备考2022数学专题17 全等三角形判定与性质定理（解析版）

1、专题17 全等三角形判定与性质定理1.基本概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2全等三角形的表示全等用符号“”表示，读作“全等于”。如abcdef，读作“三角形abc全等于三角形def”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。4三角形全等的判定定理（

2、1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“sas”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“asa”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“sss”）。（4）角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成aas）.5直角三角形全等的判定：hl定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“hl”）【例题1】（2020甘孜州）如图，等腰abc中，点d，e分别在腰ab，ac上，添加下列条件，不能判定abeacd的是（）aadae

3、bbecdcadcaebddcbebc【答案】b【解析】利用等腰三角形的性质得abcacb，abac，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断abc为等腰三角形，abcacb，abac，当adae时，则根据“sas”可判断abeacd；当aebadc，则根据“aas”可判断abeacd；当dcbebc，则abeacd，根据“asa”可判断abeacd【对点练习】如图，已知abc=dcb，添加以下条件，不能判定abcdcb的是（）aa=d bacb=dbc cac=db dab=dc【答案】c【解析】全等三角形的判定方法有sas，asa，aas，sss，根据定理逐个判断即可aa=d，abc=

4、dcb，bc=bc，符合aas，即能推出abcdcb，故本选项错误；babc=dcb，bc=cb，acb=dbc，符合asa，即能推出abcdcb，故本选项错误；cabc=dcb，ac=bd，bc=bc，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出abcdcb，本选项正确；dab=dc，abc=dcb，bc=bc，符合sas，即能推出abcdcb，故本选项错误。【例题2】（2020北京）如图，在abc中，abac，点d在bc上（不与点b，c重合）只需添加一个条件即可证明abdacd，这个条件可以是 （写出一个即可）【答案】bdcd【解析】由题意可得abcacd，abac，即添加一组边对应相等，可证a

5、bd与acd全等abac，abdacd，添加bdcd，在abd与acd中ab=acabd=acdbd=cd，abdacd（sas），【对点练习】（2019齐齐哈尔）如图，已知在abc和def中，be，bfce，点b、f、c、e在同一条直线上，若使abcdef，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）【答案】abde【解析】添加abde；bfce，bcef，在abc和def中，abcdef（sas）【例题3】（2020菏泽）如图，在abc中，acb90°，点e在ac的延长线上，edab于点d，若bced，求证：cedb【答案】见解析。【解析】由“aas”可证abcaed，可得aeab，

6、acad，由线段的和差关系可得结论证明：edab，adeacb90°，aa，bcde，abcaed（aas），aeab，acad，cebd【对点练习】如图，点a、d、c、f在同一条直线上，ad=cf，ab=de，bc=ef（1）求证：abcdef；（2）若a=55°，b=88°，求f的度数【答案】见解析。【解析】求出ac=df，根据sss推出abcdef由（1）中全等三角形的性质得到：a=edf，进而得出结论即可证明：（1）ac=ad+dc，df=dc+cf，且ad=cfac=df在abc和def中，abcdef（sss）（2）由（1）可知，f=acba=55&#

7、176;，b=88°acb=180°（a+b）=180°（55°+88°）=37°f=acb=37°一、选择题1（2020鄂州）如图，在aob和cod中，oaob，ocod，oaoc，aobcod36°连接ac，bd交于点m，连接om下列结论：amb36°，acbd，om平分aod，mo平分amd其中正确的结论个数有（）个a4b3c2d1【答案】b【分析】由sas证明aocbod得出ocaodb，acbd，正确；由全等三角形的性质得出ocaodb，由三角形的外角性质得：cmd+ocacod+odb，得出c

8、mdcod36°，ambcmd36°，正确；作ogam于g，ohdm于h，如图所示：则ogaohb90°，由aas证明ogaohb（aas），得出ogoh，由角平分线的判定方法得出om平分amd，正确；假设om平分aod，则domaom，由全等三角形的判定定理可得amoomd，得aood，而ocod，所以oaoc，而oaoc，故错误；即可得出结论【解析】aobcod36°，aob+boccod+boc，即aocbod，在aoc和bod中，oa=obaoc=bodoc=od aocbod（sas），ocaodb，acbd，故正确；ocaodb，由三角形的外

9、角性质得：cmd+ocacod+odb，得出cmdcod36°，ambcmd36°，故正确；作ogam于g，ohdm于h，如图所示，则ogaohb90°，在oga和ohb中，oga=ohb=90°oag=obhoa=ob，ogaohb（aas），ogoh，om平分amd，故正确；假设om平分aod，则domaom，在amo与dmo中，aom=domom=omamd=dmo，amoomd（asa），aood，ocod，oaoc，而oaoc，故错误；正确的个数有3个.2.如图，若abcdef，a=45°，f=35°，则e等于（）a35&#

