连结pe、po，当m为何值时，四边形aope面积最大，并求出其最大值； （3）如图，f是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点p使pof成为以点p为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形aope面积最大，最大值为.（3）p点的坐标为

49、 ：p1（，），p2（，），p3（，），p4（，）. 【解析】分析：（1）利用对称性可得点d的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设p（m，m2-4m+3），根据oe的解析式表示点g的坐标，表示pg的长，根据面积和可得四边形aope的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明omppnf，根据om=pn列方程可得点p的坐标；同理可得其他图形中点p的坐标详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为d，由对称性得：d（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把a（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4

50、x+3；（2）如图2，设p（m，m2-4m+3），oe平分aob，aob=90°，aoe=45°，aoe是等腰直角三角形，ae=oa=3，e（3，3），易得oe的解析式为：y=x，过p作pgy轴，交oe于点g，g（m，m），pg=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，s四边形aope=saoe+spoe，=×3×3+pgae，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，当m=时，s有最大值是；（3）如图3，过p作mny轴，交y轴于m，交l于n，opf是等腰直角三角形，且op=pf，易得omppnf，om=p

51、n，p（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，p的坐标为（，）或（，）；如图4，过p作mnx轴于n，过f作fmmn于m，同理得onppmf，pn=fm，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；p的坐标为（，）或（，）；综上所述，点p的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题6（2018·湖南怀化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于a（1，0）b（3，0）两点，与y轴交于点c，点d是该抛物线的顶