10、176; b45° c60° d100°【答案】d【解析】abcdef，a=45°，f=35°d=a=45°e=180°df=100°3.（2020安顺模拟）如图，点d，e分别在线段ab，ac上，cd与be相交于o点，已知ab=ac，现添加以下的哪个条件仍不能判定abeacd（）ab=cbad=aecbd=cedbe=cd【答案】d【解析】欲使abeacd，已知ab=ac，可根据全等三角形判定定理aas、sas、asa添加条件，逐一证明即可ab=ac，a为公共角，a如添加b=c，利用asa即可证明abeacd；b如

11、添ad=ae，利用sas即可证明abeacd；c如添bd=ce，等量关系可得ad=ae，利用sas即可证明abeacd；d如添be=cd，因为ssa，不能证明abeacd，所以此选项不能作为添加的条件4如图，abcd，且ab=cde、f是ad上两点，cead，bfad若ce=a，bf=b，ef=c，则ad的长为（）aa+cbb+ccab+cda+bc【答案】d【解析】只要证明abfcde，可得af=ce=a，bf=de=b，推出ad=af+df=a+（bc）=a+bc；abcd，cead，bfad，afb=ced=90°，a+d=90°，c+d=90°，a=c，a

12、b=cd，abfcde，af=ce=a，bf=de=b，ef=c，ad=af+df=a+（bc）=a+bc5如图，acb=90°，ac=bcadce，bece，垂足分别是点d、e，ad=3，be=1，则de的长是（）a b2 c2 d【答案】b【解析】根据条件可以得出e=adc=90°，进而得出cebadc，就可以得出be=dc，就可以求出de的值bece，adce，e=adc=90°，ebc+bce=90°bce+acd=90°，ebc=dca在ceb和adc中，cebadc（aas），be=dc=1，ce=ad=3de=eccd=31=26

13、如图，abcaef，ab=ae，b=e，则对于结论ac=af，fab=eab，ef=bc，eab=fac，其中正确结论的个数是（）a1个 b2个 c3个 d4个【答案】c【解析】abcaef，ac=af，故正确；eaf=bac，fac=eabfab，故错误；ef=bc，故正确；eab=fac，故正确；综上所述，结论正确的是共3个二、填空题7（2020齐齐哈尔）如图，已知在abd和abc中，dabcab，点a、b、e在同一条直线上，若使abdabc，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）【答案】adac（dc或abdabc等）【解析】利用全等三角形的判定方法添加条件dabcab，abab，当添

14、加adac时，可根据“sas”判断abdabc；当添加dc时，可根据“aas”判断abdabc；当添加abdabc时，可根据“asa”判断abdabc8（2020辽阳）如图，在abc中，m，n分别是ab和ac的中点，连接mn，点e是cn的中点，连接me并延长，交bc的延长线于点d若bc4，则cd的长为【答案】2【解析】依据三角形中位线定理，即可得到mn=12bc2，mnbc，依据mnedce（aas），即可得到cdmn2m，n分别是ab和ac的中点，mn是abc的中位线，mn=12bc2，mnbc，nmed，mnedce，点e是cn的中点，nece，mnedce（aas），cdmn29（202

15、0黑龙江）如图，rtabc和rtedf中，bd，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使rtabc和rtedf全等【答案】abed【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是abed或bcdf或acef或aecf等，只要符合全等三角形的判定定理即可添加的条件是：abed，理由是：在abc和edf中b=dab=eda=def，abcedf（asa）10.(2019四川成都）如图，在abc中，ab=ac，点d，e都在边bc上，bad=cae，若bd=9，则ce的长为_.【答案】9 【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为abc是等腰三角形，所以有ab=ac，bad=cae，

16、abd=ace，所以abdace(asa)，所以bd=二次，ec=9.11.（2019湖南邵阳）如图，已知adae，请你添加一个条件，使得adcaeb，你添加的条件是（不添加任何字母和辅助线）【答案】abac或adcaeb或abeacd。【解析】根据图形可知证明adcaeb已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用asa.sas、aas证明两三角形全等aa，adae，可以添加abac，此时满足sas；添加条件adcaeb，此时满足asa；添加条件abeacd，此时满足aas，故答案为abac或adcaeb或abeacd。12（2019山东临沂）如图，在abc中，acb120°，b

17、c4，d为ab的中点，dcbc，则abc的面积是【答案】8【解析】根据垂直的定义得到bcd90°，得到长cd到h使dhcd，由线段中点的定义得到adbd，根据全等三角形的性质得到ahbc4，hbcd90°，求得cd2，于是得到结论dcbc，bcd90°，acb120°，acd30°，延长cd到h使dhcd，d为ab的中点，adbd，在adh与bcd中，adhbcd（sas），ahbc4，hbcd90°，ach30°，chah4，cd2，abc的面积2sbcd2××4×28，故答案为：8三、解答题

18、13（2020南充）如图，点c在线段bd上，且abbd，debd，acce，bcde求证：abcd【答案】见解析。【解析】证明abccde（asa），可得出结论证明：abbd，edbd，acce，aceabccde90°，acb+ecd90°，ecd+ced90°，acbced在abc和cde中，acb=cedbc=deabc=cde，abccde（asa），abcd14（2020硚口区模拟）如图，点d在ab上，点e在ac上，abac，bc，求证：bdce【答案】见解析。【解析】要证bdce只要证明adae即可，而证明abeacd，则可得adae证明：在abe与a

19、cd中a=aab=acb=c，abeacdadaebdce15（2020铜仁市）如图，be，bfec，acdf求证：abcdef【答案】见解析。【解析】首先利用平行线的性质得出acbdfe，进而利用全等三角形的判定定理asa，进而得出答案证明：acdf，acbdfe，bfce，bcef，在abc和def中，b=ebc=efacb=dfe，abcdef（asa）16（2020无锡）如图，已知abcd，abcd，becf求证：（1）abfdce；（2）afde【答案】见解析。【分析】（1）先由平行线的性质得bc，从而利用sas判定abfdce；（2）根据全等三角形的性质得afbdec，由等角的补角

20、相等可得afedef，再由平行线的判定可得结论【解答】证明：（1）abcd，bc，becf，beefcfef，即bfce，在abf和dce中，ab=cdb=cbf=ce，abfdce（sas）；（2）abfdce，afbdec，afedef，afde17（2020温州）如图，在abc和dce中，acde，bdce90°，点a，c，d依次在同一直线上，且abde（1）求证：abcdce（2）连结ae，当bc5，ac12时，求ae的长【答案】见解析。【分析】（1）由“aas”可证abcdce；（2）由全等三角形的性质可得cebc5，由勾股定理可求解【解答】证明：（1）abde，bacd，

21、又bdce90°，acde，abcdce（aas）；（2）abcdce，cebc5，ace90°，ae=ac2+ce2=25+144=1318（2020常德）已知d是rtabc斜边ab的中点，acb90°，abc30°，过点d作rtdef使def90°，dfe30°，连接ce并延长ce到p，使epce，连接be，fp，bp，设bc与de交于m，pb与ef交于n（1）如图1，当d，b，f共线时，求证：ebep；efp30°；（2）如图2，当d，b，f不共线时，连接bf，求证：bfd+efp30°【答案】见解析。【分析

22、】（1）证明cbp是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；根据同位角相等可得bcef，由平行线的性质得bpef，可得ef是线段bp的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得pfebfe30°；（2）如图2，延长de到q，使eqde，连接cd，pq，fq，证明qepdec（sas），则pqdcdb，由qede，def90°，知ef是dq的垂直平分线，证明fqpfdb（sas），再由ef是dq的垂直平分线，可得结论【解答】证明（1）acb90°，abc30°，a90°30°60°，同理edf60°，aedf6

23、0°，acde，dmbacb90°，d是rtabc斜边ab的中点，acdm，bmbc=bdab=12，即m是bc的中点，epce，即e是pc的中点，edbp，cbpdmb90°，cbp是直角三角形，be=12pcep；abcdfe30°，bcef，由知：cbp90°，bpef，ebep，ef是线段bp的垂直平分线，pfbf，pfebfe30°；（2）如图2，延长de到q，使eqde，连接cd，pq，fq，ecep，decqep，qepdec（sas），则pqdcdb，qede，def90°ef是dq的垂直平分线，qfdf，cdad，cdaa60°，cdb120°，fdb120°fdc120°（60°+edc）60°edc60°eqpfqp，fqpfdb（sas），qfpbfd，ef是dq的垂直平分线，qfeefd30°，qfp+efp30°，bfd+efp30°19（2020黔东南州）如图1，abc和dce都是等边三角形探究发现（1）bcd与ace是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由拓展运用（